數(shù)字信號處理 答案 第二章

1、n)86n( )ej8n)43 16 解 n8 516 k16(。51 j8n )2 4 3 nn 43416 8是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于n)，得出。因此4 38 k8(3h(n)= u(n)x(n)211-1-101 2h(n)3n0-1-1123 n(a)x(n)22102n04n4-1-1(b)x(n) = u(n)h(n)= anu(n)1100-1123 4n-1123n(c)1解 1ank =u(nk)=1a nk2=,n0( ) ( )u k u n kk1 1圖h h 21n12解 1=u(k) 2=a k n3 * =x(k)y(nk)k令 x(nt)n(nt*

2、=tx(nt)yt)*=t*x(k)y(nk)*k = x(k)ytk)tk = kt= km= *k*+=-k= -kk*+43 6n ( )x k ( )x kkkn0解y 1122 12 y 21 12=因 361 3621 2361 23636136 363 635 36因nnx(k)1n212nn(k)+bx12n因n設(shè)nny x1n2112 n(k)12x(mt)ntnx =(k)因kn0mn t0n ( )x m tkn0設(shè)limlim 0nn 00y 21126 1122 1122因 因1 ) nn21 nn n 2 R n00n解2 n nnn01|a na nnnn| 0n

3、n。 1 ) n2nn01 。n 1 1= | nnnnn0。7N1 nNnn0sin(n) 2 , =ejj12 e e nnj nj n112212 21c e e j nj n12111c =1= c 2 e e jn1j n將c和c 211sin(n) e e =j n(e +e j n j nj n 12 解a和b(2)2ay(1)by(0)66a 0y由y(3)2ay(2)by(1)3612ab0由特征方程2 ，128=c 4 )1nnnn11222=4 c1122121c 12212將c和c 211 nnnn21122解由特征方程2 1 51 5，221221 51 5 （1）

4、（2）nnnn22112 c c112 1 51 5c ()c ()122121 51 5c =1 =22 52 51 51 5c (1) +c (2)nn2 52 511 51 5=) 1) 1nn52 52 59x(n)解 ( )n= n1Dn kk01n1=1 jw解 )jwjw1212 )jwk jw ( ) j w 0njw)* )jw*X* )jw101 *jw jw212 )jwjdx(ejw)1 122 jwn 2 4解 （1）令）=(n),得到h(n)-h(n-1)/2=(n)+(n-1)/2由于是因果的線性非移變系統(tǒng)，故由上式得出h(n)=h(n-1)/2+(n)+(n-1

5、)/2 遞推計算出h(-1)=0h(0)=h(-1)/2+(0)=1h(1)=h(0)/2+1/2=1h(2)=h(1)/2=1/211h(3)= h(2)=( )22211h(4)= h(2)=( )322111h(n)=(n)+( ) u(n-1)n-121或 h(n)= ( ) u(n)-u(n-1)n2也可將差分方程用單位延遲算子表示成(1-D)h(n)=(1+D)(n)由此得到11111h(n)=(1+ D)/(1- D)(n) =1+D+ D + ( ) D +( ) D + (n)223k-1322222111=(n)+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+.+( ) (n-

6、1)+k-12221=(n)+( ) u(n-1)n22）將X(n) e 代入y(n) x(n)*h(n)得到j(luò)wn11 Dy(n) e *jwn2 (n)11 D211 D2ejwn11 D2111 n1 2 1D D D D 23n22 2 e1jw n e jwn11 e jw211 e jw jw21 ejwn1 e2（3）由（2）得出11 e H e jwjw211 ejw212（4）由（3）可知11 ej w2w1jH e2111 ej w22 11jjwarg He arctan 1 earctan 1 ej22222 1 2arctan 2 jw y n H e n H ejw

7、24故：1 n 2arctan 242 b 解：令x(n)= (n),則h(n)=ah(n-1)= (n)-b8(n-1)或h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n0由于是線性的非移變系統(tǒng)，故對上式遞推計算得出：h(-1)=0h(0)=1h(1)=ah(0)-b (0)=a-bh(2)=ah(1)= -abh(3)=ah(2)= - bh(n)=ah(n-1)= -h(n)= u(n)-b,n0bu(n-1)13或系統(tǒng)的頻率特性為H( )=振幅的特性平方=11若選取ab或ba )|=|b| 2*2系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。 an n a nn12 jwjwjw )jwjwjw解 (1)y(n

