應(yīng)力應(yīng)變概念課件

1、真實(shí)應(yīng)變= dL/L=ln(L/Lo)L1LoPSLoLSo伸長1. 正應(yīng)力和正應(yīng)變 正應(yīng)變 ：單位長度的伸長。（LLo)/Lo=（名義應(yīng)變）2.1.1 基本概念正應(yīng)力 ：作用于單位面積上的力。P/So=（公稱應(yīng)力或名義應(yīng)力）真實(shí)應(yīng)力=P/S2.1 應(yīng)力、應(yīng)變及彈性形變真實(shí)應(yīng)變= dL/L=ln(L/Lo)L1PSLoLS2. 剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變負(fù)荷作用在面積為S的ABCD面上，剪切應(yīng)力：=P/S; 剪切應(yīng)變：=U/L=tg.正應(yīng)力引起材料的伸長或縮短，剪應(yīng)力引起材料的畸變，并使材料發(fā)生轉(zhuǎn)動。PABCDEABULF2. 剪切應(yīng)力和剪切應(yīng)變負(fù)荷作用在面積為S的ABCD面上，xyzzxxyyyxx

2、zzyzzyyxxz應(yīng)力分量S圍繞材料內(nèi)部一點(diǎn)P，取一體積單元2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物體1. 應(yīng)力xyzzxxyyyxxzzyzzyyxxz說明：下腳標(biāo)的意義：每個(gè)面上有一個(gè)法向應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，應(yīng)力分量下標(biāo)：第一個(gè)字母表示應(yīng)力作用面的法線方向；第二個(gè)字母表示應(yīng)力的作用方向。方向的規(guī)定正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定：拉應(yīng)力（張應(yīng)力）為正，壓應(yīng)力為負(fù)。剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定：正剪應(yīng)力負(fù)剪應(yīng)力說明：剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定：正剪應(yīng)力負(fù)剪應(yīng)力應(yīng)力間存在以下關(guān)系：根據(jù)平衡條件，體積元上相對的兩個(gè)平行平面上的法向應(yīng)力大小相等，方向相反；剪應(yīng)力作用在物體上的總力矩等于零。應(yīng)力張量T1T2T3T4T5T6xxyy

3、zzyzzxxy結(jié)論：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有六個(gè)分量決定體積元上任意面上的法向應(yīng)力與坐標(biāo)軸的正方向相同，則該面上的剪應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的正方向者為正；如果該面上的法向應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則剪應(yīng)力指向坐標(biāo)軸的正方向者為負(fù)。應(yīng)力間存在以下關(guān)系：應(yīng)力張量T1T2T3T4T5T6xx2. 應(yīng)變dxdyBCAC BA(v/y)dy(v/x)dx(u/x)dx(u/y)dyxy0 XY面上的剪應(yīng)變xyyx2. 應(yīng)變dxdyBCAC BA(v/y)dy已知：O點(diǎn)沿x,y,z方向的位移分量分別為u,v,w應(yīng)變?yōu)椋簎/x ， 用偏微分表示 ： u/ x在O點(diǎn) 處沿x方向的正應(yīng)變是： xx = u/x同理： yy= v

4、/y zz= w/z.uxOAxAOu（1）正應(yīng)變 已知：O點(diǎn)沿x,y,z方向的位移分量分別為u,v,w應(yīng)變?yōu)椋篈點(diǎn)在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的長度增加(u/x)dx.O點(diǎn)在 y方向的應(yīng)變： v/x, A點(diǎn)在y方向的位移v +(v/x)dx,A點(diǎn)在y方向相對O點(diǎn)的位移為： (v/x)dx,同理：B點(diǎn)在x方向相對O點(diǎn)的位移為： (u/y)dy（2）剪切應(yīng)變A點(diǎn)在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的長度增線段OA及OB之間的夾角變化OA與OA間的夾角 =(v/x)dx/dx= v/x OB與OB間的夾角= (u/y)dy/dy=u/y線段OA及OB之間的夾角減少了v/x

5、+u/y，xz平面的剪應(yīng)變?yōu)? xy= v/x +u/y （xy與yx)線段OA及OB之間的夾角變化同理可以得出其他兩個(gè)剪切應(yīng)變： yz= v/z+w/y zx= w/x +u/z結(jié)論：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用六個(gè)應(yīng)變分量來決定，即三個(gè)剪應(yīng)變分量及三個(gè)正應(yīng)變分量。同理可以得出其他兩個(gè)剪切應(yīng)變：（1）各向同性體的虎克定律xLLbccbxzxy長方體在軸向的相對伸長為：x=x/E應(yīng)力與應(yīng)變之間為線性關(guān)系，E-彈性模量，對各向同性體，彈性模量為一常數(shù)。2.1.3 彈性形變1. 廣義虎克定律（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系）（1）各向同性體的虎克定律xLLbccbxzxy長當(dāng)長方體伸長時(shí)，橫向收縮： y=c/c z=

