振動(dòng)理論及工程應(yīng)用4-第四章-多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)課件

1、 4.1 多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 4.2 固有頻率 主振型 4.3 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 4.4 固有頻率相等的情形 4.5 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng) 4.6 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響 4.7 無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng) 4.8 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)4.9 復(fù)模態(tài)理論 第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 4.1 多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 第4章 多一般情況下，n個(gè)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有以下形式若用矩陣表示，則可寫成式中分別是系統(tǒng)的坐標(biāo)矢量和加速度矢量0方程中各項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。 4.1 多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程一般情況

2、下，n個(gè)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有質(zhì)量矩陣剛度矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數(shù)(在單自由度系統(tǒng)中，簡(jiǎn)稱彈性常數(shù))。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。具體地說(shuō)，如果使第j個(gè)質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位移，沿其它質(zhì)量的坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動(dòng)，則沿第i個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向施加的力，定義為剛度影響系數(shù)kij；在第j個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向上施加的力稱剛度影響系數(shù)kjj 。由剛度影響系數(shù)的物理意義，可直接寫出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)法。剛度矩陣剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數(shù)(在單自由度系統(tǒng)中，簡(jiǎn)稱剛度矩現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 畫出

3、各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有首先令在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 畫出各物塊的受力畫出受力圖，則有同理，令畫出受力圖，有最后令畫出受力圖，則有同理，令畫出受力圖，有最后令因此剛度矩陣為剛度矩陣是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即因此剛度矩陣為剛度矩陣是對(duì)稱的。例 試寫出圖所示剛體AB的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：剛體AB在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心C的坐標(biāo)yC(以水平位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動(dòng)不計(jì))和繞C轉(zhuǎn)角 確定。例 試寫出圖所示剛體AB的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程圖為 時(shí)的受力圖， 分別表示保持系

4、統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在C點(diǎn)的力和力偶矩由剛體AB的平衡條件得到圖為 時(shí)的受力圖， 圖為 時(shí)的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在C點(diǎn)的力。由平衡條件得剛度矩陣圖為 時(shí)的受力圖， 得到微分方程得到微分方程例：圖是兩層樓建筑框架的示意圖，假設(shè)梁是剛性的，框架中各根柱為棱柱形，下層彎曲剛度為EJ1，上層為EJ2，采用微小水平運(yùn)動(dòng)x1及x2為坐標(biāo)，求系統(tǒng)的剛度矩陣。 解：廣義坐標(biāo)如圖示。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。由材料力學(xué)知，當(dāng)懸臂梁自由端無(wú)轉(zhuǎn)角時(shí)，其梁的等效剛度為例：圖是兩層樓建筑框架的示意圖，假設(shè)梁是剛性的，框架中各根柱設(shè)畫出受力圖，列平衡方程，可得到設(shè)畫出受

5、力圖，列平衡方程，可得到最后求得剛度矩陣為=設(shè)畫出受力圖，列平衡方程，可得到設(shè)畫出受力圖，列平衡方程，可在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是k，則 就是物塊上作用單位力時(shí)彈簧的變形，稱柔度影響系數(shù)，用 表示。具體地說(shuō)，僅在第j個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于在第i個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為 。 n自由度系統(tǒng)的柔度矩陣 為n階方陣，其元素 稱為柔度影響系數(shù)，表示單位力產(chǎn)生的位移。在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是k，則 就現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。 當(dāng)受到F1作用后，第一個(gè)彈簧的變形為 ，第二和第三個(gè)彈簧的變形為零。首先施加單位力這時(shí)三物塊所產(chǎn)生

6、的靜位移分別是所以三物塊的位移都是F1F1現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。 當(dāng)受到F1作第三個(gè)彈簧不受力，故其變形為零。因此有令F2第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為第三個(gè)彈簧不受力，故其變形為零。因此有令F2第一和第二彈簧均F3再令可得到系統(tǒng)的柔度矩陣為F3再令可得到系統(tǒng)的柔度矩陣為柔度矩陣一般也是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即系統(tǒng)的柔度矩陣為柔度矩陣一般也是對(duì)稱的。系統(tǒng)的柔度矩陣為用柔度影響系數(shù)來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生變形應(yīng)用疊加原理可得到用柔度影響系數(shù)來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量的慣性力使寫成矩陣形式位移方程

