概率論基礎第一章課件

1、概率論概率論第一章 隨機事件與概率1.1 隨機現象與統(tǒng)計規(guī)律性1.2 隨機事件關系與運算1.3 古典概率1.4 幾何概率1.5 概率空間1.6 小結與綜合練習第一章 隨機事件與概率1.1 隨機現象與統(tǒng)計規(guī)律性1.1 隨機現象與統(tǒng)計規(guī)律性 隨機現象 Def 在一定條件下，因不可控因素而導致實驗或觀察結果不唯一的現象成為隨機現象。客觀世界存在大量的隨機現象。Def 為研究隨機現象而進行的觀察和實驗統(tǒng)稱為隨機試驗。隨機試驗必具備以下特點：（1）至少有兩個以上可能結果；（2）試驗的所有可能結果由試驗條件明確已知，但每次具體試驗之前不可預測本次試驗將要出現的結果；（3）試驗可在相同條件下多次重復。 隨機

2、試驗1.1 隨機現象與統(tǒng)計規(guī)律性 隨機現象 Def 在一定條件下面是一些隨機試驗的例子 例1.1 某人拋擲一枚骰子，觀察朝上面的點數。 例1.2 從裝有7個白球和3個黑球的盒子中隨意取出兩個球， 觀察其顏色。 例1.3 從某廠所生產的10000件產品中隨意抽取53件產品， 考察其中次品的件數 例1.4 從某校中隨意抽選一名學生，測量其身高。下面是一些隨機試驗的例子 隨機事件Def 隨機試驗的結果稱為隨機事件，簡稱事件。隨機事件在具體一次試驗中有可能出現也有可能不出現，它具有不可預見性。如果隨機事件在一次具體試驗中出現了，就稱該隨機事件發(fā)生了。一般用大寫的英文字母來表示隨機事件，如A,B,C。

3、隨機事件Def 隨機試驗的結果稱為隨機事件，簡稱事件。隨隨機事件的分類基本事件復合事件特殊事件隨機試驗不可再分的結果用隨機試驗若干個基本事件共同方可表達的結果必然事件和不可能事件隨機事件的分類基本事件復合事件特殊事件隨機試驗不可再分的結果 樣本空間Def 隨機試驗基本事件的全體所形成的集合稱為該隨機試驗的樣本空間，一般用字母 表示。樣本空間是由所要研究的問題及其該問題所涉及的隨機試驗確定的，它是研討問題的論域。 樣本空間Def 隨機試驗基本事件的全體所形成的集合稱為例如：例1.1的樣本空間，其中表示朝上面的點數為1，表示朝上面的點數為2，其余記號類似。例1.2的樣本空間，其中個數”，那么，樣本

4、空間 ，其中“0”表示所抽球中沒有白球， “1”表示所抽球中有1個白球，其余記號類似。例1.3的樣本空間，其中“0”表示所抽產品中沒有次品，其余記號類似。例1.4的樣本空間，其中表示所抽到學生的身高。表示白球，表示黑球。如果將問題變?yōu)椤坝^察白球出現的例如：例1.1的樣本空間，其中表示朝上面的點數為1，表示朝上顯然，頻率具有下列性質： 頻率穩(wěn)定性Def 設將試驗 進行了 次，其中 次發(fā)生了事件 ，則稱 為事件 發(fā)生的頻率，記為 ，即顯然，頻率具有下列性質： 頻率穩(wěn)定性Def 設將試驗 Def 隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，但當試驗次數不斷增大時，它發(fā)生的頻率就趨于穩(wěn)定，這種規(guī)律稱為隨機

5、事件的統(tǒng)計規(guī)律性。在歷史上，為了證明隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性，人們進行了許多試驗。最著名的有擲硬幣試驗、高爾頓板實驗。擲硬幣試驗的歷史資料表試 驗 者拋 擲 次 數出現正面的次數出現正面的頻率德.摩根204810610.5180蒲 豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維 尼30000149940.4998Def 隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，但當試驗次數 隨機事件概率從前面的討論我們不難看出，同一隨機試驗的不同事件由于其內在的差別，在具體的試驗過程中，它們各自發(fā)生的機會是不定一樣的。為了刻畫這種差異需要有一個指標，這個指

6、標就是概率。所謂概率是用來刻畫隨機事件在一次試驗中發(fā)生機會大小的一個數量指標。 隨機事件概率從前面的討論我們不難看出，同一隨機試驗的不同 概率的統(tǒng)計確定法 Def 在相同條件下重復進行的 次試驗中, 事件 發(fā)生的頻率 穩(wěn)定地在某一常數 附近擺動, 且隨 越大擺動幅度越小, 則稱 為事件 的概率, 記作 。 概率的統(tǒng)計定義對試驗沒有特殊限制，適用于所有隨機試驗。優(yōu)點是易于理解，在試驗次數足夠大時能給出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。 概率的統(tǒng)計確定法確定該批小麥種子的發(fā)芽率。種子粒數2 5 10 70 130 310 700 1500 2000發(fā)芽粒數2 4 9 60 116 282

