多目標(biāo)規(guī)劃模型

1、關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃模型第1頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多,有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾,這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題.但由于客觀實(shí)際的需要,多目標(biāo)決策問題越來越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說,其基本途徑是,把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題.其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題,然后利用單目標(biāo)模型的方法,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解,以此作為多目標(biāo)問題的解. 化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類,一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化. 下面,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目

2、標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。第2頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三f1f21234567810.1多目標(biāo)決策問題的特征 在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變量X，使目標(biāo)函數(shù)f(X)取得最大（或最小）。對于任意兩方案所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目標(biāo)f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)下共有8個(gè)解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，因?yàn)樗鼈冊趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因?yàn)檫@

3、些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。一、解的特點(diǎn)第3頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三二、模型結(jié)構(gòu) 多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要小；目標(biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。 多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目標(biāo)

4、問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。第4頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三1、多目標(biāo)規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X)第5頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三第6頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三第7頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星

5、期三10.2 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解1、主要目標(biāo)法 在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定f1(X)為主要目標(biāo)，其余p-1個(gè)為非主要目標(biāo)。這時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即第8頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三例題1 某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出

6、去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？甲乙資源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產(chǎn)品的價(jià)格400600單位產(chǎn)品的利潤70120單位產(chǎn)品的污染32第9頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三解：問題的多目標(biāo)模型如下對于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤最大為主要目標(biāo)。另兩個(gè)目標(biāo)則通過預(yù)測預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000個(gè)單位，而污染控制在90個(gè)單位以下，即由主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)問題用單純形法求得其最優(yōu)解為第10頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)

7、44分，星期三2、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)則分別給fi賦予相同的權(quán)系數(shù)i，作線性加權(quán)和評價(jià)函數(shù)則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題第11頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三例如，某公司計(jì)劃購進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有如下4種類型：A1，A2，A3，A4。現(xiàn)考慮6個(gè)方案屬性：維修期限f1，每100升汽油所跑的里數(shù)f2，最大載重噸數(shù)f3，價(jià)格（萬元）f4，可靠性f5，靈敏性f6。這4種型號的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A2

8、2.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。先將定性指標(biāo)定量化：第12頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三效益型指標(biāo)很低低一般高很高13579很高高一般低很低 成本型指標(biāo)可靠性和靈敏性都屬于效益型指標(biāo)，其打分如下可靠性一般低高很高5379靈敏性高一般很高一般7595按以下公式作無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理其中：第13頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三變換后的指標(biāo)值矩陣為：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110

9、011A3142.25100167100A440.625.756725.751001設(shè)權(quán)系數(shù)向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則故最優(yōu)方案為選購A3型卡車第14頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三3、分層序列法：1.基本步驟：把(VP)中的p個(gè)目標(biāo) 按其重要程度排序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2. 過程：無妨設(shè)其次序?yàn)?先求解 得最優(yōu)值 ，記再解 得最優(yōu)值 ，依次進(jìn)行，直到 得最優(yōu)值則 是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。第15頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三3. 性質(zhì)： ，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。

10、設(shè) ，但 ，則必存在 使 即至少有一個(gè)j0 ，使 , 由于 ，即 ， 矛盾。得證。4. 進(jìn)一步討論： 上述方法過程中，當(dāng)某個(gè)問題(Pj)的解唯一時(shí)，則問題 的求解無意義，因?yàn)榻舛际俏ㄒ坏摹?實(shí)際求解時(shí)，有較寬容意義下的分層序列法： 取 為預(yù)先給定的寬容值，整個(gè)解法同原方法類似，只是取各約束集合時(shí)，分別取為：第16頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 目標(biāo)規(guī)劃模型 線性規(guī)劃問題都是處理單個(gè)目標(biāo)的情況，但是在現(xiàn)實(shí)世界中有許多問題具有多個(gè)目標(biāo)，這些目標(biāo)的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標(biāo)相互依賴，例如決策者既希望實(shí)現(xiàn)利潤最大，又希望實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值最大；有的相互抵觸，如決策者既

11、希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。這就是目標(biāo)規(guī)劃所要解決的問題。當(dāng)所有的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性時(shí)，我們稱其為線性目標(biāo)規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標(biāo)規(guī)劃問題。一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立 第17頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三引例1： 對于生產(chǎn)計(jì)劃問題： 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時(shí) 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：（1）根據(jù)市場信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用

12、工時(shí)，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計(jì)劃利潤30元?，F(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計(jì)劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實(shí)現(xiàn)？第18頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三解：（1）決策變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2 偏差變量：對于每一目標(biāo)，我們引進(jìn)正、負(fù)偏差變量。 如對于目標(biāo)1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對于目標(biāo)1，可將它表示為等式約束的形式 -x1+x2+ d1- d1+ =0 (目標(biāo)約束) 同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于

