初中數(shù)學(xué)-圓中角平分線模型

1、圖21圖21已性交葡圓中角平分線模型廣猛說(shuō)題系列之圓中角平分線模型商機(jī)市贊化學(xué)校段廣猛問(wèn)潁;如圖1所示，6。是RlZiABC的外接圓j且AC=3, BC=4f /ACB的平分線與玲。交于點(diǎn)D,求3的長(zhǎng).解題前（畝題）：RlZkABC及忌。這些最基本的&骨架”都是確定的, 角平分線CD也是確定的，整個(gè)圖中所有的東西都是確定 的，既然是確定的注定是可解的！苜先；同學(xué)們不要畏 懼這些確定性的題目，而且它們往往不僅不可怕反 而可能很“溫柔”，注怎2玩她都有可以！即常?？?以做到”一題多解號(hào).此題背置是圓，苜先有個(gè)基本功工同受們必須形成條 件反射，即角等一弧等一弦等”的迅速轉(zhuǎn)化，如圖2所 示，由CD是/

2、ACB的平分線知.ZAdZBCD,從而有筋=5:弦AIABD .故AABD為等腰直角三角形，ZAOZBCIZaABD3A=45D.解題中（析題）:構(gòu)思一（員特殊角構(gòu)解三角形*解題中（析題）:構(gòu)思一（員特殊角構(gòu)解三角形*崛）:C _如圖3所示，連接AD,則/A/B是確定的,或者說(shuō)其三角函數(shù)值是確定的,和它們所在的直角三角形/ A、三邊之比是確定的，目為九4： 5,也可稱這種角為立特殊商3 ./ df X另外，由/A645。及AC=3這些確定性條件，結(jié) A . 一 丁3B合全等三角形判定方法yAA/知，ACD是一個(gè)確 定的三角舷，從而8也是確定的，解ZkACD即可， 而且:，怎幺確定下來(lái)的就怎2求

3、解” i執(zhí)果素因，由 因?qū)Ч?，因果循環(huán)，妙趣橫生：這就是我所渭的&基 于確定性思想的因果關(guān)系分析法”，它是一種常用的思 考問(wèn)題、解決問(wèn)題的方式，同學(xué)們應(yīng)該逐漸學(xué)會(huì)這種分 析方法.而且它應(yīng)該也是我們?nèi)ァ爱?huà)圖”的基本原理.再過(guò)點(diǎn)A作AE1CD于點(diǎn)&則將目標(biāo)用/分割為了兩個(gè)直第三角形，等腰比色氐34及比AEDj 由 AC=. 算可得 AE=GE=, ”再由 AE: ED: AD=3: 4: 5 得 UA V2V2從而CD=CE-ED= =坐.:二巴旅:Z徜倩得一提的是，連接BD,同理也可解色8力求CD,不再贅述，同學(xué)們可自行歷究.從,而由CE=CF得3-x=4-x,從,而由CE=CF得3-x=4-x

4、,解得睡匚（見(jiàn)平線構(gòu)“雙垂重D ：如圖4所示連接DA及DE,貝U DA=DB,且NnDB=g。%見(jiàn)口角平分線乙位核形成條件反射作雙垂即過(guò)點(diǎn),D作DI：1CA于點(diǎn).E, 作 DF_LCB干點(diǎn) F,則 DE=DF：容易證明四邊形CEDF為正方形？知CE=CF- 另外由在母在易證；：RlAAEDRtABFD,設(shè)AE=BF=x,貝| CE=3f, CF=4畫(huà)77三 ,而 CD= CE= i 2 .梅忠三（見(jiàn)等E殖角三角形構(gòu)施轉(zhuǎn)四）：連接梅忠三（見(jiàn)等E殖角三角形構(gòu)施轉(zhuǎn)四）：連接DA DB易知,包口為等腰直角三角開(kāi)火其中D3=DB目ZAKB-孫，登就為 旋轉(zhuǎn)奠定了天然的條件；點(diǎn)D出發(fā)有三條線段DAUDB,