7、639 1339 1806發(fā)芽率1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 例1.5 為掌握一批小麥種子的發(fā)芽率，從這批小麥種子中抽取若干種子做發(fā)芽試驗，統(tǒng)計結果如下表所示。試由此資料確定該批小麥種子的發(fā)芽率。種子粒數2 5 10 解：從表內的資料可看出，隨著做試驗種子粒數的增加，種子發(fā)芽的頻率在0.9附近擺動，參與發(fā)芽試驗的種子粒數愈大附近擺動愈小，所以，這批小麥種子的發(fā)芽率大概應在0.9這個數值上。 注意：概率的統(tǒng)計定義只給出了確定事件概率近似方法。請大家思考概率的統(tǒng)計定義與下列極限過程有何區(qū)別？也即概率的統(tǒng)計定義能否理解為下式成立：解：從表

8、內的資料可看出，隨著做試驗種子粒數的增加，種子發(fā)芽的顯然，樣本空間是一基本事件為元素的集合，復合事件是樣本空間的真子集，必然事件就是樣本空間，不可能事件是樣本空間的空子集；如果再規(guī)定基本事件就是一個單點集，那么，隨機事件就可以用集合來表示，但事件與集合又有所不同。所謂一個事件發(fā)生時指表達該事件的集合中的一個元素在試驗中出現了。1.2 隨機事件關系與運算顯然，樣本空間是一基本事件為元素的集合，復合事件是樣本空間的 事件的包含與等價（相等） Def 設 A,B 為任意兩個事件，若事件 發(fā)生必導致事件 發(fā)生，則稱事件 包含事件 ，記為 。 例如： 在例1.1中，令 表示擲得點數能被3整除； 表示擲得

9、的點數大于2。則 。 如果有 成立，也稱 為 的子事件。1.2 隨機事件關系與運算 事件的包含與等價（相等）1.2 隨機事件關系與運算 Def 設 為任意兩個事件，若 且 ，則稱事件 與 等價或相等。記為 。 例如： 在例1.1中，令 表示擲得點數能被3整除； 表示擲得的點數為3或6，則 。 Def 設 為任意兩個事件，若 事件的互斥與對立 Def 設 為任意兩個事件，若 與 在一次試驗中不能同時發(fā)生，則稱事件 與 互斥。若 與 互斥，且在一次試驗中必有一個發(fā)生，則稱 與 互為對立事件。記 的對立事件為例如： 在例1.1中，令 表示擲得點數能被3整除； 表示擲得的點數小于3，則 與 互斥。 在

10、例1.2中，令 表示抽出的兩球中至少有一球為白色球， 表示抽出的兩球全為黑球，則 與 互為對立事件。 顯然，事件 與 互為對立事件，則它們一定互斥。 事件的互斥與對立 互斥事件完備群 Def 設 為一組事件，如果它們之中任意兩個之間互斥，每次試驗中必有它們其中一個發(fā)生，則稱這組事件 形成互斥事件完備群 。 例如： 在例1.4中，令則 形成一個互斥事件完備群，如圖1.1所示。 圖1.1 互斥事件完備群圖1.1顯然，互為對立的兩個事件一定形成一個互斥事件完備群。因此，互斥事件完備群是對立事件概念的推廣?；コ馐录陚淙盒纬蓸颖究臻g的一個分割。后面將要遇到的概率計算中，利用互斥事件完備群在一些情況下可

11、以化簡復雜事件概率計算。顯然，互為對立的兩個事件一定形成一個互斥事件完備群。因此，互事件的和運算 Def 設 為任意兩個事件，則稱“事件 與事件 至少一個發(fā)生”這樣的試驗結果為事件 與事件 的和事件；這樣的運算稱為事件和運算。記 與 的和事件為 。 從運算角度來看，事件 與 的和事件就是將兩事件中所包含的不同的基本事件全體拿來形成一個集合所表達的事件，如圖1.2所示。AB圖1.2BA+事件的和運算圖1.2BA+從定義不難看出事件的和運算具有下列性質 （1） ； （2）若 ，則 ； （3） 。 事件和運算概念的推廣： 設 為一個事件序列，則稱“事件序列 中至少有一個事件發(fā)生” 這樣的試驗結果為事

