2023屆高三數(shù)學(xué)小題專練-平面向量數(shù)量積3（含解析）

1、試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 6 6頁試卷第 =page 6 6頁，共 =sectionpages 6 6頁一、單選題1已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）ABCD2已知向量，若，則實數(shù)（）A0BC1D33已知向量，則下列說法不正確的是（）A若，則的值為B若，則的值為2C的最小值為1D若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是4已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點O為其外接圓的圓心.已知，則角A的最大值為（）ABCD5如圖，在正方形中，E為的中點，點P是以為直徑的圓弧上任一點則的最大值為（）A4B5CD6在中，P為所在平面內(nèi)的動點，且，

2、則的取值范圍是（）ABCD7如圖，點在的內(nèi)部，是邊，的中點(，三點不共線)，則向量與的夾角大小為（）A105B120C135D1508在邊長為1的菱形中，是的中點，則（）ABCD9如圖，在等邊中，向量在向量上的 投影向量為（）ABCD10已知直線與圓相交于，兩點，則的值為（）AB16CD811若非零向量滿足，則與的夾角為（）ABCD12如圖，正六邊形的邊長為2，動點從頂點出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點，若的最大值和最小值分別是，則（）A9B10C11D1213在中，角所對的邊分別為，且點滿足，若，則的最大值為（）ABCD14已知圓O：，直線l：，P為直線l上一動點，過點P作圓O的兩條切線

3、PA，PB，A，B為切點，則（）A點P到圓O上的點的最小距離為B線段PA長度的最小值為C的最小值為3D存在點P，使得的面積為15設(shè)為單位向量，滿足，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（）ABCD16平行四邊形中，為中點，點在對角線上，且，若，則（）ABCD17如果平面向量，那么下列結(jié)論中不正確的是（）ABC，的夾角為180D向量在方向上的投影為18已知菱形的對角線相交于點，點為的中點，若，則（）ABCD19窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等已知圓O是某窗的

4、平面圖，O為圓心，點A在圓O的圓周上，點P是圓O內(nèi)部一點，若，且，則的最小值是（）A3B4C9D1620中，、分別是內(nèi)角、的對邊，若且，則的形狀是（）A有一個角是的等腰三角形B等邊三角形C三邊均不相等的直角三角形D等腰直角三角形二、填空題21已知、表示共面的三個單位向量，那么的取值范圍是_22在矩形中，已知，（為正常數(shù)），為邊的中點，是對角線上的動點（含端點），若的取值范圍為，則_.23在中，動點自點出發(fā)沿運動，到達點時停止，動點自點出發(fā)沿運動，到達點時停止，且動點的速度是動點的倍若二者同時出發(fā)，且當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也停止運動，則該過程中的最大值是_24已知向量，滿足，則的最大值是

5、_.25已知向量 ，則向量在向量上的投影向量為_（用坐標(biāo)表示）26已知，存在實數(shù)，使，則的取值范圍為_27已知，是空間單位向量， ，若空間向量滿足，（，），則的最大值是_28已知向量，其中，且，則向量與的夾角等于_；29如圖，在矩形中，點為的中點，點在邊上，若，則的值是_.30已知，則_答案第 = page 21 21頁，共 = sectionpages 22 22頁答案第 = page 22 22頁，共 = sectionpages 22 22頁參考答案：1B【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運算的坐標(biāo)表示即可計算作答.【詳解】是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD

6、分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點，于是得：，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是.故選：B2B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積等于零，求得的值.【詳解】因為向量，且，所以，即，所以有，解得，故選：B.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)向量的問題，解題方法如下：（1）根據(jù)向量垂直向量數(shù)量積等于零，建立等式；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運算法則進行化簡；（3）利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.3D【分析】根據(jù)向量平行、模、夾角等知識確定說法不正確的選項.【詳解】A選項，若，則，A選項說法正確.B選項，若，兩邊平方并化簡得，即，B選項說法正確.C選項，當(dāng)時，有最小值為，C選

7、項說法正確.D選項，若與的夾角為鈍角，則，D選項說法不正確.故選：D4A【分析】取的中點D，則可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【詳解】取的中點D，則，所以，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選：A.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.5D【解析】建立如圖

8、所示的平面直角坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算，即，即可得到答案；【詳解】則，設(shè)，其中，故選：D.6D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，所以，所以，其中，因為，所以，即；故選：D7B【解析】由，是邊，的中點，得，由可得答案.【詳解】連接，如下圖所示.因為，是邊，的中點，所以，且，所以，所以，解得.又因為，所以.則向量與的夾角大小為120，故選：B.【點睛】本題考查向量的線性運算，數(shù)量積.8D【分析】用為基底表示出，然后計算數(shù)量