5、 可將線段D3繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)兜。至DB位置，這樣線段DC也會(huì)相 應(yīng)旋轉(zhuǎn)90至DE位能，如圖5所示：由旋轉(zhuǎn)易知aADC絲為公BDE,:貝 AOBE HZDAC=ZDBE,由外圓的內(nèi) 接四邊形對(duì)角互補(bǔ)“如DBC= 180 貝iJ/DSE- ZDBO1 0即 CBE=ig。1VM而公B、E三點(diǎn)共線. 故ADCE為等腰直角三角升源易知CE=CB-BE=7 , 從而CD=CE=-a/2 .22值得一提的是，也可將線段DB繞著點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。0口至DA位置，則線段.DC也會(huì)相應(yīng)旋轉(zhuǎn)至相應(yīng)的位置，不再落迷，同學(xué)可自行研究，具體可參加本人作麻詼,一 轉(zhuǎn)那些事上廠詞構(gòu)思四（作垂線構(gòu)胃由CT模型

6、）：_設(shè)構(gòu)思四（作垂線構(gòu)胃由CT模型）：_設(shè)8與AB交于點(diǎn)F,連接OD.則易知OD1AB,再過(guò)點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)E,構(gòu) 造出“射影型”相似，如圖6所示晨則AE、CE、OE、OD均可求j.g7.12由射影正理口算得AE=-，. OE=OA -AE=-f由面積法如C?E=-;510易知ACEFs&DOF;且相似比為蘭=耳？則EF CF 24 口 2412,=一丁 M EF= OE= f 從而 DF 254935497 FCD= CF=-” 一口4一上上日| r丁 AC SC AC + BC 7 從而目標(biāo)線底CD=CE+DE=二 十j= = -j= = -j=這里,：；由A、E向經(jīng)過(guò)等艘KtAAB

7、D直角頂點(diǎn)的線段 DC作“雙垂”,構(gòu)造出一粗全等三角形WAADE絲RtZXDBF （AAS）：,本屆即為“一線三直角I是一種應(yīng)用極其廣涕 的基本模型，需要同學(xué)們認(rèn)真反思；琢磨！解題后C思題）：反思是一種重要的習(xí)慣，尤其是解題后反思！做一道題就應(yīng)該真正做到題目中去n真 正反思到題目里來(lái)，“閉上眼睛”將題目中的來(lái)龍去脈再想一遍，日積月累，學(xué)習(xí)好習(xí)慣 會(huì)慢慢地養(yǎng)成，解題能力也一定會(huì)悄無(wú)聲息地在提升！對(duì)梅忠一（見(jiàn)“特殊角”梅“解三角形”整，的反思二普通意義上，初中階段所謂的燈特殊角”特指3口工45% 這三種甭但筆者認(rèn)為只 要是已知三角困數(shù)值的任何一個(gè)確定的角都可以理解為所謂強(qiáng)特殊角力，其所在的直角三

8、角形總是相似的，換言之，其所在的直角三角形三邊之比也是確定的.同學(xué)們畝題時(shí)，往 往要先“抓不變量3尤其是抓這些“不變角再結(jié)合“比例法”分析圖中各線段之間 的比例關(guān)系，這時(shí)于分析問(wèn)題、口算結(jié)果至關(guān)重要.在一個(gè)三角形中，通過(guò)全等的判定方法一旦確定這個(gè)三角形是唯一存在的，那么就可 以在不破壞其“特殊角”的前提下，通過(guò)作高線構(gòu)造直角三角形，通過(guò)解直憑三竄?穿出 這個(gè)三角形來(lái)，我們來(lái)看看下面這個(gè)最基本的關(guān)于“解三角形的模型題：練習(xí)如圖7所示，在2VPAB中，AB=5? tanZA=- 的長(zhǎng)并求出/nPB的度數(shù).簡(jiǎn)析:對(duì)于求PA、PB的長(zhǎng)，在不破壞其/A及二B的前提下通過(guò)作高線PG,構(gòu)造 兩個(gè)小特殊直角三

