2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第19講 共線向量問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第19講 共線向量問題一、解答題 1已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值2如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于，求證：為定值.3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且短軸長為2，離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求證：為定值. 4已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)

2、在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明：為定值5已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，且（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值6已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，若PA=mAF，PB=n7已知橢圓：，點(diǎn)在的長軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)且斜率大于0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).當(dāng)為的右焦點(diǎn)且的傾斜角為時(shí)，重合，.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)均不重合時(shí)，記，若，求證：直線的斜率為定值.8

3、如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足，求的取值范圍.9已知雙曲線C：與直線l：x + y = 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B(I) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；() 設(shè)直線l與y軸交點(diǎn)為P，且，求的值10給定拋物線C：y24x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)(1)設(shè)的斜率為1，求與夾角的余弦值；(2)設(shè)，若4，9，求在y軸上截距的變化范圍第19講 共線向量問題一、解答題 1已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）過點(diǎn)Q（0，1）的

4、直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值【答案】(1) 取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)證明過程見解析【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，再由，得，利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所

5、以拋物線的方程為y2=4x由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k0）由得依題意，解得k0或0kb0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P,Q是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1P定點(diǎn)的坐標(biāo).9已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線相切.（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程，（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn).求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn).10已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且和直線相切，動(dòng)圓圓心形成的軌跡是曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）在曲線上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

6、若不存在，說明理由.11已知橢圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為（1）求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q，試判斷以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由12已知拋物線與過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若，軸，垂足為，探究：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.13已知橢圓：.左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓外部，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，若直線分別與

7、軸交于兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn).如果是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由.14已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓相交于點(diǎn)，（不與頂點(diǎn)重合），過右頂點(diǎn)分別作直線，與直線相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由15已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，離心率為，其中（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)且與橢圓相切的直線與，分別交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不

8、存在，請說明理由16已知橢圓的離心率為，其左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.第20講 圓過定點(diǎn)問題一、解答題 1已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最近距離為，若橢圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）試探求以為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由【答案】（）由題意得.橢圓的方程為：（）記直線、的斜率分別為、，

9、設(shè)的坐標(biāo)分別為,，.在橢圓上，所以，設(shè)，則，.，又.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，,所以，以為直徑的圓的方程為：.令，得，將兩點(diǎn)代入檢驗(yàn)恒成立.所以，以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)【分析】(1)根據(jù)題意，列出方程組，求解即可得出結(jié)果；(2)先記直線、的斜率分別為、，設(shè)的坐標(biāo)分別為，表示出，根據(jù)在橢圓上，得到，進(jìn)而可得，再設(shè)，可得，由的中點(diǎn)為，得到以為直徑的圓的方程，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得： ，橢圓的方程為：（2）記直線、的斜率分別為、，設(shè)的坐標(biāo)分別為，所以， .因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，設(shè)， ，則，所以，又.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，以為直徑的圓的方程為：.令，得，所以將兩點(diǎn)代入檢驗(yàn)恒成立.所以，以為直

10、徑的圓恒過軸上的定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程以及橢圓中的定點(diǎn)問題，熟記橢圓的性質(zhì)等，即可求解，屬于?？碱}型.2已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A、B分別為橢圓的左項(xiàng)點(diǎn)和上頂點(diǎn)，ABF的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ分別與直線x交于點(diǎn)M、N以MN為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)和【分析】（1）根據(jù)ABF的面積為求出a2，即得解；（2）設(shè)直線PQ的方程為，點(diǎn)求出，設(shè)以MN為直徑的圓過定點(diǎn)P（m，n），則，聯(lián)立和PQ的方程為，得到韋達(dá)定理，把韋達(dá)定理代入即得解.【詳解

11、】解：（1）由題得ABF的面積，解得a2，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）已知點(diǎn)A（2，0），設(shè)直線PQ的方程為，點(diǎn)直線AP的方程為，直線AQ的方程為，將代入直線AP、AQ方程，可得，設(shè)以MN為直徑的圓過定點(diǎn)P（m，n），則，即聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程為，可得，化簡得，即，代入上式化簡得，由此可知，若上式與t無關(guān)，則，又，因此MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)和【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明曲線過定點(diǎn)，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況，找出定點(diǎn)的位置，然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上（定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已

12、知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).3已知定點(diǎn)，圓，過R點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)過R點(diǎn)作直線交SM于Q點(diǎn).（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；（2）若A，B為Q的軌跡與x軸的左右交點(diǎn)，為該軌跡上任一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP分別交直線l：于點(diǎn)M，N，判斷以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)如圓過定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)；如不是，說明理由.【答案】(1) ;(2) 以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)【分析】(1) 利用,可以推出,根據(jù)可知: 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓,進(jìn)而可以寫出Q點(diǎn)的軌跡方程.(2)設(shè),求出的坐標(biāo)后,再求出 的中點(diǎn)坐標(biāo),然