12、件序列 中事件的和事件。記為 。從定義不難看出事件的和運算具有下列性質 事件的積運算 Def 設 為任意兩個事件，則稱“事件 與事件 兩個同時發(fā)生”這樣的試驗結果為事件 與事件 的積事件；這樣的運算稱為事件積運算。記 與 的積事件為 。 從運算角度來看，事件 與 的積事件就是由兩個事件所包含的公共基本事件全體構成的集合所表達的事件，如圖1.3所示。 從定義不難看出事件的積運算具有下列性質 （1） ； （2）若 ，則 ； （3） 。 事件積運算概念的推廣： 設 為一個事件序列，則稱“事件序列 中每個事件同時發(fā)生” 這樣的試驗結果為事件序列 中事件的積事件，記為 。A B圖1.3 事件的積運算圖1

13、.3 事件的差運算 Def 設 為任意兩個事件，則稱“事件 發(fā)生，而事件 不發(fā)生”這樣的試驗結果為事件 與事件 的差事件；這樣的運算稱為事件差運算。記 與 的差事件為 。 從運算角度來看，事件 與 的差事件就是由事件 所包含的全體基本事件中去掉其與事件 所共有的基本事件形成的集合表達的事件，如圖1.1所示。從定義不難看出事件的積運算具有下列性質 （1） ； （2）若 ，則 。 事件的運算律 交換律 結合律 事件的差運算 分配律 對偶律（De Morgan律） 這些運算律讀可以推廣到有限個事件的情況，對偶律還可以推廣到無窮多個事件的情況。 討論事件之間關系和事件運算的目的是為了用簡單事件表示復雜

14、事件。熟練的應用事件的關系和運算將復雜事件表達成為一些相對簡單事件的運算式是將來計算復雜事件概率基本手段。 例1.6 設 為某試驗的三個已知事件，試用它們表達下列事件“ 中恰有兩個事件發(fā)生 ”，“ 中都不發(fā)生”。 解: “ 中恰有兩個事件發(fā)生 ”為 “ 中都不發(fā)生”為 或 分配律 例1.7 設 為某試驗的三個已知事件， ，試求事件 的對立事件。 解: 由對偶律知 幾個重要概念的等價表達事件 對立事件組 為互斥事件完備群 例1.7 設 為某試驗的三個已知1.3 古典概率 在對一般隨機試驗進行討論之前，先討論最簡單的隨機試驗，這就是所謂的古典概率。古典概型只有有限個基本事件，且Def 若隨機試驗的

15、樣本空間每個基本事件在試驗中發(fā)生機會相等，則稱該隨機試驗為古典概型。 古典概型描述的是特殊的，相對較簡單的隨機現象。判斷一個隨機試驗是否為古典概型就是要看其基本結果數是否有限和各基本結果是否具有等可能性。 例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。1.3 古典概率 在對一般隨機試驗進行討論之前， 概率的古典定義 所以有所含結果數事件由于所有可能結果解：設“全部裝對”為事件 例1.7（匹配問題）某人寫了4封信和4個信封，現隨機地將信裝入信封中，求全部裝對的概率。 由此不難看出，對于古典概型概率計算問題就是確定確定樣本點計數問題，這就使得初等數學里的排列組合知識成為求解古典概型概率問題的常用

16、的工具。的概率為樣本點數為,事件A含有 個樣本點，則事件的任意事件，如果Def 設隨機試驗為古典概型，為 概率的古典定義 所以有所含結果數事件由于所有可思路 例1.8（組數問題）用 1, 2, 3, 4, 5 這 5 個數字構成三位數，試求“沒有相同數字的三位數的概率” ， “沒有相同數字的三位偶數的概率”。 百位十位個位 注意：該題第二問求解過程中，確定事件 所含結果數時，采用了先滿足特殊要求后滿足一般條件的辦法。 沒有相同數字的三位偶數的概率 沒有相同數字的三位數的概率于是 表示組成沒有相同數字的三位偶數。 表示組成沒有相同數字的三位數； 解：設思路 例1.8（組數問題）用 1, 2, 3

17、, 4, 5思路 例1.9 （抽簽問題）10個學生，以抽簽的方式分配 3 張音樂會入場券，抽取10張外觀形狀相同的紙簽，其中有3簽代表可得到入場券。求“第五個抽簽的學生抽到有入場券簽”的概率。第五個學生抽到入場券另外9個學生抽取剩下9張 請大家思考：某人獲得入場卷的概率與他抽簽的次序是否有關，為什么？所以有所含基本事件數 事件基本事件總數解：設表示第五個抽簽的學生抽到有入場券簽。思路 例1.9 （抽簽問題）10個學生，以抽簽的方式分配注意：生日問題，分房問題可以歸結為這類問題。，于是有所含基本結果數（2），于是有 （1）所含基本結果數，且各結果機會均等。顯然，所有可能基本結果數為小球各占一個紙