7、是非奇異的，即 的逆矩陣存在與作用力方程比較寫成矩陣形式位移方程是非奇異的，即 的逆矩陣存在與作即當(dāng)剛度矩陣是非奇異時(shí)，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；當(dāng)剛度矩陣是奇異時(shí)，不存在逆矩陣即無(wú)柔度矩陣。此時(shí)系統(tǒng)的平衡位置有無(wú)限多或者說(shuō)它有剛體運(yùn)動(dòng)。如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)，柔度矩陣不存在。柔度矩陣與剛度矩陣之間的關(guān)系即當(dāng)剛度矩陣是非奇異時(shí)，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；柔度矩例 試求圖示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度為EI，其質(zhì)量不計(jì))解：取y1 、 y2為廣義坐標(biāo)，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義， 表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產(chǎn)生的位移。 表示在m2處施加單位力(沿

8、y2方向)并在m2處產(chǎn)生的位移。有按材料力學(xué)的撓度公式，則有例 試求圖示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，并建立其位移方程。(梁 表示在m2處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移等于在m1處施加單位力在m1處產(chǎn)生的位移。有柔度矩陣為得系統(tǒng)的位移方程 表示在m2處施加單位力在m1設(shè)n自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振動(dòng)。上式又可表示為 4.2 固有頻率 主振型設(shè)n自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振將解式代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并消去 ，得到將解式代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并消去 特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。式是

9、關(guān)于p2的n次多項(xiàng)式，由它可以求出n個(gè)固有頻率(或稱特征值)。因此，n個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率。特征矩陣要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是可得到前乘以下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正定的，因此有于是，得到可得到前乘以下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱?。通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對(duì)應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或?yàn)榱?。一般的振?dòng)系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將

10、各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為其中最低階固有頻率p1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。 頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱恪Ｍǔ倢?duì)應(yīng)于pi可以求得A(i)，它滿足A(i)為對(duì)應(yīng)于pi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以pi的頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各物塊振幅的相對(duì)大小，稱之為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。 對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型對(duì)應(yīng)于pi可以求得A(i)，它滿足A(i)為對(duì)應(yīng)于pi的特征對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為1，并

11、進(jìn)而確定其它元素的過(guò)程稱為歸一化。 令 ，于是可得第i階主振型矢量為對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來(lái)求得。特征矩陣逆矩陣乘以代入比較 所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。 任何非零列成比例主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來(lái)求得。特征矩陣逆矩陣當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是位移方程時(shí)，仍可設(shè)其解具有特征矩陣頻率方程求出n個(gè)固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣adjL將pi值代入而求出. 代入位移方程當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是位移方程時(shí)，仍可設(shè)其解具有特征矩陣頻率方程求解：選擇x1、 x2、 x3坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)

12、量矩陣和剛度矩陣分別為將M和K代入頻率方程例 圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：選擇x1、 x2、 x3坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和解方程得到求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣解方程得到求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為再求特征矩陣的伴隨矩陣設(shè)取其第三列(計(jì)算時(shí)可只求出這一列)，將p1值代入，得到第一階主振型為得到第二、三階主振型為三個(gè)主振型由圖所示設(shè)取其第三列(計(jì)算時(shí)可只求出這一列)，將p1值代入，得到第一歸一化后，即令= 0主振型也可由式 求得代入可得主振型歸一化后，即令= 0主振型也可由式 例

13、在前例中，若k1 =0, 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。相當(dāng)于圖所示系統(tǒng)中去掉這個(gè)彈簧，這時(shí)剛度矩陣為解：特征矩陣為可得到頻率方程例 在前例中，若k1 =0, 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型解出得到三個(gè)固有頻率分別代入的第三列歸一化后，得到三個(gè)主振型解出得到三個(gè)固有頻率分別代入的第三列歸一化后，得到三個(gè)主振型這種振型是與零固有頻率對(duì)應(yīng)的稱之為零振型。剛度矩陣 是半正定系統(tǒng)。而且，在其運(yùn)動(dòng)方向上系統(tǒng)的外力的合力為零，是動(dòng)量守恒系統(tǒng)。 這種振型是與零固有頻率對(duì)應(yīng)的稱之為零振型。剛度矩陣 例 有三個(gè)具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設(shè)鋼絲中的拉力FT很大，因而各點(diǎn)的橫向位移不會(huì)使拉力有明顯的變化

