考研數(shù)學一?？碱}型和知識點歸納

1、文檔編碼 : CV6V1N1A2T5 HW8M6O7G3M9 ZY2C4L7U10B6數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！其次篇 高等數(shù)學第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 摸索的魚點撥“ 函數(shù)、極限、連續(xù) ” 這一部分的概念及運算是高等數(shù)學的基數(shù)學一中本部分分數(shù)平均每年約占高等數(shù)學部分的10.本章的考題類型及學問點大致有： 1. 求函數(shù)的表達式：礎 ,它們 是每年必考的內(nèi)容之一, 1給出函數(shù)在某一區(qū)間上的表達式及某些條件,求該函數(shù)在另一區(qū)間上的表達式 數(shù)學 二 考過 ； 2 求分段復合函數(shù)的表達式 1990 一3 題考過,數(shù)學 二 考過多次 . 2. 數(shù)列的極限的概念懂得與運算定理： 1 數(shù)列極限的概念的懂得及

2、定義的等價表達 數(shù)學 二 考過 ； 2 運算定理的正確運用與性質(zhì)的正確懂得 2022 二2 題 ； 3 求數(shù)列的極限：化成積分和式求極限 1998 七題 ；夾逼定理求極限 1998 七題, 2022 二7 題 ；單調(diào)有界定理求極限或爭辯極限的存在性2022 三16 題, 2022 一4 題 ；化成函數(shù)極限求極限 2022 三16 題. 3. 函數(shù)的極限： 1 求七種待定型的極限 1998 一1 題, 1999 一 1 題, 2022 一1 題, 2022 一1 題,2022 三15 題, 2022 三題, 1997 五題 ； 2 運算定理的正確使用與性質(zhì)的正確懂得 1997 一1 題, 202

3、2 三題, 2022 二8 題 ： 3 已知某些極限求其中的某些參數(shù) 2022 一 1 題 ； 4 已知某函數(shù)的極限,求與此有關的另一函數(shù)的極限 數(shù)學 二 考過 . 4. 無窮小的比較： 1 給了如干個無窮小,比較它們的階的高低 2022 二7 題, 2022 一1 題 ； 2 給了兩個無窮小,已知一個是另一個的等價 或高階 無窮小,求其中的參數(shù) 2022 三1數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！題. 5. 函數(shù)的連續(xù)與間斷： 1 爭辯初等函數(shù)的間斷點及類型 數(shù)學 二 考過多次 ； 2 爭辯分段函數(shù)的連續(xù)性或由連續(xù)性確定其中的參數(shù) 數(shù)學 二 考過多次 ； 3 函數(shù)以極限形式表達,爭辯該函數(shù)的連續(xù)性 數(shù)學

4、 二 考過多次 ； 4 已知某些函數(shù)的連續(xù)性 間斷點 ,爭辯與此有關的另一些函數(shù)的連續(xù)性 間斷點 數(shù)學 二 考過多次 ； 5連續(xù)函數(shù)介值定理的應用2022 三18 題, 2022 三18 題,數(shù)學 二 考過多次 .讀者請留意,上面提到的類型,數(shù)學 一 有許多未曾考到,所以本章尚有相當大的命題空間. 其次,以后各章要用到本章內(nèi)容,從而把握本章內(nèi)容是特別基礎、特別重要的 .其次章 一元函數(shù)微分學摸索的魚點撥導 數(shù)與微分是微分學的基本概念,導數(shù)與微分的 運算是微分學的基本 計 算,導數(shù)與微分的應用 利用 導數(shù)爭辯函數(shù)的性 質(zhì)是微分學的基本內(nèi)容,每年必考,本部分分數(shù)在數(shù)學中平均約占高等數(shù)學部分的 17

5、.本章的考題類型及學問點大致有： 1. 求導數(shù)與微分,導數(shù)的幾何意義： 1 顯函數(shù)求導數(shù) 未考過 ； 2 隱函數(shù)求導數(shù) 2022 一2 題, 2022 二10 題 ； 3 參數(shù)式求導數(shù) 1997 一3 題 ； 4 在直角坐標中求切線斜率、切線方程 2022 一1 題 ,2022 四題, 2022 三題, 2022 三17 題 ； 5 在極坐標中求切線斜率、切線方程 1997 一3 題 ； 6 奇、偶、周期函數(shù)的導數(shù) 2022 二8 題 ； 7 變限積分求導數(shù) 2022 四題, 1997 一 2 題, 1998 二1 題, 1999 二1 題, 1997 五題 ； 8 導數(shù)的變量變換 變量變換變