8、)= h(k)x(nk)k= a u(k) u(nk)k1k14 ) 11 n1=(a ) =11 k11k11=- + ，n01n11111y(n)=( - )u(n)nn111(2)X(e )=iwe =- i1 ejn01H(e )=e = ij1 ejn0Y(e )= ( )ejjnn n01=(- )n 1 ejej1由于(-) 1 1 e je j1=X(e )H(e ) j je ejj)故得出 Y(e )=H(e )X(e )jwjwjw令1x(n)x (n)X(e )X (e n*nn證明：證法一15X (e) x (n )ejwn jwnn X * (e ) (jwx *

9、( N )e) * x * (n )ejwnjwnn n 1X (e ) X * (e )dwjwjw21x (m )ex * (n )e dwjw jwn2m n 1x (m )x * (n )ejw (n m ) dw2m n 其中 2 ,.n mejw (n m )dw e() e jw ( n m)jw n m 0,. n mn m1X (e ) X * (e )dw x (n ) x * (n )jwjw2n 證法二：x (n ) x * (n )n 1x (n )x (n )X (e )ejwdw jwn2n 1X * (e )ejwdw jwn2n 1X * (e )jwx (n

10、 )edw jwn22n 1X (e ) X * (e )dwjwjw T 設(shè)Tx (t)到y(tǒng) 1 f 8Tac fc1 T16解 T 881f 8Tfssf ac f f TTcc1 100002Z1n21n201）X(z) (nm)z =zn-nm當(dāng)m0 時，x(n)是因果序列，收斂域為z，無零點，極點為0(m 階); 當(dāng)m0時，x(n)是逆因果序列，收斂域為0z，零點為0(m 階，無極點; 當(dāng)m=0, X(z)1，收斂域為0z，既無零點，也無極點n 1n 1z 1u(n)z = -n2 1n0是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R 的圓的外部區(qū)域，這里xR lim2xn1（n）還是因果

11、序列，可以有z，故收斂域為 z。零點為 0，極點2171為 。211z，故收斂域為 z。零點為0，極點為 3）22a un(u z( )1nnx(z)=nn1 1(a z )( )a1z11 n =n =1 a z 1 1 1n1n1是左邊序列，它的 Z變換的收斂域是半徑圍R 的圓的內(nèi)部區(qū)域，這里xx(n) a n|a| |limlimx(nR +=a ( 1)= n xnnx(n)還是逆因果序列，可以有| z0，故收斂域為0|z|a|零點為0，極點為a。 1 n(4)X(z)- z -n2 n- 11(2 )nz109=z =-n 2z1(2 ) 1n01 Z z.零點為 0 和 （1021

12、 。2 eejw n jw nX(z) w n)u(n)zz00n（5）0znn11(e(e z )z )01 n10 2 2n0n01 11()2 11e z e zjw1jw1001 z cos w101 2 z cos w z1 20 x(n)是右邊序列，它的 Z變換的收斂域是半徑為R的圓的外部區(qū)域，這里x18x(nx(n)w (n|limlim0w n)R 1xnn0 x(n)|z1|z0和cosw，0jw0ejwe0極點為和。Z| | n( ) a 0n n01 n! 0 1a znna za zn nn n（1）X(z)=nnn0 1axa z a z n nn n1ax 1ax=

13、1n1n0z(1a )2(1az)(za)=1a z 0 z）a1 z a0a1為 和 。aa u(n)z e( )z0X(z) e( j)jnnnn1911e z j1=ZRx(n1)R limx(n)xxz e z j0。X (z) Ar cos( n )u (n)zn non e en )j(n ) j (Arzoon nnn 0Ae Ae jj(re z ) (rez )oj1n1nj2o2n 0n 0Ae 1Ae j1j2 1 re z2 1 rezoj11jo () A e re( )re ( )zej jj1joo21 rz (e e) r zj122joo1 coscos()

14、rz Ao221 2rz cos r z1oZ R3(n 1) (n 1)x(n)Acosx lim lim0 zR1rn A cos(rn )Xnn0 x(n)zr z 。rcos( )j0rej0re0零點為0和cos和20 nn! Z1 nu (n)Z X ( z) !n nn0112131n 1 ZZZ . Z .2!3!n!1x eRxZx(n 1)x(n)1R 0n 1Xnn0 Z Z w n )u(n)znX(z)=0n w n )z10n0) e)e(j w n j(w n00zn2jn0eejj e z ) e z ) 1j n 1jn2j2j01 (e e )(e e)zj

