講義矩形和菱形

1、 講義矩形和菱形-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One龍文教育學科教師輔導講義學員姓名： 年級：八年級教師：制作人：孫發(fā)青課題矩形和菱形教學目標1、探索并掌握矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法2、靈活運用矩形、菱形的性質(zhì)和判定解決有關問題3、知道矩形、菱形是特殊的平行四邊形4、體驗矩形、菱形的特征和它的判別在實際生產(chǎn)和生活中的應用5、在學習中感受轉化的思想，體驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律的樂趣重點、難點重點：矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法 難點：運用相關知識解決相關問題考點及考試要 求矩形、菱形的定義、性質(zhì)和判定方法教學內(nèi)容考點一：矩形【知識點總結】1.矩形的定義：有一個角是直角的 是

2、矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。2、矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。 TOC o 1-5 h z （1）邊：對邊_且 oA|D（2）角：四個角都是 o（3）對角線：互相且。Dl-DC3、矩形的判定：（1）有一個角是直角的 o（2）對角線相等的 o（3）有三個角是 的四邊形。注意：.矩形被兩條對角線分成的四個小三角形都是 三角形且面積相等。.矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的 線是它的對稱軸?！净A知識訓練】.矩形是面積的60, 一邊長為5,則它的一條對角線長等于一。.矩形的兩條對角線的交角之一是60,矩形較短的邊與一條對角線長度之和為12cm,則對角線的長 為，較短的邊的長為,較長的邊的長

3、為。.平行四邊形沒有而矩形具有的性質(zhì)是（）A、對角線相等B、對角線互相垂直 C、對角線互相平分D、對角相等.矩形各內(nèi)角平分線所圍成的四邊形是（）A、矩形 B、平行四邊形 C、正方形D、菱形【典型例題】（2011浙江紹興，15, 5分）取一張矩形紙片按照圖1、圖2中的方法對折，并沿圖3中過矩形頂點的斜 線（虛線）剪開，那剪下的這部分展開，平鋪在桌面上，若平鋪的這個圖形是正六邊形，則這張矩 形紙片的寬和長之比為.第15題用第15題用1弟!5題圖2第15題圖3【答案】/3：2例1.如圖，菱形ABCD中，AC和BD交于點O, OE_LAB于E, OFj_BC于 F, OGJ_CD于G, OH_LAD于

4、H,試說明四邊形EFGH為矩形。分析:四邊形EFGH與已知條件有關的主要是對角線,如果能夠證明對角 線EG和HF相等且互相平分,那么就能夠判定四邊形EFGH是矩形,根據(jù) 菱形的對角線平分每一組對角,知AC是ND AB和NDCB的角平分線,DE 是NADC 和NABC 的角平分線,因為OELAB, OF1BC, OGCD, 0H AD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)很容易得出OE =OF =OG =OH解：.四邊形ABCD是菱形 AC、BD平分對角，0點在NDAB、/BCD、NCDA、NABC的角平分線上XVOEAB, OF_LBC, OG_LCD, OHAD，OE = OF = OG = OHX V AB

5、 ZAO）= 120 4cm CE BD ZDCE: ZECB = 3:1 ZACE （2011*,肅蘭州，20, f 分）如圖，依 次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中啊此方 法繼續(xù)下去。已知第一個矩形的面積為1,則第個矩形的面積為V一分 0-0-【答案】6.（2011四川綿陽17, 4）如圖，將長8cm,寬4cm的矩形紙片488折疊，使點4與C重合，則折痕EF的長為 cm.【答案】2立7.如圖，矩形ABCD中，CE平分N5CD,NACE=15 ,求8、如圖，矩形紙片A88中，A8 = 3cm, BC = 4cm,現(xiàn)將4 C重 合使紙片折疊壓平，設折痕為區(qū)尸，則重疊