6、化微分方程 2022 七題 . 2. 按定義求一點處的導數(shù),可導與連續(xù)的關系 . 1 爭辯分段函數(shù)在分界點處的可導性或求導數(shù) 2022 二7 題 ；2數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！ 2 按定義爭辯某點的可導性 1999 二2 題 ； 3 已知某極限存在爭辯某點可導,或反之,或利用導數(shù)求極限,利用極限求某點處的導數(shù)200l 二3 題； 2022 4 題； 2022 三18 題 ； 4 已知某點可導,求其中參數(shù) 2022 三題 ； 5 確定值函數(shù)求導數(shù) 1998 二2 題 ； 6 由極限表示的函數(shù)的可導性 2022 一7 題. 3. 爭辯函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點、漸近線、曲率： 1 單調(diào)性與極值

7、 2022 二1 題, 2022 二8 題 ； 2 增量、導數(shù)與微分的關系 1998 二3 題, 2022 二7 題 ；3 凹向與拐點 2022 三17 題 ； 4 漸近線 20221 題, 2022 一2 題 ； 5 曲率 1991 九題考過 . 4. 中值定理及其應用： 1 不等式的證明 2022 二1 題, 1999 六題, 2022 三15 題 ； 2 零點問題 2022 三18 題, 1998 九題, 2022 九題, 2022 三19 題 ； 3 有關函數(shù)與導數(shù)的關系 2022 二 1 題, 2022 二3 題, 2022 一5 題 ； 4 有關 “ 中值 ”的極限問題 2022

8、七題 ； 5 泰勒公式的應用 1999 六題, 2022 七題, 2022 三題 ； 6 中值定理的證明 2022 三18 題 .由上列舉可見,本章的學問點及考題類型幾乎全部考到,頻率顯現(xiàn)多的是：變限積分求導數(shù),按定義求導,不等式與零點問題,泰勒公式的應用. 在按定義求導數(shù)時,應與使用洛必達法就的條件相區(qū)分 . 其他頻率顯現(xiàn)少的,也應留意,例如導數(shù)的幾何意義、單調(diào)性與極值、絕對值函數(shù)求導數(shù)等 .第三章 一元函數(shù)積分學摸索的魚點撥定 積分與不定 積分的概念及運算是 積分學的基 礎 ,利用定積分表示與 計 算一些幾何、物理量是 積 分學的基本 應用,每年必考,本部分分數(shù)在數(shù)學一中平均 約占高等數(shù)學

9、部分的 17.本章的考題類型及學問點大致有：3數(shù)一常考題型和學問點歸納！ 1. 不定積分與定積分的運算： 1 分段函數(shù)求不定積分 未考過 ； 2 分段函數(shù)求定積分與變限積分 數(shù)學 二 考過 ； 3 運算帶確定值號的定積分 數(shù)學 二 考過 ； 4 運算般不定積分 2022 2 題, 2022 三題 ； 5 運算一般定積分 2022 一 1 題, 2022 二11 題： 6 運算反常積分 2022 1 題 ； 7 運算被積函數(shù)含有導數(shù)或變限積分的積分 2022 三17 題. 2. 定積分的應用： 1 幾何應用 1997 二2 題, 2022 三題, 2022 一3 題, 2022 一 3 題, 2

10、022 三16 題,2022 三17 題 ； 2 物理應用 1997 七題, 2022 六題 ； 3 利用積分和式求極限 1998 七題 . 3. 定積分 變限積分 的證明題： 1 不等式問題 包括估值問題 1997 二2 題, 1997 二3 題 ； 2 零點問題 1998 九題, 2022 九題 ； 3 關于奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)的證明題 1999 二1 題, 2022 二 8 題, 2022 三18 題： 4 變限函數(shù)關于單調(diào)性的題 2022 一3 題 ； 5 變限函數(shù)求導問題 1999 一2 題, 1998 二1 題, 1997 五題, 2022 一1 題 ； 6 積分中值定理的應用 2

11、022 九題 .本章雖然各類型大都考過,但變換具體函數(shù)去命題,考題空間仍很大,讀者留意舉一反三,把握一般方法 .第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何摸索的魚點撥向量代數(shù)主要是向量的表示法與向量的代數(shù)運算加減、數(shù)乘、點積、叉積,空間鋸 析幾何主要是曲面與空 間曲線 的方程,重點是平面、直 線以及常 見曲面 球面、柱面以及旋 轉(zhuǎn)面等 的方程,歷年考 題中直接 對本部分命制的 題目不多,且多 為選擇題 或填空 題.4數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！本章的考題類型及學問點大致有： 1. 關于向量運算： 1 給出一些關系求另一些關系 1995 一3 考過 ； 2 兩向量平行、垂直、交角、模等問題 未考過 ； 3 三