15、(w )( ) j w 1j j002j 1(e e )z zjw jw120021 sinsin w z1012cos w z z1i0 x n ZR 0 x n 1sinw n1 R limlim 10sin w0 xx0n w x n 1 z 00和cosw jsin w cosw jsin w和.0000Z11211 z1211 z1122,311 z z12481az11|z a1limX (z)x1x11xX 11X (z)111 z122z4z 8z 16z z .2345( 2 z .n1nn ( 2 z ( zn1nnnnn1n1或x n11( ) u(n1)x 1n222X

16、 2111 z1 z11232X (Z)11121 z z z ) z )12114824AA12111 z1 z1124112A 1 411 Z 1412Z 112A 3121 Z 121Z 4limX (z) X 21，所以 X 22x43111 z1 z11124411111 z z z .( ) z .123nn124821 z21= a ( ) znn2n0311111 z z z .( ) z .123nn1481641 z141n 3( )=zn4n011x (n)4( ) ) u(n)nn242 )z(1a z)z1n11n1x (n)zn13z1aza11當(dāng)za231x (n

17、)Rex (z)zn1, (1a1z)zn1z133aa(a 1)a ,n02n11當(dāng) z和 a1x X (z)z , X (z)z ,0n1n133a31a z1a z)z11z1z a1az0a )aa a ,n021(z)zx (z)z3x (n)n1在 當(dāng) xn133( 1)n, 0aan12（na ,n0130,n0故（n）(a a u(n1)a (n)12n13 Z1z 2z )11z50.5z z)1e zT 1eTe z )T 1 2z(2zab)(za)(zb)解AAX (z)121z12z4111 |1 |1z1t2A 11,A 212z12t12412根據(jù)收斂域1|z和

18、z1z1 12z11 zn1z1n62 2z 2 zn1 n(nn12z1n1n1X (4) u(n)2n1u(n1)4 z5 zz5 z 0.510.5z10.5zn1X z n11 z5 z10.5z2x n 0;n0 1 0.5z , 即 zn1x n ResX z5(z5)zn16( ) ,n0n(10.5z)2z0.5 n 0 1 z zx n ResX,2n155 z5 znz2n1 , n0n21 n6, n0 x n 2 2n1 , n051 n u n 2 u n11x nn6或 n2 X z zn1c zc zlnT nz 1c zzczzTlT25x n 0|zc 在0n

19、 Tc 1個 2zT dx n Rcs X z zn1,c c zTTndzll z e Tc nznc ,n 0Tn1TnleT, 0nc nTnx n0l u n或xTnl n X(n)zzab)2(ab)z1X (z)(zazb) (1 )111=AA121az1bz11| 2(ab)z |1A 1)X (z) 11171tata| 2(ab)z |1A )X (z) 111271tbtb， |Z|=111alim1az111t0。11(n)z 1az11az111 a z111nn11n0 x (n)a u(n)n111lim|Z|b=01bz11bz1t02611。x (n)1bz1

20、1bz1以 2 z 1nb zb z b z b z b z122nnnnn11n1n1=x (n) bnu(u1)2x (n)a u(n)b u(u1)nn71e 求 ez z1解 將ezez1zz2ne 1z . .znz2!n!n!n0 1 100z 1nzn(n)!|n|!nn11z2zne 1z .zn1z2!n!n!n0 1 1 1znX(z)=1+z z 1nnn!n!|n|!n0n1x(n)= (n)+,n|n|! * Z解 Z uxvy11 在 * Z27 Z Zm 1 a ZndX(x)z是 Zdz解 (1) x(nm)z x(n)z(nm)nzmx(n)z z X(z)n

21、m(2) a x(nz x(n)(a z) X(a z)nn1 n1dd(3) nx(n)z zx(n)z z X(z)nndzdz xx(n)z x(nz ) X (z )*n *nnn(n)z x(nz ) X(z )11nnnn11 1x(n)z x(n)x (n)z x(n)z x (n)z X(z)X (z n*nn*n*222nnnn) 11 1Imx(n)z x(n)x (n)z x(n)z x (n)z X(z)X (z n*nn*n*2j2j2jnnnn1(z),| z1 解 X1z11Y(z),| za1az1281AAW(z) X(zY(z)W(z)W (z)12z )