14、。設(shè)m1= m2= m3= m ，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是 其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出 例 有三個(gè)具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是畫出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得m1由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F=1m1位移是m2位移是m寫出柔度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為寫出柔度矩陣系統(tǒng)的特征矩陣為得頻率方程，即得求出各根，按遞降次序排列于是得到系統(tǒng)的固有頻率得頻率方程，即得求出各根，按遞降次序排列于是得到系統(tǒng)的固有頻為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL

15、的第一列代入各階主振型歸一化為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL的第一列代入各階主振型歸一化n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。 對(duì)應(yīng)于兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘 相減 4.3 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。 Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。 令

16、j = i,表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交 由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在彈性耦合。 對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來(lái)說(shuō)，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。 由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的以各階主振型矢量為列，按順序排列

17、成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣使MP由對(duì)角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即這樣得到的振型稱為正則振型。正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率 使MP由對(duì)角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即由正交性可導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì)譜矩陣 以各階正則振型為列，依次排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為正在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)

18、量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力偶合又有靜力偶合。對(duì)于n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)偶合項(xiàng)亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問(wèn)題，稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都1. 主坐標(biāo)首先用主振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，即主坐標(biāo)矢量 這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由展開(kāi)式看出1. 主坐標(biāo)主坐標(biāo)

19、矢量 這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由展開(kāi)式看 原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看成是由n個(gè)主振型按一定的比例組合而成。新坐標(biāo)比例因子 系統(tǒng)各坐標(biāo)值正好與第一階主振型相等，即每個(gè)主坐標(biāo)的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標(biāo)中占有成分的大小。如果令則可得 原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看成是由n個(gè)主振型按一定將式由主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)前乘以由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對(duì)角陣，所以方程式中無(wú)偶合，且為相互獨(dú)立的n個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)微分方程。即第i階主質(zhì)量或模態(tài)質(zhì)量第i階主剛度或模態(tài)剛度第i階主質(zhì)量將式由主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)前乘以由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都 由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過(guò)程。從物

20、理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^(guò)程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第i 個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻(xiàn)。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。 由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過(guò)程。2. 正則坐標(biāo)用正則振型矩陣AN進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè) 正則坐標(biāo)矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)2. 正則坐標(biāo)正則坐標(biāo)矢量前乘以由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì)例 試求前

21、例圖示系統(tǒng)中的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣解：將在前例中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣?yán)?試求前例圖示系統(tǒng)中的主振型矩陣和正則振型矩陣。由質(zhì)量于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣于是，可得各階正則振型以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)式為由剛度矩陣可求出譜矩陣可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)式為在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上頻率相等或相近的情形，這時(shí)相對(duì)應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。為了說(shuō)明這

22、一點(diǎn)，假設(shè)頻率方程有二重根?？蓪懗鼍€性組合說(shuō)明對(duì)應(yīng)于p0的主振型不能唯一地確定 兩個(gè)任意常數(shù) 4.4 固有頻率相等的情形在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固有頻率 當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來(lái)確定。 例 圖示系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)與一無(wú)重剛桿組成，且兩質(zhì)點(diǎn)又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。 當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)x1, x2 。寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為 得到特征矩陣得到頻率方程解出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率，是重根。 解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為

23、坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)x1, x2 。得求出特征矩陣的伴隨矩陣并將兩個(gè)固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)果是兩個(gè)元素全為零。因此，在重根的情況下無(wú)法用伴隨矩陣adjB 確定主振型。 需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運(yùn)動(dòng)即平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。因此可假設(shè)然后用兩振型關(guān)于M、K的正交性來(lái)校核求出特征矩陣的伴隨矩陣并將兩個(gè)固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)是該系統(tǒng)的一組正交主振型 需要指出的是，這種相互獨(dú)立正交的主振型組可以有無(wú)窮多組。就好象在平面幾何中，一個(gè)圓有無(wú)窮多組相互垂直的二個(gè)直徑一樣。圖所示，為另一組相互正交的主振型，即 是該系統(tǒng)的一組正交主振型 需要指出的是，這種相互獨(dú)立正交的主例 圖所

