冪函數(shù) 課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1、高中 數(shù)學(xué) 人教A版（2019） 必修 第一冊第三章 函數(shù)概念與性質(zhì)3.3 冪函數(shù) (1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _w 元(2)如果正方形的邊長為 a,那么正方形的面積S = _(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積V = _ (5)如果某人 t s內(nèi)騎車行進1 km,那么他騎車的平均速度v=_是_的函數(shù)a a V是a的函數(shù)t km/s v是t 的函數(shù)我們先來看幾個具體的問題:(4)如果一個正方形場地的面積為 S,那么正方形的邊長_a是S的函數(shù)以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1_是_的函數(shù)Sa他們有以下共

2、同特點：(1)都是函數(shù)；(3) 均是以自變量為底的冪；(2) 指數(shù)為常數(shù).一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)(power function) ，其中x為自變量，為常數(shù)。定義:注意:冪函數(shù)的解析式必須是y = 的形式， 其特征可歸納為“系數(shù)為，只有項” 式子 名稱常數(shù) x y指數(shù)函數(shù): y=a x（a0且a1) 冪函數(shù): y= x a為底數(shù)指數(shù)為指數(shù)底數(shù)冪值冪值冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)比較判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 判一判（指數(shù)函數(shù)）（冪函數(shù)）（指數(shù)函數(shù)）（冪

3、函數(shù)）快速反應(yīng)（指數(shù)函數(shù)）（冪函數(shù)）提高訓(xùn)練 已知函數(shù) 是冪函數(shù),并且是偶函數(shù)，求m的值。練習(xí)1：范例講解下面研究冪函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這六個冪函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象，研究性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、過定點的情況等。研究 y=x冪函數(shù)的圖像作出下列函數(shù)的圖象:冪函數(shù)的圖像 x-2-1012 y=x-2-1012 冪函數(shù)的圖像定義域：值 域：奇偶性：單調(diào)性：冪函數(shù)的圖像 x-2-1-1/201/212y=x2411/401/414冪函數(shù)的圖像 x-2-1-1/201/212y=x2411/401/414 x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8

4、 127/8冪函數(shù)的圖像 x-3/2-1-1/201/213/2y=x3-27/8-1-1/801/8 127/8冪函數(shù)的圖像x01/91/414901/31/2123冪函數(shù)的圖像x01/91/414901/31/2123冪函數(shù)的圖像x-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/3冪函數(shù)的圖像x-3-2-1-1/2-1/31/31/2123-1/3-1/2-1-2-33211/21/3冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)的圖像可以看出，常函數(shù)y=1的圖像比冪函數(shù)y=x0的圖像多了一個點(0,1), 所以常函數(shù)y=1不是冪函數(shù).在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢與指數(shù)有

5、什么關(guān)系?在第一象限內(nèi)，當(dāng)a0時，圖象隨x增大而上升。當(dāng)a0時，圖象隨x增大而上升。當(dāng)a0時,圖象還都過點(0,0)點 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性 公共點奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在R上增在（-，0)上減，觀察冪函數(shù)圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表:在R上增在0，+）上增，在（-，0上減,在0，+）上增，在(0，+)上減在第一象限內(nèi)，當(dāng)a0時，圖象隨x增大而上升： 若a1時，圖象隨x增大是下凸上升（快增）； 若0a1時，圖象隨x增大是上凸上升（慢增）；當(dāng)a0時,圖象還都過點(0,0)點.所有的冪函數(shù)在(0,+

6、),都有定義,并且函數(shù)圖象都通過點(1,1);a10a1a0a=1a=0一般冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1) 所有的冪函數(shù)在(0,+)都有定義，并且圖象都通過點(1,1);(2) 如果，則冪函數(shù)圖象過原點，并且在區(qū)間0,+)上是增函數(shù)；(3) 如果，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸，當(dāng)x趨向于+時，圖象在y軸上方無限地逼近x軸；(4) 當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)冪函數(shù)的性質(zhì)從而有 是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+）內(nèi)是減函數(shù).例1.如果函數(shù)是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+）內(nèi)是減函數(shù)，求滿足條件的實數(shù)m的值.解：

7、由題意有范例講解例2. 利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。（1）5.20.8 與 5.30.8 （2）0.20.3 與 0.30.3 (3)解:(1)y= x0.8在(0,)內(nèi)是增函數(shù), 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,)內(nèi)是增函數(shù)0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在(0,)內(nèi)是減函數(shù)2.52.7-2/5a10a1a10a1a10a1a0a=1a=0提高訓(xùn)練練習(xí)3 如圖所示，曲線是冪函數(shù) y = xa 在第一象限內(nèi)的圖象，已知 a分別取 四個值，則相應(yīng)圖象依次為:_ 一般地，冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，在Y軸與直線x =1之間正好相反。 C4C2C3C11提高訓(xùn)練證明冪函數(shù) 在0，+）上是增函數(shù).復(fù)習(xí)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1). 設(shè)x1, x2是某個區(qū)間上任意二值，且x1x2;(2). 作差 f(x1)f(x2)，變形 ;(3). 判斷 f(x1)f(x2) 的符號；(4). 下結(jié)論.例3證明:任取所以冪函數(shù) 在0，+）上是增函數(shù). 證法二: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 ； 證明冪函數(shù) 在0，+）上是增函數(shù).(1)作差法:若給出的函數(shù)是有根號的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:證明時