12、點共線與三向量共面問題 未考過 ； 2. 直線與平面問題 大都與空間曲面的切平面、空間曲線的切線相結(jié)合的問題 ： 1 求直線方程 1998 三題 ,2022 一2 題, 1992 二3 考過 ； 2 求平面方程 1997 四1 題, 2022 一2 題, 2022 一2 題, 1989 二2 題, 1990 一1題, 1991 一3 題, 1994 一2 題, 1996 一2 題都考過 ； 3 平面與直線的相對位置 平行、垂直、交角等 1993 二3 題, 1995 二1 題都考過 ； 4 點到平面的距離 2022 一 4 題, 1999 八題 . 3. 二次曲面的題 大都與第六章相結(jié)合,給出

13、二次曲面,要求知道它的位置及大致圖形 . 二次曲面中常用的圖形為橢球面 包括球面 、旋轉(zhuǎn)拋物面、錐面、母線與坐標面平行的柱面 . 求旋轉(zhuǎn)面的方程 2022 三17 題.由以上列舉看出,近十年來本章單獨考的不多,與第五章相結(jié)合的考過四次 . 應當說是屬于不常考的章節(jié) . 但基本公式、基本方法仍應把握 .第五章 多元函數(shù)微分學摸索的魚點撥多元函數(shù)微分學包括有如干基本概念及其聯(lián)系,多元函數(shù)的復合函數(shù)求導法及其 應用,梯度向量與方向 導數(shù)的 計 算方法,多元函數(shù)微分學的幾何應用 求空 間曲 線的切 線、法平面與空 間曲面的切平面、法 線極 值判定與最 值問題 等,在歷年考 試中多元函數(shù)微分學的平均分數(shù)

14、 約占高等數(shù)學的 l 7,也是比較重要的 .本章的考題類型及學問點大致有： 1.求偏導數(shù),全微分,方向?qū)?shù),梯度,散度,旋度：1994 3考過 ； 1給出具體函數(shù)關系的復合函數(shù)求偏導數(shù)或全微分 2給出抽象函數(shù)關系的復合函數(shù)求偏導數(shù)或全微分1998 一2 題, 2022 二9 題, 2022二10 題, 2022 四題, 2022 四題, 2022 二12 題, 2022 三15 題, 2022 二9 題 ； 3 給出方程經(jīng)變量變換化簡方程 1997 四2 題, 1996 四2 也考過 ； 4 給出具體的方程求隱函數(shù)的偏導數(shù)或全微分 199l 一2 考過 ；5數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！ 5給出抽

15、象的方程 方程組 求隱函數(shù)的偏導數(shù)或全微分1999 三題 ；八題, 2022 6求方向?qū)?shù),梯度,散度,旋度200l一 2 題, 2022 一3 題, 3.52022一2 題, 1992 一2 也考過 . 2. 函數(shù)在一點處極限的存在性,連續(xù)性,偏導數(shù)的存在性,全微分存在性與偏導數(shù)的連續(xù)性的爭辯與它們之間的因果關系： 1 函數(shù)在點處極限不存在性爭辯 1997 二1 題 ； 2 隱函數(shù)的存在性 2022 二 10 題 ； 3 偏導數(shù)的存在性 1997 二 1 題 ； 4 全微分的存在性 200l 二 2 題 ； 5 函數(shù)在一點處連續(xù)性,偏導數(shù)存在性,全微分存在性與偏導數(shù)的連續(xù)性的因果關系討論20

16、22 二1 題 . 3.曲面的切平面,曲線的切線：2022 一2 題, 2022 一2 題, 1997 四1 題, 1999 八 1曲面的法向量、切平面與法線題, 1993 一2 也考過, 1994 一2 也考過 ；2 曲線的切向量、切線與曲線的法平面 2022 二2 題. 4. 極值與最值： 1 按定義爭辯極值 2022 二 3 題 ； 2 極值的必要條件,駐點的爭辯 2022 二10 題 ； 3 求極值 含拉格朗日乘數(shù)法 與最值 2022 八題, 2022 三17 題, 2022 三17 題, 2022三15 題； 4求隱函數(shù)的極值2022 三 19 題.由以上可見,本章各學問點大都考過,

17、主要是運算. 考題頻率最高的是抽象函數(shù)關系的復合函數(shù)求偏導數(shù),其次是方向?qū)?shù),曲面的法向量與切平面 與空間解析幾何相合 . 關于概念 見以上 “ 2” 方面的題,應引起留意 . 關于 “ 4”極值與最值的題,出題頻率雖然不高,但有確定的綜合性與難度,從考試結(jié)果看,這部分礙分不理想,考生不應忽視 .第六章 多元函數(shù)積分學摸索的魚點撥多元函數(shù) 積分學包括各 類積 分的概念、 運算和 應用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應用；平面曲線積 分與路徑無關及全微分式的原函數(shù)問題 等 .在歷年的考 試中多元函數(shù) 積 分學占有最重要的位置,平均分數(shù) 約占高等數(shù)學 總分的 14.6數(shù)一?？碱}型和學問點歸納

