03-一次函數(shù)直角三角形教師

1、 一次函數(shù)&直角三角形第三講 一次函數(shù)概念&直角三角形 Part I ：Function一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【新課學(xué)習(xí)】引例：一根蠟燭現(xiàn)長為16cm, 4小時(shí)后還剩6cm, 設(shè)x小時(shí)后，蠟燭剩余長y (cm).求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍。 答：（）【一次函數(shù)的概念】 形如 （，為常數(shù)）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，定義域是一切實(shí)數(shù)。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，形如（）的函數(shù)叫做正比例函數(shù).故正比例函數(shù)是一次函數(shù)，一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).形如 （是常數(shù)）的函數(shù)叫做常值函數(shù). 表示：不論自變量怎樣變化，函數(shù)值總是常數(shù).【一次函數(shù)的圖像】請用“列表、描點(diǎn)、連線”的方法作出下列函數(shù)的圖像，并總

2、結(jié)如何既快又準(zhǔn)的作出一次函數(shù)的圖像。（1） （2） （圖略）【結(jié)論】 一次函數(shù)（）的圖像是 一條直線 ； 該直線與y軸交點(diǎn)為（0，b），b稱為該直線在y軸上的 截距 。練習(xí)： 直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_（-2,0）_，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_（0,4）_，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_4_. 已知直線和，求：它們與x軸所圍成的三角形的面積； 它們與y軸所圍成的三角形的面積.解：（1）3；（2）6 若某直線在y軸上的截距是6，且經(jīng)過點(diǎn)（4 ，2），求該直線的函數(shù)解析式.解： 若某直線經(jīng)過點(diǎn)A（2 ，5）、B（1 ，7），求該直線的函數(shù)解析式解：代入，則 所求函數(shù)： 直線l與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，與直

3、線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，求直線l的解析式。解：【探究】在同一坐標(biāo)系下畫出 , , 的圖像，觀察圖像特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律?！窘Y(jié)論】 一次函數(shù) （）的圖像可由正比例函數(shù) 的圖像平移得到：當(dāng)時(shí)，向上平移個(gè)單位； 當(dāng)時(shí)，向下平移個(gè)單位； 兩條直線與平行的條件是；練習(xí)： 直線沿y軸向 上 平移 2 個(gè)單位得到直線. 把直線沿y軸向下平移5個(gè)單位，則所得直線的函數(shù)解析式是_. 已知直線與直線沒有交點(diǎn)，則k_5_. 一次函數(shù)的圖像與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2），求此函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求函數(shù)： 把（1，）代入，則， ，【一次函數(shù)的性質(zhì)】一次函數(shù)（）的圖像在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的位置情況如下：（1）當(dāng)k 0, b 0時(shí)，

4、圖像經(jīng)過第一、二、三象限； y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k 0, b 0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三、四象限； y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k 0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、二、四象限； y隨x的增大而減小；（4）當(dāng)k 0, b 0時(shí)，圖像總經(jīng)過一、三象限， y隨x的增大而增大；當(dāng)k 0時(shí)，圖像總經(jīng)過二、四象限， y隨x的增大而減小.練習(xí)：已知一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍。解：一次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍.解：直線經(jīng)過第一、三、四象限，那么直線不經(jīng)過第_一_象限.已知一次函數(shù)，若y隨x的增大而減小，則該函數(shù)圖像經(jīng)過第_一、二、四_象限.【鞏固與提

5、高】 若函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6，求k的值.解：設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，（0，3） 與軸交點(diǎn)為（，0） （4，0）或（，0） 當(dāng)為（4，0）時(shí). 令， 令軸交點(diǎn)為 ， 若函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求b的值.解：令 令 與坐標(biāo)軸交于（0，）、 已知直線l1過點(diǎn)A（0 ，2）、B（2 ，2），直線l2過點(diǎn)A，且l1、l2與x軸圍成的三角形面積為4，求l1和l2的函數(shù)解析式.解： l1：l2：或直線過、且平行于直線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB的面積。 解： 令 5. 某機(jī)動(dòng)車出發(fā)前油箱內(nèi)有油42升，行駛?cè)舾尚r(shí)后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）與行駛時(shí)間t（時(shí)）之間的

6、函數(shù)關(guān)系如圖5所示，根據(jù)下圖回答問題：（1）機(jī)動(dòng)車行駛 5 小時(shí)后加油；（2）中途加油 24 升；（3）寫出直線CD的關(guān)系式 y= -6x+66 Q（升Q（升）t（時(shí)）CA42363024181261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11OBD 圖5 圖66.圖中表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（、是常數(shù)，）圖象的是（ C ）yyxyyyxxxooooABCDDCPBA7.如圖，在矩形中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿路線作勻速運(yùn)動(dòng)，那么的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程之間的函數(shù)圖象大致是（ B ）DCPBAOO3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD28.如圖，三個(gè)大小相同的正方形拼成六

7、邊形，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著 方向勻速運(yùn)動(dòng)，最后到達(dá)點(diǎn).運(yùn)動(dòng)過程中的面積（）隨時(shí)間（t）變化的圖象大致是（ B ）Part II ：The Geometric直角三角形直角三角形性質(zhì)：直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。特殊的直角三角形：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；反過來，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45，那么這個(gè)三角形是等腰直角三角形。勾股定理及逆定理直角三角形兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方；反之，若三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和，則這個(gè)三角形是