24、示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：其中例 圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)k1= k2由特征矩陣建立頻率方程為由特征矩陣建立頻率方程為由特征矩陣求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列由特征矩陣求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列求與重根對(duì)應(yīng)的主振型按第一行展開(kāi)同時(shí)應(yīng)滿足正交化求與重根對(duì)應(yīng)的主振型按第一行展開(kāi)同時(shí)應(yīng)滿足正交化同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式已知n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為求系統(tǒng)對(duì)初始條件

25、的響應(yīng)。求解的方法是：先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方程式轉(zhuǎn)換成n個(gè)獨(dú)立的單自由度形式的運(yùn)動(dòng)微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動(dòng)的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng).。本節(jié)只介紹用正則坐標(biāo)變換求解的方法。 4.5 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)已知n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對(duì)初始條件的響應(yīng)為由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對(duì)初始條件的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法對(duì)于半正定系統(tǒng)，有固有頻率 pi = 0系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)

26、振型系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱振型疊加法對(duì)于半 例 在前例中，設(shè)初始條件是 求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：已求出系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣 例 在前例中，設(shè)初始條件是 得到用正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)求出系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)其中得到用正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)求出系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)其中 例 三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上。它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為I，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為 ，軸重不計(jì)。若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的轉(zhuǎn)角 確定，求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。運(yùn)動(dòng)微分方程是求主振型 例 三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上。它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)寫出特征方程得到系統(tǒng)的頻率方程解出三個(gè)固有頻率

27、寫出特征方程得到系統(tǒng)的頻率方程解出三個(gè)固有頻率三個(gè)固有頻率求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列將各頻率依次代入，即得各階主振型三個(gè)固有頻率求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列將各頻率依次代入，各階主振型將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣求出主質(zhì)量矩陣求出正則振型，進(jìn)一步建立正則振型矩陣各階主振型將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣求出主質(zhì)量求系統(tǒng)初始條件的正則坐標(biāo)表示求系統(tǒng)初始條件的正則坐標(biāo)表示求出響應(yīng)為若初始條件為求系統(tǒng)的響應(yīng)求出響應(yīng)為若初始條件為求系統(tǒng)的響應(yīng)由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率p2作諧振動(dòng)。 由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率p一

28、般工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械的工作狀態(tài)都要避開(kāi)共振。因此，在設(shè)計(jì)過(guò)程中，要變更系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量、剛度等，使其固有頻率適當(dāng)?shù)仄x激振力的頻率。所以，需要探討固有頻率隨質(zhì)量、剛度變更的情況。當(dāng)K中的元素增大時(shí)，pi2將增大；當(dāng)M中的元素增大時(shí)， pi2將減小。 4.6 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響一般工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械的工作狀態(tài)都要避開(kāi)共振。因此，在設(shè)計(jì)過(guò)程中設(shè)系統(tǒng)的M矩陣中各元素不變，求K矩陣元素的變化對(duì)系統(tǒng)各階固有頻率的影響。設(shè)系統(tǒng)中第j個(gè)彈性元件kj發(fā)生變化，將上式對(duì)kj求導(dǎo)數(shù)，得式兩端前乘以轉(zhuǎn)置系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素 的變化率成正比。設(shè)系統(tǒng)的M矩陣中各元素不變，求K矩陣元素的變化對(duì)系

29、統(tǒng)各階固有系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。同理，設(shè)系統(tǒng)剛度矩陣K中各元素保持不變，而質(zhì)量矩陣M 發(fā)生變化，即系統(tǒng)中第個(gè)j質(zhì)量元素mj發(fā)生變化， 系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。同理，設(shè)系若質(zhì)量的變化率為正時(shí)，固有頻率的變化率為負(fù)。即質(zhì)量mj變大時(shí)，各階固有頻率相應(yīng)地要減小。 對(duì)mj求導(dǎo)數(shù)式兩端前乘以轉(zhuǎn)置若質(zhì)量的變化率為正時(shí)，固有頻率的變化率為負(fù)。即質(zhì)量mj變大時(shí)設(shè)n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用它們?yōu)橥活l率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為為了求系統(tǒng)對(duì)此激振力的響應(yīng)，現(xiàn)采用主振型分析法和正則振型分析法。利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換使方程解偶的分析方法