18、！本章的考題類型及學問點大致有： 1. 二重積分的運算及應用： 1 二重積分在直角坐標中的運算 單獨未考過,在其他題中顯現(xiàn)過 ； 2 二重積分在極坐標中的運算與直極互化 2022 二8 題, 2022 八題, 2022 三15 題,2022 三15 題 ； 3 交換積分次序 2022 一3 題, 2022 二10 題, 1990 一4 題考過 ； 4 確定值函數(shù)的二重積分 二次積分 的運算 未考過 ； 5 分塊函數(shù)的二重積分 二次積分 的運算 2022 五題, 2022 三題 ； 6 利用對稱性、輪換對稱性化簡運算 2022 五題, 2022 三15 題, 20222 題 ； 7 二重積分的證

19、明題與二重積分的估值 2022 五題 ； 8 三重積分的應用 2022 八題 . 2. 三重積分的運算及應用： 1 三重積分在直角坐標中的運算 單獨未考過 ； 2 三重積分在球面坐標與柱面坐標中的運算 2022 一4 題, 2022 一3 題, 1997 三 1題, 2022 八題, 2022 八題, 2022 二12 題 ； 3 利用對稱性、輪換對稱性化簡運算 2022 八題, 1995 三2 題考過 ； 4 三重積分的應用 2022 八題 . 3. 化多重積分為定積分： 1 化二重積分為變限積分求導問題 2022 二 10 題 ； 2 化二重積分為定積分求其中未知函數(shù) 數(shù)學 三1997 八

20、題考過 ； 3 化其它積分為定積分或二重積分的證明題 2022 五題, 2022 八題 . 4. 第一型曲線積分與第型曲面積分：1 運算 1999 八題, 2022 二11 題 ； 2 利用對稱性、輪換對稱性化簡 1998 一3 題, 2022 二2 題, 2022 二14 題 ； 3 應用 未考過 . 5. 平面其次型曲線積分及應用： 1 用參數(shù)式運算 20223 題, 2022 五題, 2022 五題 ； 2 用格林公式或加、減弧段格林公式法 1999 四題, 2022 五題, 2022 三16 題 ；7數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！ 3路徑無關問題與原函數(shù)法1998 四題, 1999 四題,

21、 2022 六題, 2022 三19 題, 2022三19 題, 2022 一6 題 ； 4 與微分方程有關的問題 2022 三19 題 ； 5 挖洞法 2022 五題 ； 6 應用 1990 九題考過 . 6. 其次型曲面積分及應用： 1 用投影法運算 1998 六題, 2022 六題, 2022 三17 題 ； 2 用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法 2022 一4 題, 2022 一3 題, 1998 六題,2022 六題, 2022 三17 題, 2022 三18 題, 2022 二 12 題 ； 3 轉(zhuǎn)換投影法或化成第一型曲面積分運算 2022 六題, 2022 三17 題 ； 4

22、挖洞法 2022 三19 題 ； 5 與微分方程有關的問題 2022 六題 . 7. 空間其次型曲線積分： 1 用參數(shù)式運算 1997 三2 題, 2022 六題 ； 2 用斯托克斯公式運算 1997 三2 題, 2022 六題 ；由以上可見,本章在數(shù)學 一 中的位置至關重要,考分占總分的 1 6,考得最多的是 1二重積分：包括極坐標中運算,交換積分次序,利用對稱性、輪換對稱性化簡運算； 2 三重積分：包括在球面坐標、柱面坐標中的運算,利用對稱性、輪換對稱性化簡運算； 3 平面其次型曲線積分：包括用參數(shù)式運算,用格林公式或加、減弧段格林公式運算,路徑無關問題的爭辯與路徑無關問題運算該積分,原函

23、數(shù)法與求原函數(shù),與微分方程相結(jié)合的題； 4 其次型曲面積分：包括用投影法運算,用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法運算,轉(zhuǎn)換投影法運算或化成第一型曲面積分運算,與微分方程相結(jié)合的題 .以上各類題的運算,都有一套規(guī)范的方法. 關鍵是選擇便利而有效的方法,可以起到事半功倍的作用 . 以上諸項中, “ 3”以及 “ 53 ” ,有時涉及一些理論,可能會有點困難 . 但是,正如俗語所說 “ 熟能生巧 ” ,熟了也就不難了 .第七章無窮級數(shù)摸索的魚點撥級 數(shù)部分包括 級數(shù)的如干基本概念,判別級 數(shù)的 斂散性 包括條件收 斂與確定 收斂 的各種數(shù)一常考題型和學問點歸納！方法,冪級 數(shù)的收 斂性與和函數(shù)的性質(zhì)

