阿波羅尼斯圓及其應用

1、阿 波 羅 尼 斯 圓 及 其 應 用數(shù)學理論“阿波羅尼斯圓”:在平面上給定兩點A,B ,設P點在同一平面上且滿足竺=人,PB當人0且人。1時，P點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓。（X = 1時P點的軌跡是線段AB的中垂線）阿波羅尼斯圓的證明及相關(guān)性質(zhì)定理：A,B為兩已知點，P,Q分別為線段AB的定比為X0豐1）的內(nèi)外分點，則證（以X 1為例）設 AB = a,理=AQ = 證（以X 1為例）設 AB = a,理=AQ = xPB QBXaaAP = 一-, PB = 一-, AQ =1 + X1 + X 乂由相交弦定理及勾股定理知于是 BC = , AC = W,變=X.Vl2 - 1、X

2、21 BC而P,Q,C同時在到A,B兩點距離之比等于X的曲線（圓）上，不共線的三點所確 定的圓是唯一的，因此，圓0上任意一點到A,B兩點的距離之比恒為X.性質(zhì)1.當X 1時，點B在圓0內(nèi)，點A在圓0夕卜;當0 X 0)為兩定點，動點P到點A的距離與到點B的距離之比為定值a (a 0),求點P的軌跡.(05江蘇)圓O1和圓O2的半徑都是1，。02= 4,過動點P分別作圓O1和圓O2 的切線PM,PN(M,N分別為切點)，使得PM = 42PN，試建立適當坐標系，求 動點P的軌跡方程.(06四川)已知兩定點A(-2,0),B(1,0).如果動點P滿足|PA| = 2|PB|，則點P的 軌跡所圍成的

3、圖形的面積是.(08江蘇)滿足條件AB = 2, AC = 42BC的AABC面積的最大值是.在等腰AABC中，AB = AC,BD是腰AC上的中線，且BD = *，則AABC面積 的最大值是.已知A(-2,0),P是圓C :(x + 4)2 + y2 = 16上任意一點，問在平面上是否存在一點B，使得竺=!?若存在，求出點B坐標；若不存在，說明理由.PB 2變式：已知圓C :(x + 4)2 + y2 = 16，問在x軸上是否存在點A和點B，使得對于 圓C上任意一點P，都有竺=?若存在，求出A,B坐標；若不存在，說明理由.PB 2在 AABC 中，AB = 2AC, AD 是 /A 的平分線

4、，且 AD = kAC.求k的取值范圍；若AABC的面積為1，求k為何值時，BC最短.問題在同一平面內(nèi)，已知兩定點A (-2,0 ), B(4,0 )，若動點P滿足竺=!,則點P PB 2的軌跡方程是.其軌跡為.變式如果將題目中“竺=上”改為“竺=& 0且人。1)”呢？PB 2PB8、已知A(2,0),B(4,0)，P是圓C: (x + 4)2 + y2 = 16上任意一點，問是否存在這樣的常數(shù)數(shù)，使得* ?若存在求出常數(shù)數(shù)的值；若不存在請說明理 由 對以上問題的反思：對于圓m + y2 = r2上任意一點P,和定點A(%,0),是否在x 軸上存在不同于A點的點B，使得刎為常數(shù)人？I PA I

5、 變式一求證：對于圓x2 + y2 = r2上任意一點P和定點A(x0,0) (x0。0,x0。土r)， 在x軸上存在唯點B，使得-PB-為常數(shù)人，且B(M ,0)，X = TOC o 1-5 h z I PA IxI x I變式：求證：對于圓x2 + y2 = r2上任意一點P，在x軸上存在不同的兩點A(x ,0), B(x ,0) (x 0, x 0)，使得 IPBI 為常數(shù) X 號 1)，且 x =r, x = X2x1212I PA I1 X 21變式：求證：對于圓x2 + y2 = r2上任意一點P和定點A(0, y(y0。0, y0 r)， 在y軸上存在唯點B，使得IPBI為常數(shù)X，且B(0,巳)，X =I PA Iy I y I HYPERLINK l