6、部分的面積為 多少考點二：菱形知識點一：菱形的定義：有一組鄰邊相等的 叫做菱形.知識點二：菱形的性質(zhì)菱形是特殊的,它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，團還具有自己獨特的性質(zhì)：邊的性質(zhì)：對邊平行且四邊相等.角的性質(zhì)：鄰角互補,扁扁箱等.亙）對角線性質(zhì)：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角.對稱性：菱形是中心對稱閑舷，也是箍帚森囪舷.菱形的面積等于底乘以高，等于對角線乘積的一半.點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線乘積的一半.知識點三：菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定6:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.判定：四邊相等的四邊形是菱形.知識點四：菱形的對稱性菱形

7、是一個軸對稱圖形，有 條對稱軸?！净A知識訓練】1、菱形的兩條對角線將菱形分成全等三角形的對數(shù)為 J2、在下列命題中，真命題是（）A.兩條對角線相等的四邊形是矩形 B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形C.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 3已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm,那么這個菱形的周長為,面積為4、將兩張長10cm寬3cm的長方形紙條疊放在一起,使之成60度角，那么重疊部分的面積的最大值為.【典型例題】【例1】、（2011浙江省嘉興，10, 4分）如圖，五個平行四邊形拼成一個含30。內(nèi)角 的菱形EFGH （不重疊無縫隙）.若四個

8、平行四邊形面積的和為14cm2,四邊形48CD面 積是Hem?,則四個平行四邊形周長的總和為（）（A） 48cm （B） 36cm（C） 24cm（D） 18cm（第10【例2】、（2011廣東廣州市，18, 9分）如圖4, 47是菱形A8C。的對角線，點、F分別在邊八8、 八。上，H AE=AF.求證： ACE ACF.圖4【例3】菱形的周長為20cm,兩鄰角度數(shù)之比為圖4【例3】菱形的周長為20cm,兩鄰角度數(shù)之比為2:1,則菱形較短的對角線 的長度為【鞏固】如圖2,在菱形A3C中，AC = 6,班 =8,則菱形的邊長為（）A. 5 B. 10 C. 6 D. 8【例4】菱形ABCO中，E

9、、F分別是8C、CO的中點，且AE1.8C, AFCD .那么ZE477等于【鞏固】如圖，將一個長為10cm,寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點的連線（虛 線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（）A. 10cm2B. 20cnrC. 40cm2D. 80cm2【例4】已知菱形ABC。的兩條對角線AC, 5。的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個鈍角 的大小是【鞏固】如圖，菱形花壇A8C。的周長為20m, ZABC = 60%回沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和 BD,求兩條小路的長和花壇的面積.圖2圖2菱形的判定【例1】如圖，如果要使平行四邊形A8CO成為一個菱形，需

10、要添加一個條件，那么你添加的條件 是 .【例2】如圖，在A43c中，3。平分乙記C, 8。的中垂線交4?于點,交BC于點、F ,求證：四邊形BED/；是菱形【鞏固】已知：如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC的垂直平分線與邊4K BC分別相交于七、八求 證：四邊形4PCE是菱形.【例3】如圖，是菱形A3C。的邊的中點，EFLAC于H ,交C8的延長線于F,交AB于P,證 明：與EP互相平分【鞏固】如圖，M是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，將沿方向平移，使與DC重合，點M移動 到點AT的位置（1）畫出平移后的三角形；連結M, MC, MAT ,試說明四邊形的對角線互相垂直，且長度分別等于A3, 4。的

11、長；當M在矩形內(nèi)的什么位置時，在上述變換下，四邊形是菱形為什么【鞏固】（湖南湘西24,10分）如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O,ZACB=30 ,AB=2.求AC的長.求NAOB的度數(shù).以OB、OC為鄰邊作菱形OBEC,求菱形OBEC的面積.【綜合題】已知等腰ABC中，AB = AC9 AD平分C交8c于。點，在線段上任取一點P （A點 除外），過戶點作/分別交AC、于E、F點,作PMAC,交AB于M點,連結ME.求證四邊形為菱形當P點在何處時，菱形的面積為四邊形以議M面積的一半CM考點三：矩形和菱形的綜合應用例（2011山東德州16,4分）長為1,寬為。的矩形紙片,如圖那樣折一下，