24、,冪級 數(shù)收 斂域的求法,求 冪級 數(shù)的和函數(shù)與求函數(shù)的冪級數(shù)開放式的方法, 仍有傅里葉 級數(shù)和它的和函數(shù)等 數(shù)學 總 分的 l 6.此部分在 歷年試題 中的平均分數(shù) 約占高等如分 為數(shù)值級 數(shù)、冪級 數(shù)與傅氏 級數(shù)三大部分, 就冪級 數(shù)部分考得最多,占 級數(shù)總 分的一半仍強 ,求冪級 數(shù)的收 斂域,實質(zhì) 上就是 級數(shù)斂散性的判定,如把它劃入 級數(shù)斂散性判定部分, 這部分的分數(shù)將接近 級數(shù) 總分的一半 .求一般函數(shù) 項級 數(shù)的收 斂域在考 試大綱中也是要求的,但從未考 過.不過這 個問題實質(zhì) 上也是級數(shù) 斂散性的判定 問題 .本章的考題類型及學問點大致有： 1. 數(shù)項級數(shù)判斂： 1 給出具體的

25、數(shù)項級數(shù)判斂 1999 二3 題考過, 1992 二2 題考過, 1995 二4 題考過； 2 已知某抽象數(shù)項級數(shù)的斂散性,爭辯與此有關的另一些級數(shù)的斂散性 2022 二3 題,2022 二2 題, 2022 二 9 題, 2022 二9 題, 2022 一4 題 ； 3通項由某些條件 具體或抽象 給出,爭辯該級數(shù)的斂散性1997 六題, 1998 八題,1999 九題, 2022 三18 題 ； 4爭辯交叉級數(shù)或任意項級數(shù)的斂散性2022 七題 . 2.關于冪級數(shù)：2022 七題, 2022 三16 題, 2022 二11 題, 1求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域1995 一4 題考過

26、； 2 已知冪級數(shù)在某點收斂或發(fā)散或條件收斂,或已知收斂半徑,爭辯另一與此有關的冪級數(shù)在另一點處的斂散性,或求收斂半徑、收斂區(qū)間 的范疇 1997 一2 題 ； 3將函數(shù)開放成xx 0的冪級數(shù)并求收斂域,并求某數(shù)項級數(shù)的和2022 五題, 2022 四題, 2022 三17 題 ；4 求冪級數(shù)的和函數(shù)或可通過冪級數(shù)求和的數(shù)項級數(shù)求和 過 ；2022 三16 題, 1990 四題考 5 驗證或設某冪級數(shù)中意某微分方程從而求此冪級數(shù)的和函數(shù) 2022 七題, 2022 三20 ； 6 求某些數(shù)項級數(shù)的和 1999 九題, 2022 三16 題. 3. 傅里葉級數(shù)： 1 求傅里葉系數(shù)或傅里葉級數(shù) 2

27、022 一3 題, 2022 三19 ,1991 五題考過, 1993 一3題考過 ；9數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！ 2 按正弦開放或按余弦開放求其傅里葉系數(shù)或傅里葉級數(shù) 1995 四2 題考過 ； 3 按狄利克雷定理求傅里葉系數(shù)在某點的收斂和 1999 二3 題, 1989 二4 題考過,1992 一3 題考過 ； 4 由傅里葉級數(shù)爭辯與此有關的另一些數(shù)項級數(shù)的和 2022 三19 題, 1991 五題考過 由以上可見,數(shù)項級數(shù)判斂問題中的 11 ,早期考過幾次,后來不考了 . 近期考得多的是12 與 13. 函數(shù)開放成冪級數(shù)并爭辯其成立范疇,以及簡潔冪級數(shù)求和,仍是考試熱點,考生對此應引起足

28、夠重視. 函數(shù)開放成冪級數(shù)接受間接開放法,有一套規(guī)范步驟. 簡潔冪級數(shù)求和,雖說有一點難度,但作為考研來說,處理的手法仍是有法可依. 傅里葉級數(shù)的考題較簡潔,由于求傅里葉級數(shù)運算量大,所以考得較少,按狄利克雷定理求某點處的收斂和,相對說來考得較多,考生對此應足夠重視.第八章常微分方程摸索的魚點撥微分方程 問題 是積 分問題 的延長,有著極 為廣泛的 應用,是歷年考研必考內(nèi)容 .在高等數(shù)學部分,微分方程在數(shù)學一中平均每年所占分數(shù) 約為 15 .本章的考試類型及學問點大致有： 1.12 種典型類型求解以及自由項為特別情形時的線性非齊次方程特解 y的設定： 1 一階 5 種類型求解 2022 2 題

29、, 2022 一2 題, 2022 二9 題, 1992 一4 題, 1993二4 題, 1993 三3 題, 1994 五題均考過 ； 2二階可降階3 種類型求解 2022 一3 題, 2022 一3 題；3 題, 2022 二 3二階及高階常系數(shù)線性齊次方程與非齊次方程3 種類型求解 1999 13 題, 2022 一 3 題, 2022 二10 題 ； 4 歐拉方程求解 2022 一4 題 ； 5y的設定 數(shù)學 二 考過 . 2. 線性非齊次微分方程與對應的線性齊次微分方程的解的關系： 1 已知非齊次方程的解求對應的齊次方程的 通 解 未考過 ； 2 已知非齊次方程足夠多的解求該非齊次方