6、b/b橫向變形系數(shù)（泊松比）：=| y / x| =| z / x |則 y = x= x/E z= x/E如果長方體在x y z的正應(yīng)力作用下，虎克定律表示為： x=x/E y/E z/E= x （y z ） /E y=y/E x/E y/E= y （x z ） /E z=z/E x/E y/E= z （x y ） /E當(dāng)長方體伸長時(shí)，橫向收縮：對于剪切應(yīng)變，則有如下虎克定律： xy=xy/G yz=yz/G zx=zx/GG -剪切模量或剛性模量。G, E, 參數(shù)的關(guān)系： G=E/2(1+)如果 x = y = z ，材料的體積模量K-各向同等的壓力與其引起的體積變化率之比。 K=p/(V

7、/V)=E/3(12 )對于剪切應(yīng)變，則有如下虎克定律：作用力對不同方向正應(yīng)變的影響 各種彈性常數(shù)隨方向而不同，即： Ex Ey Ez , xy yz zx在單向受力x時(shí)，在y, z方向的應(yīng)變?yōu)椋?yy = yx x= yx x/Ex=（ yx /Ex ） x =S21 x zz = zx x= zx x/Ex=S31 xS21, S31為彈性柔順系數(shù)。1, 2,3分別表示x,y,z (2) 各向異性作用力對不同方向正應(yīng)變的影響 (2) 各向異性同時(shí)受三個(gè)方向的正應(yīng)力，在x, y, z方向的應(yīng)變?yōu)椋?xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23

8、zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz同時(shí)受三個(gè)方向的正應(yīng)力，在x, y, z方向的應(yīng)變?yōu)椋?正應(yīng)力對剪應(yīng)變有影響，剪應(yīng)力對正應(yīng)變也有影響，通式為： xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55z

9、x+S56 xy xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy 總共有36個(gè)系數(shù)。正應(yīng)力對剪應(yīng)變有影響，剪應(yīng)力對正應(yīng)變也有影響，通式為：根據(jù)倒順關(guān)系有（由彈性應(yīng)變能導(dǎo)出）： Sij=Sji , 21/E112/E2，系數(shù)減少至21個(gè)考慮晶體的對稱性，例如：斜方晶系，剪應(yīng)力只影響與其平行的平面的應(yīng)變，不影響正應(yīng)變，S數(shù)為9個(gè)(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12 = S21,S23,S13) 。六方晶系只有5個(gè)S(S11 = S22, S33, S44, S66, S13)立方晶系為3個(gè)S(S11,S44,S12)MgO的柔順系數(shù)在2

10、5oC時(shí)， S11 =4.0310-12 Pa-1; S12 =0.9410-12 Pa-1; S44 = 6.4710-12 Pa-1 . 由此可知，各向異性晶體的彈性常數(shù)不是均勻的。根據(jù)倒順關(guān)系有（由彈性應(yīng)變能導(dǎo)出）：考慮晶體的對稱性，2. 彈性變形機(jī)理虎克定律表明，對于足夠小的形變，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性模量E。作用力和位移成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性常數(shù)K。2. 彈性變形機(jī)理虎克定律表明，對于足夠小的形變，應(yīng)力與應(yīng)rrror12FUm在r=ro時(shí)，原子1和2處于平衡狀態(tài)，其合力F=0.當(dāng)原子受到拉伸時(shí)，原子2向右位移，起初作用力與位移呈線性變化，后逐漸偏離，達(dá)到r時(shí)，合力最大，此后

11、又減小。合力有一最大值，該值相當(dāng)于材料斷裂時(shí)的作用力。斷裂時(shí)的相對位移：rro=把合力與相對位移的關(guān)系看作線性關(guān)系，則彈性常數(shù)： K F/=tg(1) 原子間相互作用力和彈性常數(shù)的關(guān)系rrror12FUm在r=ro時(shí)，原子1和2處于 U(ro+ ）=U(ro)+(dU/dr)ro +1/2(d2U/dr2) ro 2 =U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro 2 F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro K =(d2U/dr2)ro就是勢能曲線在最小值u(ro)處的曲率。結(jié)論：K是在作用力曲線r=ro時(shí)的斜率，因此K的大小反映了原子間的作用力曲線在r=ro處斜率的大小.(2) 原子間的勢

12、能與彈性常數(shù)的關(guān)系結(jié)論：彈性常數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上反映了原子間勢能曲線極小值尖峭度的大小。 U(ro+ ）=U(ro)+(dU/dr使原子間的作用力平行于x軸，作用于原子上的作用力： F=u/r , 應(yīng)力：xx(u/r)/ro2 dxx(2u/r2)dr/ro2 , 相應(yīng)的應(yīng)變：d xx =dr/rodxx =C11d xx C11 (d2U/dr2)ro /ro= K/ ro = E1 C-彈性剛度系數(shù)（與彈性柔順系數(shù)S成反比） 結(jié)論：彈性剛度系數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上也反映了原子間勢能曲線極小值尖峭度的大小。大部分無機(jī)材料具有離子鍵和共價(jià)鍵，共價(jià)鍵勢能曲線的谷比金屬鍵和離子鍵的深，即：彈性剛度系數(shù)大。(3