22、1z111111211| A1az1 z1 1a111aA 2| 1z1 za 1a1 1a 和 。(z)W (z)W(z) W (z) 和 W1212(z) W (z)W和 z1211 znW(z)(1z z )121a1a1naa W(z) a z a z )a zn122nnn1a1a2n01a(n)u(n)(n)a u(n)，n1a1a121an11a( ) ( ) ( )n n n ( )u n12|a|z求|a1z aza1|a|z 。1a e1 (e )Hj1ae1a e1a e1a e1a e1a a (e e )1 1 1 1 21 |H(e )| ()() (*)()2j1

23、ae1ae1ae1ae1a a(e e )2 因 此1a 2a cos a (a 12acos)2122a21a acos1a acos22|H(e ) a1j 的 Zz1X(z)1(z )(z2)(z3)31|z23 Z 2913或|z2 2|z3。z1X(z)z zn1n11(z )(z2)(z3)3113|z2z 131(z1)zn11x(n)ReX(z)z1, 3 (z2)(z3)| 0.9( ) ,n0n3z132 z 3 2 z和123n2因 (zzn1(zzn1x(n)X(z)zn,z X(z)zn1,z | z2|11112z3(z )(z(z )(z332 3 ,n0nn10

24、.9( ) ,n0nx(n)30.92 0.53 ,n0nn1(n)0.9( ) u(n)(0.92 0.53 )u(n1)或 xnnn3132|z3 2z 1和 z22(zzn1(zzn1| x(n)X(z)zn1,z X(z)zn1,z |1(z2)(z3)12z1z2(z )(z3)3310.9( ) 0.92 ,n0nn333n21 z因 (zzn1x(n)X(z)z1 | 0.53 ,n0n1z3(z )(z310.9( ) 0.92 ,n0nn x(n)30.53 ,n0n1x(n)0.9( ) 2 u(n)0.53 u(n1)nnn3121|z z230limH(z)z( ) (

25、 1) ( )n x n( ) ( ) ( 1)y n n n， nX(z)W(z) zW(z)X z W z ( ( )11z11z1Y(z)W(z)zW(z)1X(z)1 z1Y(z) 1z1H(z)X(z) 1 z12cosj1ee(e e)jj2222H(z)jcot1e22sinej(ejej22221z1(z)X(z)由Y1z1y(n)y(n1)x(n)x(n1)11z1(z)( )Y zX(z)當(dāng) X1z11z11z11Y(z)1 z 1z111z1Y(z)AAY(z)Y(z)12z z ) 1z1z1111121z111A 1| 1z1 z1z12A 2| 1z1 z1 111

26、(z)| ， z 由Y1 1z111(n) ( )u ny1n13121Y2，|z| 1由11 z12y )2n1121211nnn 1 y y 2n1111111 zY z Y z Y z X121z1H1 z z12zzz1H1 z zz z 1 )1221211 (1 5)和(1 5) 所2212| | |z|。1zH| | |z|)112nnn1n Re , Re , |z|z2n 1n 1zz12122112|z|21zAAHH H 212A) zz11212z|z1z112112zA|z2z2221321(z)h (n)|z1h (n)1由 H 11 1 z112limH (z)0

27、h (n)2因為 有 限 值 ， 故還 是 逆 因 果 序 列 。 采 用 留 數(shù) 定 理 法 ， 被 積 函 數(shù)1z01zn1H (z)z 5)n11 2 z111211n12因 1h(n)H (z)z , zn1| ,n0n11n 1111z112211(z)h (n)|z2h (n)2由 H 2 z22212H (z)h (n)2又因為有限值，故還是因果序列。采用留數(shù)定理法，被積函數(shù)2 2z0211zn1H (z)z n0 5) n12 2 z222121h (n)H (z)z ,zn1| ,n0n12n 2222z221211h(n)h(n)h (n)(u(n u n ( nn 121

28、221 Z5z Y(z) Y(z)zY(z)X(z)12Y(z)X(z)15zH(z)1z z (z2)(z )1221202，z3參12 。2|z） 112nnh(n)u(n)2 ( ) u(n) (2 2 )u()12nnnn12 232121|z2） 2331231h(n)u(n u n ( u(n u n ( ) ( nnnn 212121） |z | zh(n)為 12limH(z)0h (n)2zzn1(z)z 2和 H n1(z)(z)21212 因 12h(n)( ) (u n u n( 2 2 ) (nnnn 312121(z)H5z z12）22 211)H(z)(2 2 )u(n)z (2z ) (2 z ) (nnn1 n1 1 n333 12z1 12 z1 1n1n2z15） ()3 12z1 z21z z12 22 1 n 1 1 n1H(z) (2 u(n1)2 u(n)z (2z ) (2 z ) nnn33nnn02 12 2 z111 (