30、程的通解 1989 二3 題考過, 2022 數(shù)學 三 、 四 考過 . 3.已知 通 解求微分方程： 未考過 ； 求該方程 2022 1未說明方程是什么形式,已知通解求微分方程 2已知二階 或一階或更高階 線性方程的通解 或如干個線性無關的特解10數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！1 題, 2022 二10 題. 4. 自由項為確定值函數(shù)或有間斷點的函數(shù)的線性微分方程求解： 1 自由項為確定值函數(shù)的情形 未考過 ； 2 自由項為有跳動間斷點的函數(shù)的情形 數(shù)學 三1999 六題考過 . 5. 經(jīng)變量變換解微分方程： 1 經(jīng)反函數(shù)變量變換 2022 七題 ； 2 給出已知的變量變換 數(shù)學 二 考過多次

31、. 6. 將積分方程或偏微分方程化成微分方程求解：1 積分方程化為微分方程求解 1991 二2 考過 ； 2 偏微分方程化為微分方程求解 1997 四2 題, 2022 三18 題 . 7. 微分方程的應用 1 幾何方面 1999 五題, 1995 五題考過, 1996 六題考過 ； 2 物理方面 1998 五題, 2022 三16 題 ； 3 變化率方面 1997 三3 題, 2022 八題 .由上可見,本章常考的是“ 1”與“ 7” . 有許多類型未命過題或很少命題,命題空間很大,例如 15 ,4,以及 6 可以與其他章節(jié)結(jié)合來命題,值得重視 .第三篇 線性代數(shù)第一章 行列式摸索的魚點撥行

32、列式在整個 試卷中所占比重不是很大,一般以填空 題 ,選擇題為 主,但它是必考內(nèi)容當然,不只是考 查行列式的概念、性 質(zhì)、運算,仍會涉及到其他各章、 節(jié)的內(nèi)容,例如矩 陣的可逆、矩 陣的秩、向量的 線性相關性、 線性方程 組、矩陣的特點 值 、正定二次型等等,假如 試 卷中沒有獨立的行列式的 試題 ,那必定會在其他章 節(jié)的試題 中得到體 現(xiàn). 1.一般有關行列式的試題有兩大類：運算題和判定題行列式的運算題. 例如：運算行列式11數(shù)一常考題型和學問點歸納！運算行列式的值這類屬于數(shù)字型的直接運算題,一般利用性質(zhì),消零開放或消零化成上 下 三角形行列式即可解決 .多數(shù)行列式的試題,屬于與后續(xù)章節(jié)有關

33、的、抽象型的行列式的運算題,如 1.1 題, 1.2題這類題增加了考核的學問點,有確定的綜合性. 要求考生充分利用題設條件,通過學問的內(nèi)在聯(lián)系,化簡、運算,最終得出所求行列式的值 .2 行列式的判別題,主要是判別行列式是否為零. 例 2.1 題,由于行列式是否為零對矩陣是否可逆、是否滿秩,對方程組 An n X=O是否有非零解,An n X=b 是否有唯獨解,對 A中的列 行 向量組是否線性相關等都起到了“ 分水嶺 ” 的作用,會引起矩陣重要性質(zhì)的變化 .A n n 是否為零,除直接運算出A=O或 0 ,或運算出A =kA ,其中k 1, A n n =0 0 . An n 不行逆 可逆 .

34、rAn ,不滿秩 =n ,滿秩 . An n X=O有非零解 只有零解 . An n X=b 有唯獨解 解不唯獨；可能無解；如有解,就為無窮解 . An n 的 n 個行 列 線性相關 線性無關 留意這些都是充分必要條件,可以相互判別 .其次章 矩陣摸索的魚點撥矩 陣及其運算是 線 性代數(shù)的核心,后 續(xù)各章的基 礎,考點較 多,重點考點是逆矩 陣 、相伴矩陣及矩 陣方程,這幾年 仍頻頻 顯現(xiàn)初等 變換 與初等 陣的試題 ,應 留意到的大致有以下幾部分內(nèi)容. 1.基本運算：要搞清概念,嫻熟把握運算規(guī)章并保證運算的正確性,重點關注以下幾點. 1搞清能否運算,怎樣運算,運算結(jié)果是什么.12數(shù)一?？碱}