9、甬形,再結(jié)合方程思想”即可，如圖7-1所示；要求上APB的度數(shù)，最基本的想法是求出其一個(gè)三角函數(shù)值，但2注PB是鈍角劭中 階段.我們只學(xué)過(guò)銳角三角圖數(shù)二可以通過(guò)轉(zhuǎn)化求其補(bǔ)角的度數(shù)？如圖”2中所示的 ZBPH,通過(guò)作高線BH,構(gòu)造通BPH由面積法求BH,再用藥股定理求出PH,可發(fā) 現(xiàn)BFH為等腰直角三角形/可得/APB為1站口.例題中的“構(gòu)思一”解法，對(duì)于學(xué)生而言，難在復(fù)雜的圖形中識(shí)別或構(gòu)造“解三角形” 這個(gè)基本模型，所以平時(shí)學(xué)習(xí)中，務(wù)必不能因題目簡(jiǎn)單就“一帶而過(guò)”，這些所謂“簡(jiǎn)單 題“往往就是我們解決復(fù)雜問(wèn)題的“突破口內(nèi)，在復(fù)雜圖形中識(shí)別或構(gòu)造這些簡(jiǎn)單的“基 本模型”才是困難所在！解題后反思正

10、是最好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，“哪怕題目再簡(jiǎn)單j我也要反 思”！這是一種意識(shí)，一種品質(zhì),一種提升能力的方式與方法！比如下面這題，對(duì)很多學(xué) 生而言，難度較大，試試看,你還能識(shí)別到*不變角L利用比例法口算答案不？(題目來(lái)源:高fl陸贊化學(xué)校九年級(jí)自主練習(xí)3 )練習(xí)2 ：如圖g所示，已知點(diǎn)A(4, 0) ,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是線段OA上任意一點(diǎn)【不 含端點(diǎn)O, A),過(guò)P、。兩點(diǎn)的二次函數(shù)1和過(guò)P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)售的圖象開(kāi)口均 向下，它們的頂點(diǎn)分別為B. 0射線C與AC相交于點(diǎn),D.當(dāng)口*AIA3B寸，求這兩個(gè) 二次函接的最大值之和.DD對(duì)構(gòu)思二（見(jiàn)再平分城構(gòu)“雙垂中睡）的反思:角平分線可以說(shuō)是同學(xué)們剛接觸幾何

11、時(shí)最重要的一個(gè)概念，也是最基本的一個(gè)模型， 見(jiàn)再平分線這個(gè)條件，就應(yīng)該想到作“雙垂” $甚至有時(shí)候證明角平分線，也需要作“雙 垂”.我們一起來(lái)看看下面這個(gè)關(guān)于角平分線的一個(gè)所謂的圓中三弦定理”特例：特別說(shuō)明:以下內(nèi)容摘自浙江紹興沈岳夫老師發(fā)表于中國(guó)數(shù)學(xué)教官2016年初中版第 12期文章點(diǎn)動(dòng)圖變思構(gòu)圖分類(lèi)探求尋突破一一對(duì)一道九年級(jí)期末復(fù)習(xí)題力肆鐐初 感悟.,定理1如圖叫在RtAM；中，/配爐段10。為Rt曲;的外接圓，.日平分/加方且交白于點(diǎn),心 則/；+宛=應(yīng) 如.（證明邊程喀.河興蔑的讀者請(qǐng)目三思考證見(jiàn)）弱化定理1中的條件；如果比盧段“ ，那么公，爾，這三者之間又有著什么樣 的數(shù)量關(guān)系呢，通

12、過(guò)類(lèi)比探究得到L .定理- 2;如圖10? AC, BC是9。的兩條弦二且./AC片0 , /MB的平分線交巳0于點(diǎn)D,則AC + ECYCD,（透?jìng)€(gè)定理是.圓中三弦定理”的一個(gè)特例:2證明：如圖K）,連接皿、叫過(guò)點(diǎn)口作/KE兩邊的垂線比和DF,垂足分別是EF.可ijf RtAADERt ABDF,得黜=即,貝IAC 十 EC=AC +它F 十 EF=AC 十 CF 十 AEfE 十 S4KE, 所以4C + RegeCE = -_-.在Rt ACDE中,因?yàn)?cos.ZDCE= $所以 在=匚加口3NDCE ,即ACrBC廠肱工痼gQACrBC廠肱工痼=CDcos-；變形得肥+ EO2CD8

