《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章末復(fù)習(xí)

1、PAGE20本章回顧一、思維導(dǎo)圖1變化率與導(dǎo)數(shù)平均變化率導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）導(dǎo)函數(shù)定義2導(dǎo)數(shù)的計算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)公式3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用平均變化率導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）導(dǎo)函數(shù)定義基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)的最大（?。┲祹缀我饬x導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用瞬時速度函數(shù)的極大（小）值函數(shù)的單調(diào)性生活中的優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟解決優(yōu)化問題的基本思路定積分的性質(zhì)定積分的概念定積分的計算定積分的幾何意義曲邊梯形的面積汽車行駛的路程6微積分基本定

2、理定積分的取值微積分基本定理應(yīng)用定理計算簡單的定積分分別用，定積分的取值微積分基本定理應(yīng)用定理計算簡單的定積分分別用，表示變速直線運(yùn)動物體的位移物理中的應(yīng)用幾何中的應(yīng)用平面圖形的面積計算定積分的簡單應(yīng)用變速直線運(yùn)動的路程變力做功（一）選擇題1函數(shù)在處取得極值，則A2B3C4D5答案：D解析：略點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2cos的導(dǎo)數(shù)為A2cos2sinB2cos2sinC2cos2sinDcos2sin答案：A解析：略點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)乘法與除法運(yùn)算3設(shè)曲線yaln1在點(diǎn)0，0處的切線方程為y2，則aA0B1C2D3答案：D解析：因?yàn)閥aeqf1,1，所以a12，解得a3點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的

3、加法與減法運(yùn)算at21作直線運(yùn)動，若汽車在t2時的瞬時速度為12，則aAeqf1,2Beqf1,3C2D3答案：D解析：略點(diǎn)撥：實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義5已知函數(shù)f3a21在，上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A，eqr3eqr3，Beqr3，eqr3C，eqr3eqr3，Deqr3，eqr3答案：D解析：f322a1，f在，上是單調(diào)函數(shù)，且f的圖象是開口向下的拋物線，f0恒成立，4a2120，eqr3aeqr3點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合6設(shè)函數(shù)f在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf的圖象如下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf的圖象可能是答案：A解析：略點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解7已知

4、為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為，則在上的最小值為（）ABCD答案：A解析：，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，故，從而易知當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，則在上的最小值為點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值8若關(guān)于的方程33m0在0,2上有根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A2,2B0,2C2,0D，22，答案：A解析：令f33m，則f323311，顯然當(dāng)1時，f0，f單調(diào)遞增，當(dāng)11時，feqf1,2，則滿足2f1的的集合為A|11B|1C|1D|1答案：B解析：令g2f1，由于feqf1,2，所以g2f10，故g為單調(diào)增函數(shù)，而f11，于是g12f1110，所以當(dāng)1時，g0，即2f點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最大值、

5、最小值中的應(yīng)用10設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是（）AB是的極小值點(diǎn)C是的極小值點(diǎn)D是的極小值點(diǎn)答案：D解析：略點(diǎn)撥：結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性與極值的判斷方法可得11已知函數(shù)feqfa,ln，g325，若對任意的1，2eqblcrcavs4alco1f1,2，2，都有f1g22成立，則a的取值范圍是A0，B1，C，0D，1答案：B解析：由于g325，故g32232，所以函數(shù)g在eqblcrcavs4alco1f1,2，f2,3上單調(diào)遞減，在eqblcrcavs4alco1f2,3，2上單調(diào)遞增，geqblcrcavs4alco1f1,2eqf1,8eqf1,45eqf41,

6、8，g28451由于對1，2eqblcrcavs4alco1f1,2，2，f1g22恒成立，于是fg2ma，即eqblcrcavs4alco1f1,2，2時，f1恒成立，即eqfa,ln1，在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上恒成立，a2ln在eqblcrcavs4alco1f1,2，2上恒成立，令h2ln，則h12ln，而h32ln，eqblcrcavs4alco1f1,2，2時，h0，1,2時，h0，故hh11，解得a1點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最大值、最小值中的應(yīng)用12已知函數(shù)f32b2c1有兩個極值點(diǎn)、，且2，1，1,2，則f1的取值范圍是Aeqf3,2，3Beqf3,2，6C3

7、,12Deqf3,2，12答案：C解析：f324bc，依題意知，方程f0有兩個根1、2，且12，1，21,2，等價于f20，f10，f10，f20由此得b，c滿足的約束條件為eqblcrcavs4alco1128bc0，,34bc0，,34bc0，,128bc0滿足這些條件的點(diǎn)b，c的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分由題設(shè)知f12bc，令2bc，當(dāng)直線2bc經(jīng)過點(diǎn)0，3時，最小，2bc經(jīng)過點(diǎn)C0，12時，最大，最大值為12點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，線性規(guī)劃（二）填空題13_答案：解析：略點(diǎn)撥：微積分基本定理14對正整數(shù)n，設(shè)曲線yn1在2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項和是_答案：解析：因?yàn)?/p>