35、型和學問點歸納！ 2 搞清數(shù)的運算、行列式的性質(zhì),與矩陣運算的區(qū)分 . 3 充分利用運算規(guī)章,如運算中結(jié)合律、支配律的利用,但矩陣運算沒有交換律,消去律. 2. 逆矩陣：懂得逆矩陣的概念,把握運算法就,把握矩陣可逆的充分必要條件,會證矩陣可逆,并能正確求出逆矩陣 .求逆矩陣的方法：對數(shù)值矩陣,一般有 1 公式法 . A-1 =1/ A A ,特別適用二階矩陣；2 初等變換法 . A BEA . 對抽象矩陣,一般有 3 定義法,化成 AB=E,就 A 可逆,且 A-1=B；4 化成已知可逆矩陣的乘積,即如化成 A=BC,其中 B,C均是可逆陣,就 A可逆,A-1=BC-1=C-1B-1.證明 A

36、 可逆的方法： A 可逆 . A 0 . AX=0有唯獨零解 . AX=b有唯獨解 . rA=n . A 的行 列 向量組線性無關,或用反證法 . 3. 相伴矩陣 A：懂得相伴矩陣的概念,留意 Ai j 與 A的聯(lián)系,能嫻熟得出 A,A-1,A,A -1,A,A之間的關系,如1A=A n-1,2 如 A 可逆, A-1=1/ A A, A=A A-1.如公式中將 A代入 kA 時,有kAkA=kA E, 得kA =kn-1 A；如公式中將 A代入 A時,有AA=AE ,得 A=A n-2A.A的秩只有 n,1,0 三種可能,且 4. 矩陣方程：矩陣方程的試題較多,這類試題具有定的綜合性,既考查

37、了利用矩陣運算法就、性質(zhì)等把方程化簡,又考查了具體的數(shù)值運算. 解這類試題要求分二步走,“ 先化簡 ” ,寫出所求矩陣的最簡表達式,再代入具體的數(shù)值矩陣,進行數(shù)值運算 如題 2.3.5. 初等變換、初等陣、矩陣的秩及等價矩陣懂得初等變換的概念,明白初等陣及其性質(zhì),能將矩陣的初等變換表達成矩陣乘初等陣,反之能將矩陣乘初等陣翻譯成作初等變換 如題 2.1 2.3懂得矩陣秩的概念,把握用初等變換求秩及逆矩陣的方法6. 分塊陣：明白分塊陣及其運算,會求分塊對角陣的n 次冪及分塊對角陣的逆等.13數(shù)一常考題型和學問點歸納！第三章 向量摸索的魚點撥向量 組的線性相關性是 線性代數(shù)中的 難點,也是考 試的重

38、點,考生 應深刻懂得 線性相關性的內(nèi)在的含 義外,仍應 與線 性表出、向的秩及 線 性方程 組等相 聯(lián) 系,從各個 側(cè)面加 強對線 性相關性的懂得 .本章試題大致有以下四個部分 : 1. 向量的線性表出向量 能否由向量組 1, 2, s,線性表出 . 方程組 1x1+2x2+ s x n= 1, 2, sX=An s X= 是否有解,其解即是表出系數(shù) . rA 和 rA 是否相等 .如 1, 2, s 線性無關, 1, 2, s, 線性相關,就 可由 1, 2, s線性表出,且表出法唯獨 .如 1, 2, s 線性相關,就至少存在一個向量 i 可由其余向量線性表出 .向量組 I 1, 2, s

39、中任一個向量 i 1 , 2, , s 都可由 1, 2, s線性表出,稱向量組 I 可由向量組 線性表出,兩組向量可以相互表出,就稱兩向量組等價,等價向量組等秩,反之不成立 . 2. 向量組線性相關性的判別和證明要說明或證明向量組 1, 2, s 線性相關,只要求出 觀看出 有不全為零的數(shù)k1,k 2, k s,使 k1 1+k2 2+ +ks s=0. 即說明或證明方程組有 k1 1+k2 2+ +k s s=0 有非零解 .證明一組向量1,2, s 線性無關,有兩類題型：1 如題設條件中只有一組向量 附有一些其他條件 ,就應利用定義證明 實質(zhì)上是反證法 ；2 如已知一組向量線性無關,要證

40、另一組向量也線性無關,就可以用定義證明,也可以用等價向量組、秩、方程組等方法證明 例題 2.5. 3. 求向量組的極大線性無關組及向量組的秩應懂得向量組的極大線性無關組的概念,并把握其求法就向量組 1,2, s和 1,2, s是等價向量組,等價向量組等秩.A=1,2, s 1,2, s ,14數(shù)一常考題型和學問點歸納！就 1,2, s與 1,2, s中任何對應的部分向量組有相同的線性相關性.向量組極大線性無關組不唯獨,但極大無關組的向量個數(shù)是唯獨的,此數(shù)即是向量組的秩 . 4 向量空間,要求明白向量空間、子空間、解空間,基、維數(shù),坐標等概念,明白基變換公式、坐標變換公式,會求過渡矩陣,把握施密