13、) 彈性剛度系數(shù)使原子間的作用力平行于x軸，作用于原子上的作用力：結(jié)論：彈性晶體C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51 NaCl型晶體的彈性剛度系數(shù) （1011達(dá)因/厘米2，200C）晶體C11C12C44TiC5011.3017.50MgO2（4）用原子間振動模型求彈性常數(shù)原子振動時(shí)有以下關(guān)系：m1r1=m2r2, r=r1+r2=r1(1+m1/m2)外力使其產(chǎn)生振動時(shí)，則：F= m1d2r1/

14、dt2=m2d2r2/dt2=K(rro)得: md2(rro)/dt2=K(rro) 或 md2/dt2=K 其中： m=m1m2/(m1+m2)（折合質(zhì)量）解此方程可以得共振頻率：=(K/m)1/2 / 2 (與晶格振動中的長光學(xué)縱波相似，也叫極化波，能引起靜電極化)，則 ： K=m(2)2=m(2c/)2可以利用晶體的紅外吸收波長測出彈性常數(shù)。rm1m2r1r2（4）用原子間振動模型求彈性常數(shù)原子振動時(shí)有以下關(guān)系：rm13. 影響彈性模量的因素架狀結(jié)構(gòu) 石英和石英玻璃的架狀結(jié)構(gòu)是三維空間網(wǎng)絡(luò)，不同方向上的鍵結(jié)合幾乎相同-幾乎各向同性。 單鏈結(jié)構(gòu) Si2O6 雙鏈結(jié)構(gòu) Si4O11 環(huán)狀結(jié)

15、構(gòu)（島狀結(jié)構(gòu)） Si6O18 方向不同彈性模量不一樣（1）晶體結(jié)構(gòu)3. 影響彈性模量的因素架狀結(jié)構(gòu) 石英和石架狀結(jié)構(gòu)石英 SiO2 C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃SiO2 C11=C22=C33=0.8單鏈狀硅酸鹽霓輝石 NaFeSi2O6 C11=1.9 C22=1.8 C33=2.3普通輝石(CaMgFe)SiO3 C11=1.8 C22=1.5 C33=2.2透輝石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8 C33=2.4雙鏈狀硅酸鹽 角閃石普通角閃石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2 C11=1.2 C22=1.8 C33=2

16、.8環(huán)狀硅酸鹽綠柱石Be3Al2Si6O8 C11=C22=3.1 C33=0.6電氣石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18 C11=C22=2.7 C33=1.6層狀硅酸鹽黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.9 C33=0.5白云母KAl2(AlSi3O10 )(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.6金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2 C11=C22=1.8 C33=0.5 1012達(dá)因/厘米2架狀結(jié)構(gòu)單鏈狀硅酸鹽雙鏈狀硅酸鹽 角閃石環(huán)狀硅酸鹽層狀硅酸 大部分固體，受熱后漸漸開始變軟，彈

17、性常數(shù)隨溫度升高而降低。彈性模量與溫度的定量關(guān)系： E=EobTexp(-To/T) 或 (EEo)/T=bexp(-To/T)Eo,b,To是經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，對MgO,Al2O3，ThO2等氧化物，b=2.75.6 , To=180320溫度對彈性剛度系數(shù)的影響，通常用彈性剛度系數(shù)的溫度系數(shù)表示： Tc=(dC/dT)/C對在電子儀器中的所謂延遲線和標(biāo)準(zhǔn)頻率器件十分重要，因?yàn)樗鼈儗で罅銣囟认禂?shù)材料。(2) 溫度 大部分固體，受熱后漸漸開始變軟，彈性常數(shù)隨溫度升高而降低溫度補(bǔ)償材料：一種異常的彈性性質(zhì)材料（Tc是正的），補(bǔ)償一般材料的負(fù)Tc值.且壓電偶合因子大。MgO Tc11=2.3 Tc44=1

18、.0SrTiO3 Tc11=2.6 Tc44=1.1SiO2 Tc11=0.5 Tc33=2.1 Tc44=1.6 Tc66=1.6 其中：Tc10-4/oC低溫石英有一個(gè)方向Tc是正值，低溫石英在570oC通過四面體旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行位移式相轉(zhuǎn)變，變成充分膨脹的敞曠高溫型石英結(jié)構(gòu)。原因：對高溫石英和低溫石英施加拉伸應(yīng)力，前者由于SiOSi鍵是直的，僅發(fā)生拉伸，后者除拉伸外，還有鍵角改變，即發(fā)生轉(zhuǎn)動運(yùn)動。隨著溫度的增加，其剛度增加，溫度系數(shù)為正值。溫度補(bǔ)償材料：一種異常的彈性性質(zhì)材料（Tc是正的），補(bǔ)償一般說明：Tc和轉(zhuǎn)動相關(guān)。啟示：溫度補(bǔ)償材料具有敞曠結(jié)構(gòu)，內(nèi)部結(jié)構(gòu)單位能發(fā)生較大轉(zhuǎn)動的物質(zhì)，這種敞曠式結(jié)構(gòu)具有小的配位數(shù)。架狀結(jié)