30、，稱為主振型分析法或正則振型分析法。 4.7 無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)n自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用它們?yōu)橥活l率的簡(jiǎn)諧利用主坐標(biāo)變換以主坐標(biāo)表示的受迫振動(dòng)方程式，它是一組n個(gè)獨(dú)立的單自由度方程，即同單自由度無(wú)阻尼受迫振動(dòng)一樣，設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即利用主坐標(biāo)變換以主坐標(biāo)表示的受迫振動(dòng)方程式，它是一組n個(gè)獨(dú)立返回原物理坐標(biāo)這就是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為主振型分析法。返回原物理坐標(biāo)這就是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為將正則坐標(biāo)變換的關(guān)系式由正則振型的正交條件可得到解偶的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成n個(gè)獨(dú)立的方程返回原物理坐標(biāo)將正則坐標(biāo)變換的關(guān)系式由

31、正則振型的正交條件可得到解偶的運(yùn)動(dòng)微可以看出，當(dāng)激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個(gè)時(shí)，以上二式的分母都將為零，這時(shí)振幅將會(huì)無(wú)限增大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。與單自由度系統(tǒng)不同，n自由度系統(tǒng)一般有n個(gè)固有頻率，因此可能出現(xiàn)n次共振。可以證明，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，譬如 ，這時(shí)第i階主共振的振幅會(huì)變得十分大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第i階共振，且系統(tǒng)在第i階共振時(shí)的振動(dòng)形態(tài)接近于第i階主振型?？梢钥闯?，當(dāng)激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個(gè)時(shí)，以上二 例 在圖示的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為m，且，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)取廣義坐標(biāo)x1、 x2、 x3 如圖所示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 例 在圖示的三自由度

32、彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為m，且由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計(jì)算系統(tǒng)在F1(t)和F2(t)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，然后再將兩部分疊加起來(lái)，最后得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) f (t)的響應(yīng)。由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計(jì)算系統(tǒng)在F1(t)和F2(t)現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣?yán)谜齽t坐標(biāo)變換得到以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣?yán)谜齽t坐標(biāo)變換得到以正將qN分成兩種情況(用下標(biāo)1，2分別表示F1(t)、F2(t)單獨(dú)作用的情況)。將qN分成兩種情況(用下標(biāo)1，2分別表示F1(t)、F2(t由于激振力是不同頻率的， F2(t)的頻率是F1(t)的三倍，因此系統(tǒng)的總響應(yīng)不再

33、是簡(jiǎn)諧的，而是周期性的。由于激振力是不同頻率的， F2(t)的頻率是F1(t)的三倍在線性振動(dòng)理論中，一般采用線性阻尼的假設(shè)，認(rèn)為振動(dòng)中的阻尼與速度的一次方成正比。在多自由度系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)微分方程式中的阻尼矩陣一般是n階方陣。有C是阻尼矩陣，與剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)類似，阻尼矩陣中的元素cij稱阻尼影響系數(shù)。它的意義是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位速度而相應(yīng)于在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。 4.8 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)在線性振動(dòng)理論中，一般采用線性阻尼的假設(shè)，認(rèn)為振動(dòng)中的阻尼與利用主坐標(biāo)分析法，用主振型矩陣AP試對(duì)阻尼矩陣C進(jìn)行對(duì)角化CP一般不是對(duì)角陣1. 將阻尼矩陣假設(shè)為比例阻尼假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合a、b是正的常數(shù)稱為主阻尼矩陣?yán)弥髯鴺?biāo)分析法，用主振型矩陣AP試對(duì)阻尼矩陣C進(jìn)行對(duì)角化C若用正則振型矩陣變換振型比例阻尼系數(shù)或模態(tài)比例阻