13、可利用工時(shí)和高于可利用工時(shí)，即加班工時(shí)的偏差變量，則對目標(biāo)2，有 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 對于目標(biāo)3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于計(jì)劃利潤30元和高于計(jì)劃利潤30元的偏差變量，有： 第19頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 （2）約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束 資源約束：2x1+3x224 目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束 （3）目標(biāo)函數(shù)：三個(gè)目標(biāo)依次為： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3- 因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d

14、2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 第20頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 案例2（提級加新問題） 某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準(zhǔn)備招收部分新員工，并將部分員工的工資提升一級。該公司的員工工資及提級前后的編制表如下，其中提級后編制是計(jì)劃編制，允許有變化，其中1級員工中有8%要退休。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標(biāo)如下：（1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；（2）各級員工不要超過定編人數(shù)；（3）為調(diào)動積極性，各級員工的升級面不

15、少于現(xiàn)有人數(shù)的18%；（4）總提級面不大于20%，但盡可能多提；（5）4級不足編制人數(shù)可錄用新工人。 第21頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標(biāo)？ 級別1234工資（千元）8643現(xiàn)有員工數(shù)10204030編制員工數(shù)10225230解：（1）決策變量：設(shè)x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級和新錄用的員工數(shù)。 偏差變量：為各目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。 （2）約束條件：1） 提級后在職員工的工資總額不超過550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1-d

16、1+=550 第22頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 2）各級員工不要超過定編人數(shù)1級有： 10-10 8%+x1+d2-d2+=10 2級有： 20-x1+ x2+d3-d3+=22 3級有： 40-x2+ x3+d4-d4+=52 4級有： 30-x3+ x4+d5-d5+=303）各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%對2級有： x1+d6-d6+=22 18%對3級有： x2+d7-d7+=40 18% 對4級有： x3+d8-d8+=30 18% 4）總提級面人數(shù)不大于20%，但盡可能多提 x1+ x2+ x3+d9-d9+=100 20% 第23頁，共31

17、頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三（3）目標(biāo)函數(shù)：minZ1=d1+minZ2=d2+d3+ d4+ d5+minZ3=d6-+ d7-+ d8-minZ4=d9+ d9-案例3 有三個(gè)產(chǎn)地向四個(gè)銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地Ai(i=1,2,3)的供應(yīng)量ai、銷地Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各產(chǎn)銷地之間的單位物資運(yùn)費(fèi)Cij如表2所示。表中，ai和bj的單位為噸，Cij的單位為元/噸。編制調(diào)運(yùn)方案時(shí)要求按照相應(yīng)的優(yōu)先級依次考慮下列七個(gè)目標(biāo)：P1：B4是重點(diǎn)保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；P2：A3向B1提供的物資不少于100噸；P3：每個(gè)銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的80

18、%； 第24頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三P4：實(shí)際的總運(yùn)費(fèi)不超過最小總運(yùn)費(fèi)a的110%，這里的最小總費(fèi)用利用第三大題中第2小題求出的結(jié)果；P5：因路況原因，盡量避免安排A2的物資運(yùn)往B4；P6：對B1和B3的供應(yīng)率要盡可能相同；P7：力求使總運(yùn)費(fèi)最省。試建立該問題的運(yùn)籌學(xué)模型。 Cij BjAiB1B2B3B4aiA15267300A23546200A34523400bj200100450250解：用表上作業(yè)法可求得不考慮P1至P6各目標(biāo)時(shí)的最小運(yùn)費(fèi)調(diào)運(yùn)方案，相應(yīng)的最小運(yùn)費(fèi)為2950元第25頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三（1）決策變量：

19、設(shè)Ai運(yùn)往Bj的物資為xij噸（2）約束條件：產(chǎn)量約束B4銷量要滿足銷量80%的限制供應(yīng)率盡可能相同第26頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三二、目標(biāo)規(guī)劃的解法 由于目標(biāo)規(guī)劃有多個(gè)目標(biāo)，各個(gè)目標(biāo)又有相對不同的重要性，求解時(shí)是首先滿足重要性權(quán)數(shù)大的目標(biāo)，再滿足重要性權(quán)數(shù)次大的目標(biāo)，所以并不能保證所有的目標(biāo)都能達(dá)到，所求的解也不一定是最優(yōu)解，而只能求出滿意解。 （3）目標(biāo)函數(shù)第27頁，共31頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)44分，星期三 求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純形法不同的是，此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)行不再是一行，而是變化為一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)矩陣。 例4 用單純形法求解如下線性目標(biāo)規(guī)劃模型 minZ1=d1-，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 加入松馳變量化為標(biāo)準(zhǔn)形