41、特標準正交化方法,這部分內(nèi)容相對試題較少,從 1987 年考研數(shù)學統(tǒng)考以來,共出過 4 題,二個題是過渡矩陣的 例題 1.1 ,一題是求解空間的標準正交基,一題是求一個向量在一組基下的坐標 .第四章 線性方程組摸索的魚點撥本章要求懂得 線性 齊次方程 組有非零解、唯獨零解, 線性非 齊次方程 組無解、唯獨解、無 窮多解的充分必要條件,懂得 線性齊次方程 組的基 礎解系、通解、解空 間 的概念,把握求解的方法,并會求解,懂得非 齊次線性方程 組解的 結(jié)構(gòu)及通解的概念,并會求解 .本章試題大致有三種類型： 1. 判別齊次方程組是否有非零解,非齊次方程組 AX=b是否無解、唯獨解、無窮多解 Am n

42、 X=O有非零解 唯獨零解 . rAn=n . A 的列向量組線性相關 線性無關 .Am n X=O無解 . rA rAb . 唯獨解 . rA=rA b=n .無窮多解 . rA= rA b=rn .當 A 是 n n 矩陣時,仍可用A =O或 0 判別 例題 1.1 ,并說明解的幾何意義 .判別某向量,或某向量集合是否是方程的解或方程組的通解,及兩個方程組是否同解等 例題 2.1. 2. 求解線性齊次方程組的基礎解系和通解 例題 3.5 ,求解非齊次方程組的通解 例題 3.6 包括含有參數(shù)時,有解情形的爭辯 ,求解方程組時,請留意每個步驟的正確性 . 步驟如下： 1 抄對系數(shù)矩陣或增廣矩陣

43、； 2 正確進行初等行變換,含有參數(shù)時,要選擇合適的消元的次序； 3 全面爭辯參數(shù)的取值與解的關系； 4 認定 rA 即獨立未知量,獨立方程個數(shù) ,認定自由未知量,并賜予合適的特定值,回代方程,求得基礎解系及齊次通解 或先求通解,后得基礎解系 ； 5 求非齊次特解,解的結(jié)構(gòu),求出非齊次通解 .15數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！并應留意到方程組Am n X= 1, 2, nX=其齊次方程組的解是向量組 1, 2, n 的線性相關的線性組合系數(shù),非齊次特解 及通 是 由 1, 2, n線性表出的表出系數(shù) 例題 3.3.當 AB=0時, B的列向量是 AX=0的解向量 例題 3.6.3. 證明某組向量是

44、方程組的基礎解系 例題 3.1 ,3.2. 向量組 1, 2, s是方程組AX=0的基礎解系要中意三條, A i=0i=1 ,2,3, s , 1, 2, n線性無關,s=n-rA .第五章 特點值、特點向量摸索的魚點撥特點 值、特點向量是 線 性代數(shù)的重要內(nèi)容,是考研的重點之一 .共有三部分要求： 1. 懂得特點值、特點向量的概念和性質(zhì),會求矩陣 An n 的特點值、特點向量,一般求An n 的特點值、特點向量有兩條思路 . I 利用定義,求中意定義 A = 0 的 和 ,一般適用于抽象矩陣 .如 An n 有特點值 ,對應的特點向量為 ,就利用定義可求得 A2,Ak,fA 是多項式 的特點

45、值為 2, k,f 當 A可逆時,就 A-1,A, ,對應的特點值為 1/ , A/ , , 如題 1.1 ,特點向量仍是 . 利用特點方程求 EA =0,再由 E A x=0 求出基礎解系得對應于 的線性無關特點向量,一般適用于具體的數(shù)值矩陣 .明顯對角陣,上、下三角陣的特點值為對角元素 特點向量是什么 . 當 rA=r0. 即正定,二次型正定性的證明般用定理 正定的充分必要條件 ,最終的方法是用定義 .4 兩個二次型 或?qū)崒ΨQ陣 合同 . 有相同的正、負慣性指數(shù) . 相同的正慣性指數(shù)和秩 .第四篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計17數(shù)一?？碱}型和學問點歸納！第一章 隨機大事和概率摸索的魚點撥本章的重點在大事的關系和運算,概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、大事的獨立性等近幾年 單獨出本章的考 題較 少,但大多作 為基本知 識點出 現(xiàn)在以后各章的考 題中大多數(shù)考生 對本章中的古典型概率感到困 難對古典型概率和幾何型概率只要會 運算一般難度的 題型就可以,不必刻意去做各種 較復雜的題型由于古典型概率和幾何型概率 到底不是重點,應當 將本章重點中有關的基本概念、基本理 論和基本方法懂得 完全和熟 練 把握其次章 隨機變量及其分布摸索的魚點撥本章的重點是隨機 變量及其分布函數(shù)的概念和性 質(zhì),分布律和概率密