8、直角三角形?！竞?0的直角三角形】如圖，在ABC中，C=90，A=30，AB的垂直平分線交AC與D，交AB與E。求證：AD=2DC。證明：連接BD, 由于ED是AB的垂直平分線，所以EDAB,AD=BD，即ABD=A=30在RtABC中，A=30則B=60所以DBC=30，故BD是B的角平分線,DE=DC.在RtABC中，A=30，所以AD=2DE=2DC如圖，OC平分，P為OC上任意一點(diǎn)，PDOA交OB于D，PEOA于E。若OD=4cm，求PE的長。如圖，在中，是高，是的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，且，若，求的長。證明， 是的中點(diǎn)，又在中，易知,.【直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】如圖，已知

9、在鈍角ABC中，AC、BC邊上的高分別是BE、AD，BE、AD的延長線交于點(diǎn)H，點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn).BEFHDABEFHDAGC圖 （2）連結(jié)FG，試問FDG能否為等腰直角三角形？若能，試確定ABC的度數(shù)，并寫出你的推理過程；若不能，請簡要說明理由.證明：（1）AC、BC邊上的高分別是BE、AD，ADBD，AEBHACD和BDH和AEH是Rt 點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn). AGCGDG，BFHFDF GADGDA，F(xiàn)DHFHDAEH90，GADFHD90GDAFDH90，GDF90（2）FDG能為等腰直角三角形。若FDG為等腰三角形，則DGDF，即ABDHBD，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重

10、合。即ABBH，ABC45。如圖：在內(nèi)，D是AC上任意一點(diǎn)，DE于E,M、N分別是BD、CE的中點(diǎn).求證：證明：連接EM,MCDE垂直AB于E,DEB為Rt，M是BD的中點(diǎn)，EM=DB,同理在RtDCB中，M為DB的中點(diǎn)CM=DB,CM=EM=DB,又N為EC中點(diǎn)MN為CE的垂直平分線即MNCE在ABC中，ACB=90，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，DE與CF平行且相等。求證：AE=DF 證明：連接EFDECF，EDFCFDDEFC，DFFD，DEFFCD（SAS）DEFFCD，CDEFDECF，DEFEFA，F(xiàn)CDEFA，ACB90，D是AB中點(diǎn)，CDAD，DAFDCFEFA，EFAD又

11、AFFA，DAFEFA（SAS），AEDF【等腰直角三角形】如圖，在ABC中，ACB=90，D、E為AB上的點(diǎn)，且AE=AC，BD=BC，EFCD于F。求證：CF=EF。證明：由于，故而EFCD于F，所以CEF是等腰直角三角形。即CF=EF。如圖，ABC是等邊三角形，DBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，AECD與E。求證：AE=ED。證明：連接AD。易證ABDACD（SAS）,即BAD=CAD=30 又ACD =ABD =ABCDBC =6045=15 在RtAEC中，EAC =9015=75 所以EAD =7530=45 在RtAED中，EAD =45 所以AED等腰直角三角形，即AE=E

12、D。如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，過A，B，C分別作AB的垂線AD，BE，CF，使AD=BC，BE=AC，CF=AB。求證：AFD=BFE。證明：連接AE,BD。由于AD=BC，BE=AC，CF=AB易證ABDBCF，ABEACF可得BD=BF, ABD=CFB，即DBF=ABD+CBF=CFB+CBF=90同理可得AE=AF,且EAF=90所以AEF，BDF都是等腰直角三角形.AFD=AFEDFE=45DFEBFE=DFBDFE=45DFE 所以AFD=BFE【綜合運(yùn)用】如圖：在中，D為垂足，E是AB的中點(diǎn)，EFBC,交AC于點(diǎn)F, 求證：證明：連結(jié)DEEF平行于BC（已知）AFE=C（兩直線平

13、行，同位角相等）A=2C（已知）A=2AFE（等量代換）BDAC（已知）ABD為直角三角形E是AB的中點(diǎn)（已知）DE是ABD的中線（中線定義）AB=2DE（直角三角形斜邊的中線是斜邊的一 半）ADE為等腰三角形A=ADEADE=DEF+DFE（三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）A=DEF+DFE2DFE=DEF+DFE即DFE=DEFDE=DF（等角對等邊）所以DF=AB如圖，P為邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB，已知，求的度數(shù)。四邊形ABCD中，。求AD的長?！菊n后作業(yè)】1.已知一次函數(shù)的圖象如圖1所示，那么的取值范圍是（ A ）ABCD圖2圖22將直線y2x向右平移2個(gè)單位所得的直

14、線的解析式是（ C ）。A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x2) D、y2(x2)3.如圖2，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是 x2 OxyAB2OxyAB2圖3交于點(diǎn)，則該一次函數(shù)的表達(dá)式為（ B ）ABCD5.一農(nóng)民帶了若干自產(chǎn)的土豆進(jìn)城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場價(jià)售出一些后，又降價(jià)出售，售出土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)（含備用零錢）的關(guān)系如圖所示，結(jié)合圖象回答農(nóng)民自帶的零錢是5元；降價(jià)前他每千克土豆的出售的價(jià)格是 2 元；降價(jià)后他按每千克0.4元將剩余土豆售完，這時(shí)他手中的錢（含備用零錢）是26元，那么他一共帶了45千克土豆。已知不論取何值，一次函數(shù)的圖像都過一定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 答：一次函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（ C ）如圖，直線l1：與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線l2：與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且l1、l2交于點(diǎn)P. 求四邊形PCOB的面積. 解：中，令令 ，0），（0，2） 中，令，令 （0，）， 聯(lián)立， 如圖，在中，AB=AC，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于F，求證：BF=2CF。在中，試說明是直角三角形。證明：過作平分交于，再過點(diǎn)作于，則垂直平分，又，所以，則，所以如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是EC的中點(diǎn)，求證：。如圖