8、yn1，所以yn11nnn11nf2n2n12nn22n2處點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y2nn22n12令0得，yn12n，所以ann12n，于是數(shù)列eqblcrcavs4alco1fan,n1的前n項和為點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，等比數(shù)列求和公式15如圖陰影部分是由曲線yeqf1,、y2與直線2、y0圍成，則其面積為_答案：eqf2,3ln2解析：由eqblcrcavs4alco1y2，,yf1,，得交點(diǎn)A1,1由eqblcrcavs4alco12,yf1,得交點(diǎn)Beqblcrcavs4alco12，f1,2故所求面積點(diǎn)撥：定積分在求面積中的應(yīng)用16定義：曲線C上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線C到直線的距離

9、，已知曲線到直線的距離等于曲線到直線的距離，則實(shí)數(shù)_答案：解析：曲線C2：2y42=2到直線l:y=的距離為，曲線C1：y=2a對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令得，所以C1：y=2a上的點(diǎn)到到直線的距離應(yīng)為，所以，答案得或（舍去）點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最大值、最小值中的應(yīng)用（三）解答題17已知函數(shù)f3a2b5，若曲線f在點(diǎn)1，f1處的切線斜率為3，且eqf2,3時，yf有極值（1）求函數(shù)f的答案析式；（2）求函數(shù)f在4,1上的最大值和最小值答案：見解析解析：f322ab，（1）由題意得，答案得eqblcrcavs4alco1a2，,b4經(jīng)檢驗(yàn)得eqf2,3時，yf有極小值，所以f32245（2）

10、由（1）知，f3244232令f0，得12，2eqf2,3，f，f的值隨的變化情況如下表：44，222，eqf2,3eqf2,3eqf2,3，11f00f單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)值1113eqf95,274因?yàn)閒eqf2,3eqf95,27，f213，f411，f14，所以f在4,1上的最大值為13，最小值為11點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值18已知a，bR，函數(shù)fa2ln，gb245，且曲線yf與曲線yg在1處有相同的切線（1）求a，b的值；（2）證明：當(dāng)時，曲線yf恒在曲線yg的下方答案：見解析解析：（1）因?yàn)閍ln1eqf2,，2b4，所以a2

11、，2b4，又因?yàn)榍€yf與曲線yg在點(diǎn)1，0處有相同的切線，所以f10g1b45，即b1，a224，答案得a4，b1（2）要使得當(dāng)時，曲線yf恒在曲線yg的下方，即需證f0；當(dāng)1，0，所以F在0，1上單調(diào)遞增，在1，上單調(diào)遞減，即當(dāng)1時，F(xiàn)取得最大值F10，當(dāng)時，F(xiàn)F10，即fg，所以當(dāng)時，曲線yf恒在曲線yg的下方點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最大值、最小值中的應(yīng)用19甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤元與年產(chǎn)量t噸滿足函數(shù)關(guān)系2000eqrt若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲

12、方S元以下稱S為賠付價格（1）將乙方的年利潤w元表示為年產(chǎn)量t噸的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y元，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格S是多少答案：見解析解析：（1）因?yàn)橘r付價格為S元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤為：w2000eqrtSt由weqf1000,rtSeqf1000Srt,rt，令w0得當(dāng)tt0時，w0；當(dāng)tt0時，w0，所以tt0時，w取得最大值因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量噸（2）設(shè)甲方凈收入為v元，則vSt將代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關(guān)系式v

13、eqf10002,Seqf210003,S4又veqf10002,S2eqf810003,S5，令v0，得S20時，v0；當(dāng)S20時，v0，所以S20時，v取得最大值因此甲方向乙方要求賠付價格S20元/噸時，獲得最大凈收入點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最大值、最小值中的應(yīng)用20已知函數(shù)，（1）當(dāng)a0時，在1，上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)m2時，若函數(shù)在區(qū)間1,3上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍答案：見解析解析：（1）由fh，得在1，上恒成立令geqf,ln，則geqfln1,ln2，當(dāng)1，e時，g0；當(dāng)e，時，g0，所以g在1，e上遞減，在e，上遞增故當(dāng)e時，g的

14、最小值為gee所以綜上：m的取值范圍是，e（2）由已知可得2lna函數(shù)在1,3上恰有兩個不同零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)2ln與直線ya有兩個不同的交點(diǎn)1eqf2,eqf2,，當(dāng)1,2時，0，遞減，當(dāng)2,3時，0，遞增又11，222ln2，332ln3，要使直線ya與函數(shù)2ln有兩個交點(diǎn)，則22ln2a32ln3即實(shí)數(shù)a的取值范圍是22ln2,32ln3點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最大值、最小值中的應(yīng)用21設(shè)函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的取值范圍答案：見解析解析：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2），則，由于，所以分以下兩類討論當(dāng)時，即時，時，從而在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立故滿足題意；當(dāng)時，即時，令，可答案得：，于是時，在單調(diào)遞減，故時，于是在上單調(diào)遞減，從而時，這與在上恒成立矛盾綜上所述：點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最大值、最小值中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2