9、積【詳解】如圖所示，邊長為1的菱形中，；又為中點，且，故選：D9D【分析】將向量用表示，求得模長及，從而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.【詳解】由題知D點是BC的四等分點，設(shè)三角形邊長為a，則，則向量在向量上的投影向量為：，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：表示出，計算得到，利用投影公式求解.10C【分析】分別求出A，B坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算直接求出.【詳解】因為直線與圓相交于A，B兩點，所以，解得：.所以.故選：C.11C【分析】設(shè)與的夾角為，進而根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和向量垂直時數(shù)量積為0得，進而得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，則，若，則，即，又由，則，故選：C12D【

10、分析】連接，根據(jù)正六邊形的特征可得，從而可得，再根據(jù)當(dāng)在上運動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，即可求得，從而得出答案.【詳解】解：連接，在正六邊形中，正六邊形的邊長為2，因為當(dāng)在上運動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，所以當(dāng)在上運動時，取得最大值，為，當(dāng)移動到點時，取得最小值，為0 ，故選：D.【點睛】13A【分析】利用向量知識可得，兩邊平方可得，再利用不等式知識可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因為，所以，所以，解得.所以的最大值為故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將向量條件化為，利用向量數(shù)量積的運算律運算得到是解題關(guān)鍵.14C【分析】根據(jù)給

11、定條件結(jié)合圓的性質(zhì)、圓的切線長定理逐項分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】圓O：的圓心，半徑，如圖， 對于A，點O到直線l的距離，則點P到圓O上的點的最小距離為，A不正確；對于B，由選項A知，由切線長定理得，B不正確；對于C，依題意，在中，則，由選項B知，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，C正確；對于D，由選項B知，顯然對單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時，D不正確.故選：C15C【分析】根據(jù)為單位向量，設(shè)，且，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到x的范圍，然后利用求解.【詳解】因為為單位向量，不妨設(shè)，且，所以，又因為，所以，化簡得，所以，當(dāng)時，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是在為單位向量的條件下，設(shè)，由確定x的范圍.

12、16A【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，由題意可得出，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、，所以，則，因此，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用平面向量垂直求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解.17D【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算，向量的模，向量的夾角運算，向量在另一個向量上的投影的應(yīng)用判定選項的結(jié)論【詳解】解：因為，所以，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，故，故B正確；對于C，因為，所以與的夾角為180，故C正確；對于D，在方向上的投

13、影為：，故D錯誤.故選：D.18B【分析】根據(jù)題意,以對角線交點為坐標(biāo)原點，對角線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解.【詳解】解：如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，所以，所以，所以.故選：B【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解，考查運算求解能力，是中檔題.19A【分析】利用向量的線性運算，結(jié)合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，即，則因為點P是圓O內(nèi)部一點，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是3,故選：A.20D【分析】由推導(dǎo)可得的平分線垂

14、直于邊BC，進而可得，再由給定面積導(dǎo)出得解.【詳解】如圖所示，在邊、上分別取點、，使、，以、為鄰邊作平行四邊形，則，顯然，因此平行四邊形為菱形，平分，而，則有，即，于是得是等腰三角形，即，令直線AF交BC于點O，則O是BC邊的中點，而，因此有，從而得，所以是等腰直角三角形.故選：D21【分析】計算出的值，利用平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合余弦函數(shù)的有界性可求得的取值范圍.【詳解】已知、表示共面的三個單位向量，則，所以，而，因此，.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，

15、同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用221【分析】以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，借助平面向量運算即可計算作答.【詳解】以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，有，由得：，而的取值范圍為，于是得，而 m為正數(shù)，解得：，所以.故答案為：123【分析】先求出且建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)點，求出，即得解.【詳解】因為，所以且建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)點，則，從而可得，所以因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為故答案為：7224【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件可得，整理可得，求得的范圍即可求解.【詳解】設(shè)，則，整理得：，所以，則，解得：，所以，故答案為：.25【分析】先計算兩個向量的夾角的余弦值，再計算向量 在向量 上的投影向量.【詳解】因為，則 ，所以向量 在向量 上的投影向量為.故答案為：26【分析】先由，得，再代入向量垂直關(guān)系式得的關(guān)系，由重要不等式整理得的不等關(guān)系，最后化簡求解不等式.【詳解】，.又，則.則有，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.則有，兩邊同除以n得，解得(舍)，或.(由，得).故答案為：.【點睛】利用；，可解決垂直、平行問題.27【分析】由，及模長公式，求得，從而求得，將問題化為求得結(jié)果