專題02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之值域倍增（解析版）

1、 專題02 值域倍增或倍減一、考情分析值域倍增或倍減是高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一個(gè)新的考查導(dǎo)數(shù)的方向。在2019年全國卷2的選擇題12題已經(jīng)出現(xiàn)了，是以壓軸題的形式出現(xiàn)的?？疾閷W(xué)生對分段函數(shù)以及函數(shù)的周期性，結(jié)合圖像去處理。數(shù)形結(jié)合思想是我們?nèi)ヌ幚磉@只能怪題型的一個(gè)必備手段。處理步驟分為：審題，找出分段函數(shù)的部分圖像，找到偽周期，值域倍增或倍減得范圍；結(jié)合函數(shù)，畫出圖像；整理，分析，得出結(jié)論。二、經(jīng)驗(yàn)分享1.函數(shù)的周期對于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)

2、最小的正數(shù)叫做最小正周期?！境Ｓ媒Y(jié)論】 A、 ，函數(shù)的周期.B、，函數(shù)的周期.C、或，函數(shù)的周期.2.函數(shù)的值域（1）.函數(shù)的值域周期性倍增若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個(gè)T，都會周期性變大A倍；（2）.函數(shù)的值域周期性倍減若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個(gè)T，都會周期性變大A倍；（3）.函數(shù)的周期性若函數(shù)滿足或，那么此函數(shù)的圖像會以，用周期函數(shù)的性質(zhì)求解即可。三、題型分析(一) 函數(shù)值域倍減例1.【2019全國，理，12】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有，則m的取值范圍是（ ）AB C D【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

3、，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由解得或，若對任意，都有，則故選B【變式訓(xùn)練1】已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，1x0，,r(x)，0 x1，)則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是()【答案】D【解題秘籍】函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)是奇函數(shù)，則 .【答案】-15【解析】【變式訓(xùn)練3】【2020河北五邑四?！恳阎瘮?shù)，則_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)， ，即，即此時(shí)函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則(二) 函數(shù)值域倍增例2.【皖南八校高三摸底（2020.08）】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，的最大值為1，則實(shí)數(shù)的

4、取值范圍是_【答案】【解析】【方法技巧梳理】倍域問題定義在上的滿足，即自變量增加一，函數(shù)值變?yōu)?倍.根據(jù)時(shí)解析式畫出函數(shù)草圖.由于時(shí)，函數(shù)，令，則.由于時(shí)，1，故必滿足.首先時(shí)，1其次時(shí)，無最大值.而當(dāng)時(shí)，最大值為2.綜上知：.【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)是R是的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使為R上的減函數(shù)，則，解得【變式訓(xùn)練2】 【2019年第一次全國大聯(lián)考（山東卷）】已知函數(shù)是奇函數(shù)，則方程的根為（） A B C. ， D，【答案】B 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，即，解得.所以.方程，即.當(dāng)時(shí)，有，整理得，解得.綜上，方程的根為，故選B

5、.四、遷移應(yīng)用1.【2020湖南衡陽三次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】由分段函數(shù)的解析式可知： .2【2020湖北省襄陽市調(diào)研】已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，則 的取值范圍是（ ）A. (1，2 017) B. (1，2 018) C. 2，2 018 D. (2，2 018)【答案】D 3.【2020河北衡水中學(xué)一調(diào)】已知存在，使得，則的取值范圍為（ ）A B C D【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)榇嬖诋?dāng)時(shí)，所以，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐樵谏系淖钚≈禐?，所以，所以，因?yàn)?，?/p>

6、以，令（），所以為開口向上，對稱軸為上拋物線，所以在區(qū)間上遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即的取值范圍是，故選A4.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng),若對任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 【分析】本題已明確指出是個(gè)奇函數(shù),故易求出它的整個(gè)解析式（一個(gè)分段函數(shù)）,此時(shí)畫出它的圖象,就能發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù),難點(diǎn)在于題中所給不等式中,的系數(shù)2如何處理？再次仔細(xì)觀察所求函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)現(xiàn)滿足：,最后結(jié)合單調(diào)性,轉(zhuǎn)化一個(gè)恒成立問題,利用分離參數(shù)的方法求出t的范圍.【解析】是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),當(dāng)x0,有-x0,即,在R上是單調(diào)遞增函數(shù),且滿足,不等式在t,t+2恒成立,x+tx在t,

7、t+2恒成立,解得在t,t+2恒成立, 解得：,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是：）【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,其中奇偶性是一個(gè)明條件,單調(diào)性是一個(gè)隱條件,作出函數(shù)的圖象易發(fā)現(xiàn)它的單調(diào)性,這也再次說明數(shù)形結(jié)合的重要性,本題最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)恒成立問題,運(yùn)用分離參數(shù)的方法求解的,這正說明函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是十分廣泛的,它能與很多知識結(jié)合,考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對任意成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）由結(jié)合條件函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為,可知,可建立關(guān)于的方程：,從而解得；（2）要使對任意恒成

8、立,只需即可,而由（1）可知,問題即等價(jià)于求函數(shù)的最大值,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得其最值：,令,解得,當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),因此在處取得最大值,即為所求.【解析】(1), 又的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為,即,； (2)由（1）知,對任意成立對任意成立, 令,則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值,令,解得, 當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù) 故在處取得最大值,即為所求. 【點(diǎn)評】在函數(shù)存在性與恒成立問題中求含參數(shù)范圍過程中,當(dāng)其中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其它變量完全分離出來并,且分離后不等式其中一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或范圍可求時(shí),常用分離參數(shù)法.此類問題可把

9、要求的參變量分離出來,單獨(dú)放在不等式的一側(cè),將另一側(cè)看成新函數(shù),于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題.利用分離參數(shù)法來確定不等式,（為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:(1)將參數(shù)與變量分離,即化為（或）恒成立的形式；(2)求在上的最大（或最?。┲担?3)解不等式 (或) ,得的取值范圍.6.已知函數(shù)滿足：則（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A.【解析】：由題意，7已知函數(shù)，.（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）若時(shí)不等式成立，求a的取值范圍.【解析】（）令 ， ， ，即， 當(dāng)時(shí)，.（）令，則，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以滿足題意.當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)無解.（）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以 .設(shè) ，則，所以在上單調(diào)遞增, ，不滿足題意.（）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以 滿足題意.綜上所述：的取值范圍為.8.（單調(diào)性與極值）設(shè)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線斜率為,問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若