復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則

1、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則第1頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四則定理 2.5 若(1)(2)若 B0 , 則有(3)一、 極限的四則運(yùn)算法則第2頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四證時(shí),有取則當(dāng)時(shí),有當(dāng)(1)由可知使得當(dāng)時(shí),有因此第3頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四(2)使得 由 及 定理2.2 知， 及 及第4頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四有 又由 知,使得當(dāng)取則對(duì)于上述 0,有/ 2C因此時(shí), 有當(dāng) 其中第5頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四(3) 由 及 定理2.2 知， 及使

2、得當(dāng)時(shí), 有由于 及所以由(2), 需證當(dāng)B0時(shí)因此從而(3)式成立.第6頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四若則有注運(yùn)算法則 , 有相應(yīng)的結(jié)論 .及 x時(shí)函數(shù)極限的四則例如, 對(duì)于數(shù)列極限,對(duì)于數(shù)列極限有以下結(jié)論: 數(shù)列是一種 特殊的函數(shù), 故此結(jié)論可 由定理2.5直 接得出 .第7頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四(極限運(yùn)算的線性性質(zhì)) 若 以上運(yùn)算法則對(duì)有限個(gè)函數(shù)成立.推論 和是常數(shù)， 則 于是有 冪的極限等于極限的冪第8頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四求 解例1極限運(yùn)算的線性性質(zhì) 結(jié)論： 冪的極限等于極限的冪第9頁(yè)，共3

3、7頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四解例2商的極限等于極限的商第10頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四一般地， 設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式 ,注 若不能直接用商的運(yùn)算法則 .請(qǐng)看下例: 結(jié)論： 第11頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四解商的極限法則不能直接用例3由極限定義x1，x1, 約去無(wú)窮小因子法第12頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四“ 抓大頭”分析可以先用 x3 同時(shí)去除分子和分母, 然后再取極限.例4解第13頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四結(jié)論：為非負(fù)常數(shù) )消去無(wú)窮大因子法: 以分

4、母中自變量的最高次冪 除分子, 分母, 以消去無(wú)窮大 因子, 然后再求極限.第14頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例5解分析型，先通分，再用極限法則.第15頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例6解無(wú)窮多項(xiàng)和的極限公式求和變?yōu)橛邢揄?xiàng)第16頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四定理證(有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小)則第17頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例如，=0第18頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理2.6 設(shè) 當(dāng)時(shí),又則有注1 定理2.6中的條件：不可

5、少. 否則，定理2.6 的結(jié)論不一定成立.原因：第19頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四反例雖然所以第20頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四則2 定理2.6的其他形式(1)(2)則有第21頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四由定理2.6，知在求復(fù)合函數(shù)極限時(shí),可以作變量代換，得到且代換是雙向的，即第22頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例7 求解 令于是從而 原式 =從左向右用式第23頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則(1) 極限四則運(yùn)算法則(2) 復(fù)合函數(shù)極限

6、運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )時(shí), 對(duì)型 , 約去零因子時(shí) , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法：設(shè)中間變量，變量代換.或先有理化后約分第24頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四 1. 在自變量的某個(gè)極限過(guò)程中，若 存在， 不存在，那么 (1)是否一定不存在？為什么?(2)是否一定不存在？(3) 又加條件：是否一定不存在？思考題2.第25頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四答： 一定不存在由極限運(yùn)算法則可知：必存在，這與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤思考題解答(1)是否一

7、定不存在？為什么? 1. 在自變量的某個(gè)極限過(guò)程中，若 存在， 不存在，那么 第26頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四答：不一定.反例：(2)是否一定不存在？ 1. 在自變量的某個(gè)極限過(guò)程中，若 存在， 不存在，那么 第27頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四答：一定不存在.（可用反證法證明）(3) 又加條件：是否一定不存在？ 1. 在自變量的某個(gè)極限過(guò)程中，若 存在， 不存在，那么 2.解原式第28頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四備用題例3-1解先有理化 再約去無(wú)窮小 第29頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例3-2解因?yàn)樯鲜綐O限存在第30頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四第31頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四解可以先用同時(shí)去除分子和分母,然后再取極限.例4-1第32頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例4-2解根據(jù)前一極限式可令再利用后一極限式 , 得可見(jiàn)是多項(xiàng)式 , 且求故第33頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例5-1已知試確定常數(shù)解 分子的次數(shù)必比分母的次數(shù)低故即第34頁(yè)，共37頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)21分，星期四例6-1解無(wú)窮多個(gè)因子的積的極限變?yōu)橛邢揄?xiàng)再求極限