13、0二，故命題成立.22通過(guò)對(duì)定理1；定理2的探究，揭示了命題中條件與隱含條件, 結(jié)詒的內(nèi)在聯(lián)系,為 尋求解題途徑指明了方向，使問(wèn)題的解法簡(jiǎn)單流暢、別具一格，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為 易的目的，而且還可以開(kāi)拓學(xué)生的思路、提高解題能力，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)也大有程fn 上面是沈老師文章所提，如有冒犯，敬請(qǐng)?jiān)?，沈特是本人的偶像哦！上面模型的證明及例題的“構(gòu)思二”，都可采用見(jiàn)角平分線構(gòu)“雙垂”模型，再分析 求解，有的時(shí)候反過(guò)來(lái)，需要證明角平分線的話，也可作“雙垂”，證相等即可，比如下廣國(guó)文指i廣國(guó)文指i（題目來(lái)海 部附贊化學(xué)樹(shù)1邠腔品作業(yè)改編）練習(xí)3：如圖11所示 ABC和八BED均為等邊三角形，AD

14、與BC交于點(diǎn)P, EC 與BD交于點(diǎn)Q,且與AD交于點(diǎn)M,連接YB,當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，求證二VB平 分/AXIE.簡(jiǎn)析:先證明dADB二CEE （見(jiàn)圖11-1）,進(jìn)一步證明ZAPB二ZkCQB （見(jiàn)圖11-2）/ 再過(guò)點(diǎn)H向/心正的兩邊作雙垂（見(jiàn)圖114）,可證明EG=RH,從而問(wèn)題得解-至于BG=BH,可以直接由“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等“直觀感知，但不好 直接利用這個(gè)結(jié)論，可以用面積法證一下，也可以,再來(lái)一；欠全等證一下，學(xué)生可自行體悟！時(shí)腿三（見(jiàn)等角三形構(gòu)旋轉(zhuǎn)”酗的反思：拆去時(shí)腿三（見(jiàn)等角三形構(gòu)旋轉(zhuǎn)”酗的反思：拆去例題圖中的0。，保甯模型的*骨架其實(shí)這也是一個(gè)常見(jiàn)的基本模型

15、工. 維者稱上為學(xué)共斜邊的等腰直角三角形加直角三角形模型與，如下圖所示，詳見(jiàn)本人作品 旅轉(zhuǎn)誕事.已知直角ZkABC和等腰直角ADBC,則AB-AOAD.D簡(jiǎn)稱“共斜邊等腰邕角三角形一直角三角形”模型（異側(cè)型）.已知直角ABC和等腰直角DBC,則AB-AC72AEL再來(lái)看一看已知直角ABC和等腰直角DBC,則AB-AC72AEL再來(lái)看一看2015年常州中考填空壓軸題：練習(xí)4：如下圖，在?？诘膬?nèi)接四邊形 朋S中弧磔的中點(diǎn)，則雨的長(zhǎng)是1；AS=3, 4Z?=5簡(jiǎn)稱“共斜邊等腰直角三角形-直角三角形”模型（同側(cè)型）.關(guān)于上面這兩個(gè)模型，2。16年中考幾個(gè)地方都有出現(xiàn)，如廣州中考?jí)狠S題、淮安中考 壓軸題

16、，需充分引起同學(xué)們平時(shí)對(duì)于幾何基本圖形積累的重視，以達(dá)到在考試中靈活應(yīng)對(duì) 的自如，尤其是借助旋轉(zhuǎn)那些事，把一些常見(jiàn)的典型模型利用“旋轉(zhuǎn)”思:“日厚 在一起，使自己對(duì)于模型應(yīng)用達(dá)到“無(wú)模勝有模打的境界！;乙皿=60口 1點(diǎn).二為。 A&ACNaD簡(jiǎn)析;此題可借助NBnC=NDACj 見(jiàn)角平分線構(gòu)雙垂模型完成也可借助CB-B,且/BCIAL2口。，“見(jiàn)等腰構(gòu)旋轉(zhuǎn)模型”完成，均不再窗述.對(duì)構(gòu)思四及構(gòu)思五的反思：這兩種方法都是考察學(xué)生平時(shí)對(duì)一些全等或相似等基本圖形的識(shí)別與構(gòu)造，如構(gòu)思四 中涉及的落射熹型相似“及日字形相似”，如構(gòu)思五中涉及的門(mén)一線三直角”等基本圖 形3如何在復(fù)雜的圖形中識(shí)別到這些基本圖形，如何在“殘缺的”圖形中聯(lián)想構(gòu)造出這些 基本圖形，就是大家學(xué)好幾何的關(guān)鍵所在;只有對(duì)于一些常見(jiàn)基本圖形理解透，才能在解題中對(duì)這