13、后求出以 為直徑的圓的方程,令可求得 為定值,所以圓過定點(diǎn).【詳解】(1)如圖:因?yàn)?所以,所以,根據(jù)橢圓的定義知:動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓,這里,所以 點(diǎn)的軌跡方程為:.(2)由題可知,設(shè),所以,則直線的方程為:,令,則,所以 ,因?yàn)?則直線的方程為:,令,則 ,所以,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為,此時(shí)圓的方程為:,令,得,又,所以 , 解得:,故以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程,圓過定點(diǎn)問題,屬難題.4已知圓和直線，在軸上有一點(diǎn)，在圓上有不與重合的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線斜率為，直線斜率為，直線斜率為，（l）若求出點(diǎn)坐標(biāo)；交于，交于，求證：以為直徑的圓，總過定

14、點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)（2）若：判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若有，求出來，若沒有，請說明理由【答案】（1），定點(diǎn)為；（2）直線過定點(diǎn)【解析】試題分析：第一問根據(jù)兩斜率乘積等于，從而得到為直徑，從而確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用直徑所對的圓周角為直角，利用垂直關(guān)系，建立等量關(guān)系式，從而求得圓的方程，利用曲線過定點(diǎn)的原則，求得定點(diǎn)坐標(biāo)；第二問想辦法求得直線的方程，利用直線過定點(diǎn)問題的解決方法，從而求得直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)試題解析：（1），又因?yàn)樵趫A上，所以為直徑，故,法一：設(shè)，令得，令得，且，故，令，則，故故定點(diǎn)坐標(biāo)為：法二：，得，得，故圓方程為：由，令，則，故則定點(diǎn)為（2）法一：解：設(shè)與圓聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理：，由得

15、：，同理，再利用，直線過定點(diǎn)法二：可以先猜后證，所以同號不妨設(shè)，則，與圓聯(lián)立得，則，與圓聯(lián)立得，此時(shí)，同理由圓對稱性，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，若直線過定點(diǎn)，則聯(lián)立上述直線的方程，求出交點(diǎn)，下面驗(yàn)證是否為定點(diǎn)設(shè)過且與圓有交點(diǎn)的直線斜率為，則直線方程為，代入圓方程得：兩交點(diǎn)由韋達(dá)定理：，故，過定點(diǎn)考點(diǎn)：曲線過定點(diǎn)問題5已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）

16、根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程得到，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，所以，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故以為直徑的圓的方程為，又因?yàn)?，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6已知圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與分別與軸交于兩點(diǎn)（1）若時(shí)，求以為直徑

17、圓的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)是和【解析】試題分析：由直線方程得，由得故所求面積為（2）根據(jù)兩直線互相垂直設(shè)出直線AP，BP的方程，寫出以MN為直徑的圓的方程，令y=0得定點(diǎn)和試題解析：（1）解析：當(dāng)時(shí)，直線方程是，所以；直線方程是，所以，因此所以以為直徑圓的面積是（2）解法1：設(shè)直線交軸于；同法可設(shè)直線交軸于，線段的中點(diǎn)所以以為直徑的圓的方程為：，展開后得，令，得，則過定點(diǎn)和解法2：設(shè)，線段線段的中點(diǎn)所以以為直徑的圓的方程為：，展開后得，考慮到，有，令，得，則過定點(diǎn)和考點(diǎn)：直

18、線與圓的綜合應(yīng)用7已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是、以為圓心、以3為半徑的圓與以為圓心、以1為半徑的圓相交，交點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由橢圓的定義可得，根據(jù)橢圓的離心率求得,進(jìn)而求的.(2)設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可將直線與直線分別表示出來，進(jìn)而可求其與軸交于點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)，則等價(jià)于恒成立，帶點(diǎn)求解即可.【詳解】（1）由題意知，則又，可得，橢

19、圓的方程為（2）以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)由得設(shè)，則有，又點(diǎn)M是橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)由題意可知直線AM的方程為，故點(diǎn)直線BM的方程為，故點(diǎn)若以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)，則等價(jià)于恒成立又，恒成立又，解得故以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線中求曲線方程，直線與曲線的關(guān)系以及定點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng).設(shè)而不求是基本方法，解題處理關(guān)鍵地方在于將圓過定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.8已知橢圓C: x2a2+y2b2=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0),（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P,Q是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1P定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2），【解析】

20、試題分析：（1）由題意得，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解得a=2，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（2）由題意得，寫出直線和直線的方程，可得設(shè)，寫出以PQ為直徑的圓的方程，令，即可求解求定點(diǎn)的坐標(biāo)試題解析：（1）由，得再由，得a=2，橢圓的方程（2） 由（1）知：設(shè)直線斜率為，則直線的方程為：，直線的方程為：，令得：于是以PQ為直徑的圓的方程為：即：令，得或圓過定點(diǎn)，考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)；圓的方程的應(yīng)用【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)、圓的方程的應(yīng)用，判定圓過定點(diǎn)，屬于中檔試題，著重考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和圓的方程求法，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和推理、運(yùn)算能