12、剪下一個邊 2長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于 此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去.若在第此操作后，剩下的矩形為 正方形,則操作終止.當。=3時，QQ的值為練習1： （2011江蘇南京，21, 7分）如圖，將cjABCD的邊DC延長到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于 點F.求證： AB咫 ECF（2,若N AFC=2N D,連接AC、BE.求證：四邊形ABEC是矩形.練習2 （2011湖南衡陽，26, 10分）如圖，在矩形A8CD中，4。=4, A8=m（m4）,點P是48邊上的 任意一點（不與A、8重合），連

13、結PD,過點P作PQLPD,交直線8c于點Q.（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合若存在，求出此時4P的長；若不存在，說明理 由；（2）連結4C,若PQ八&求線段8Q的長（用含m的代數(shù)式表示）（3）若PQ。為等腰三角形，求以P、Q、C、。為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關系式， 并寫出m的取值范圍.練習3已知：如圖，C是線段BD上一點，ABC和4ECD都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點，求證：四邊形RFGH是菱形?！菊n后作業(yè)】一、填空題：1、若矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4,周長為56,則這個矩形的面積為o2、已知菱形的銳角是60。，邊長是20cm

14、,則較短的對角線長是 cm。3、如圖，矩形ABCD中，。是對角線的交點，若AEJ_BD于E,且OE ： OD = 1 ： 2, AE=0cm,則DE =cm。4、如圖，P 是矩形 ABCD 內(nèi)一點，PA = 3, PD = 4, PC = 5,則 PB=。5、如圖，在菱形 ABCD 中，NB=NEAF = 60, ZBAE = 20,則NCEF= 。6、在矩形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H,使EFGH為矩形，則這樣的矩形()A、僅能作一個B、可以作四個C、一般情況下不可作D、可以作無窮多個7、如圖，在矩形ABCD中，AB = 4cm, AD = 12cm, P點在

15、AD邊上以每秒1 cm的速度從A向D運動， 點Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從C點出發(fā)，在CB間往返運動，二點同時出發(fā)，待P點到達D 點為止，在這段時間內(nèi)，線段PQ有()次平行于AB。A、1B、2C、3 D、4ADADAB使點D第7題圖8、如圖，已知矩形紙片ABCD中,第8題圖AD=9cm, AB=3cm,將其折疊,與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EFADADAB使點D第7題圖8、如圖，已知矩形紙片ABCD中,第8題圖AD=9cm, AB=3cm,將其折疊,與點B重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別是（）A、4cm、VK) cmC 4cm、2x/3 cmB、5cm、歷 cmD、5

16、cm、2Vlem9、給出下面四個命題：對角線相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直 的四邊形是菱形；有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形;菱形的對角線的平方和等于邊長平方的4倍。其中正確的命題有（）A、B、C、 D、第13題圖10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（A、矩形 三、解答題： 11、如圖, E,且 DE = DC,）B、菱形C、正方形 D、等腰梯形在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G, DE_LAG于 根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結論。12、如圖，在aABC中，NACB = 90。，C

17、D是AB邊上的高，NBAC的平分線AE交CD于F, EG AB于G,求證：四邊形GECF是菱形。13、如圖，以aABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即aABD、ABCE ACFo請回答下列問題（不要求證明）：（1）四邊形ADEF是什么四邊形（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形（3）當aABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在思考題（有能力的學生完成）（2011江蘇鹽城，27, 12分）情境觀察 將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得至以ABC和 4”。， 如圖1所示.將4UD的頂點4與點4重合，并繞點4按逆時針方向旋轉，使點D、4）、8在同一條

18、直線上，如圖2所示.觀察圖2可知：與8c相等的線段是 , NCAC= .圖1圖1圖2問題探究如圖3, ABC中，AG_L8C于點G,以A為直角頂點，分別以48、4c為直角邊，向 A8C 外作等腰和等腰/4CF,過點、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之 間的數(shù)量關系，并證明你的結論.圖3圖4圖3圖4拓展延伸如圖4, AABC中，4G_L8C于點G,分別以48、AC為一邊向 A8c外作矩形A8ME和矩形ACNF，射線G4交EF于點從若4B=kAE, AC=kAF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關系，并說明理由.部分參考答案（2011江蘇泰州，28, 12分）【答案】解：（1）當N

19、8AO=45時，ZPAO=90 ,在Rt4A08中，OA= -AB= -a ,在 RtNAPB 中，PA= -AB=-a o 點 P 的坐標為（丑4 , -a ）222222（2）過點P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，則有NPMA=NPNB=NNPM=NBPA=9O , :./MPA=/NPB, 乂 PA = PB, ：.APAMAPBN9 ：.PM=PN.于是，點 P 都在NAOB 的平分線上； TOC o 1-5 h z 3Vhw。當點B與點O重合時，點P到AB的距離為人，然后頂點a在X軸正半軸上向 222左運動，頂點B在y軸正半軸上向上運動時，點P到48的距離逐漸增大，當N8AO

20、=45時，PAYx軸，這時點P到48的距離最大為手“，然后乂逐漸減小到色，X軸的正半軸、y軸的正半軸都不包22含原點O ,點P到X軸的距離的取值范圍是2 h& E o 22（2011江蘇南京，21, 7分）【答案】證明：:四邊形ABCD是平行四邊形./. AB II CD/AB=CD. :. N ABF=Z ECF.; EC=DC, AB=EC.在 ABF 和 ECF 中，-/Z ABF=Z ECF, Z AFB=Z EFC, AB=EC, /ABF2 Z1ECF.（2）解法一：；AB=EC, ABH EC,四邊形ABEC是平行四邊形.AF=EF, BF=CF./ 四邊形 ABCD 是平行四邊

21、形，/. N ABC=Z D,又 N AFC=2Z D, 二 N AFC=2Z ABC. N AFC=Z ABF+Z BAF,，N ABF=Z BAF. /. FA=FB. FA=FE=FB=FC, AE=BC. :. 口 ABEC 是矩形.解法二：ABmEC, AB II EC,四邊形ABEC是平行四邊形.丁四邊形ABCD是平行四邊形，AD II BC, /. N D=Z BCE.又 N AFC=2Z D, N AFC=2Z BCE,丁 N AFC=Z FCE+Z FEC, /. N FCE=Z FEC. N D=N FEC. /. AE=AD.又ACDE.即NACE=90。.,ABEC是矩

22、形.2011江蘇南通，26, 10分【答案】（1） A： =BF 證明：如圖2,;在正方形ABCD中,ACBD：.Z FOE = ZAOD= ZAOB = 9Q即/AOE +ZAOF =ZBOFf + ZAOF：.ZAOEr =ZBOFr乂 = OB = OD, OEf =20。，OFf =2OA：.OEf =OFf：./OAEf 四O8F：.AEf =BF（2）作4OE的中線AM,如圖3.則 OE =2OM = 2OD = 2OA：.0A = 0M*/ a =30/. ZAOM = 6QqAOM為等邊三角形A MA = MO=MEf , ZAEM =Z EAM 又 Z AEM + N EAM = ZAMO 即 2/AE，M =60A Z AEM =30 ，NAEM+NAOE =30 +60 =90 ：./AOEf為直角三角形.2011湖南衡陽，26, 10分【解】（1）假設當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），VPQPD.ZDPC=90,乂 N4OP+N4PD=90。，：.ZBPC=ZADP.乂NB=N4=90, :APBCsMAP,DA APJ 10 AP= J,，人2二？或8, 存在點P使得點Q與點C重合，出此時ZP的長2或8. 4 AP(2)如下圖，,:PQHAC, ：.ZBPQ=