21、力，本題的解答中寫出直線和直線的方程，得，寫出以PQ為直徑的圓的方程是解答的關(guān)鍵9已知?jiǎng)訄A與定圓相外切，又與定直線相切.（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程，（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn).求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）易知到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，得到軌跡方程.（2），設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程得到，為直徑的圓方程為：，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）如圖所示：根據(jù)題意知到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以的軌跡方程為：.（2）顯然直線不與軸重合，設(shè)直線方程為：，與聯(lián)立消得：，設(shè)，則，直線方程為：，所以，即，同理，所以以為直

22、徑的圓方程為：，令得：，即，以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且和直線相切，動(dòng)圓圓心形成的軌跡是曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）在曲線上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）由拋物線定義確定P的軌跡方程，（2）設(shè)，直線的方程為，代入拋物線方程，整理得設(shè)存在定點(diǎn)，由，代入韋達(dá)定理整理得，利用即可得【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心到直線的距離為，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物

23、線，拋物線方程為.（2）根據(jù)題意，設(shè)，直線的方程為，代入拋物線方程，整理得 若設(shè)拋物線上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)，設(shè)，則，同理可得 解得在曲線上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查由定義求軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題11已知橢圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為（1）求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q，試判斷以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由【答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)題目橢圓

24、過短軸端點(diǎn)，以及離心率，可以求出橢圓方程為.（2）利用直線MA的斜率以及直線MB的斜率，的方程，得出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，那么就可以設(shè)出圓的方程，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，就可以求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為，所以b=1，且橢圓的離心率為，所以，并且，得出，所以橢圓方程為.（2）設(shè)點(diǎn)M),則,所以過原點(diǎn)與MA平行的直線方程為：,令,得,;, 所以直線MB方程為：,令,得,;設(shè)過點(diǎn)P,Q的圓的方程為展開后得：即：;令,y=9或y=-3，故定點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】（1）求橢圓的方程就是利用題目的信息求解;（2）要注意過兩點(diǎn)的圓的方程可以設(shè)為:，這樣求解比較方便，特別要明確圓過定點(diǎn)就是

25、與點(diǎn)M的位置無關(guān)，中，令x=0，即可得解.12已知拋物線與過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若，軸，垂足為，探究：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）或；（2）過定點(diǎn)，【分析】（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式計(jì)算即可；（2）設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，利用得，令解方程組即可.【詳解】（1）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，將代入，消去可得，顯然，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為或.（2）因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn)，設(shè)，則由（1）可得，所以，又軸，垂足為，所以，設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，

26、則，所以，即，化簡可得，令，可得，所以當(dāng)，時(shí)，對任意的，式恒成立，所以以為直徑的圓過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線中的定點(diǎn)問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.13已知橢圓：.左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓外部，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，若直線分別與軸交于兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn).如果是請求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)為和.【分析】（1）的三邊有一邊已經(jīng)確定，問題轉(zhuǎn)化為，何時(shí)另外兩邊之和最大，結(jié)合橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第

27、三邊即可確定思路；（2）分直線斜率存在與不存在分別研究，不存在容易得出定點(diǎn)，存在時(shí)，可以設(shè)出斜率，再聯(lián)立橢圓方程，求出坐標(biāo)，最后求出以為直徑的圓的方程，方程里面含有，再令即可.【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則即點(diǎn)為與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，周長最大 所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，設(shè)，則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為聯(lián)立得令，得同理得設(shè)中點(diǎn)為，則所以以為直徑的圓得方程為即即令，得所以過點(diǎn)和，且為定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，容易知道此時(shí)所以以為直徑的圓是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，顯然也過定點(diǎn) 和綜上，此圓過定點(diǎn)和【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于過定點(diǎn)的問題，可以先通過特殊情況得到定點(diǎn)，再去證明一般得情況.14已知

28、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓相交于點(diǎn)，（不與頂點(diǎn)重合），過右頂點(diǎn)分別作直線，與直線相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）以為直徑的圓恒過兩定點(diǎn)，【分析】（1）由可得的值，的面積最大時(shí)，由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可列方程，再結(jié)合 的關(guān)系，從而得出答案.(2)設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，由點(diǎn)坐標(biāo)得出的方程進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得出坐標(biāo)，寫出以為直徑的圓的方程，從而得出圓過定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，化簡得又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，由題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得設(shè)，則 ，直線令，得，同理可得，所以以為直徑的圓的方程為，即，由得：代入得圓的方程為若圓過定點(diǎn)，則解得或所以以為直徑的圓恒過兩定點(diǎn)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