18、盒”。 表示“個盒內各有一個小球”；解：設表示“指定的小球各占一個紙盒的概率。 （2）（1）指定的個紙盒各有一個小球的概率； 中，試求解下列問題：小球隨意放入紙盒盒子，個小球（），欲將這個可容納任意個小球的紙例1.10 （占位問題）設現有注意：生日問題，分房問題可以歸結為這類問題。，于是有所含基本 重復抽取與不重復抽取在產品質量檢驗時，人們抽取產品的方式有兩種。重復抽取是指抽出一個產品檢驗完后，將其放回，再抽第二產品進行檢驗；而不重復抽取是指抽出的產品不再放回。這兩種抽取方式乞丐旅行知識有差異的。例題1.11設一批產品共有正品，先采用重復和不重復兩種抽取方式從中抽取件產品，問恰好又k件次品的概

19、率。 重復抽取與不重復抽取在產品質量檢驗時，人們抽取產品的方式這一概率式稱為二項分布這一概率式稱為超幾何分布注意：一般情況下，二項分布與超幾何分布有明顯的差別，但當產品數量很大，而抽取數量不大時，二項分布與超幾何分布差別幾乎可以忽略。這一概率式稱為二項分布這一概率式稱為超幾何分布注意：一般情況事實上，因為而事實上，因為而幾何概型 Def 設有一個可度量的區(qū)域 （直線上的區(qū)間、平面上的區(qū)域、空間的立體通稱），向區(qū)域 任意投一點，該點落于區(qū)域 內任意小區(qū)域里的可能性大小只與小區(qū)域度量的大小有關，而與小區(qū)域的位置形狀無關，這樣的隨機試驗稱為幾何概型，這時樣本空間 。 幾何概型如圖1.4所示，具有下列

20、特點：（1）有一個可度量的區(qū)域 ；（2）試驗 看成向 中隨機地投擲一點；（3）事件 就是所投擲的點落在 中的可度量圖形 中。 概率的幾何定義 Def 設 為幾何概型， 為其任意一個事件， 為 的度量， 為 的度量，則事件 的概率為G圖1.4A1.4 幾何概率幾何概型G圖1.4A1.4 幾何概率 例1.13 甲乙二人相約6:00-6:30在預定地點會面，規(guī)定先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離去。已知甲乙二人在6:00-6:30內任意時刻到達預定地點的機會是均等的。求甲乙二人能會面的概率。 解：設 表示甲乙二人能會面 甲乙二人到達預定地點時刻分別為 及 （分鐘）, 則 二人能會面 以6:00作

21、為原點建立坐標系，那么，該問題如圖1.5所示。 從而有30301010圖1.5 例1.13 甲乙二人相約6:00-6:30在預定地點會 例1.14 甲乙兩艘船欲?？客粋€碼頭，設兩艘船到達碼頭的時間互不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內是等可能的。如果兩艘船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時,試求在一晝夜內，任一艘船到達時，需要等待空出碼頭的概率。 解：設甲船到達碼頭的時刻為 ， ； 乙船到達碼頭的時刻為 ， ； 事件 表示任一船到達碼頭時需要等待空出碼頭 事件 發(fā)生 與 需滿足 如圖1.6所示，從而有即有xy2424y = x + 1y = x - 2圖1.6 例1.14 甲乙

22、兩艘船欲?？客粋€碼頭，設兩艘船到達碼例1.15(蒲豐投針問題)例1.15(蒲豐投針問題)概率論基礎第一章課件概率論基礎第一章課件概率論基礎第一章課件概率論基礎第一章課件事件域1.5 概率空間事件域1.5 概率空間概率論基礎第一章課件概率的公理化定義概率公理化定義刻畫了概率的本質，概率是一個函數，這個函數的作用是能度量隨機事件再一次試驗中出現機會的大小。它有點像我們熟悉的面積、體積，即所謂的測度。概率的公理化定義概率公理化定義刻畫了概率的本質，概率是一個 概率的公理化定義規(guī)定了概率的基本性質，由這些基本性質可以推導出下面一些概率的常用性質。有效的利用概率的這些性質可以簡化復雜事件的概率計算。 概率的性質 1. 證明：因為 且任意兩項互斥， 由公理3便有 由于概率是數，顯然有 該性質告訴人們：不可能事件的概率為零。但 可不能推出 是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上隨意砍，現考察刀片恰好砍到直尺的中點這一事件，顯然這事件是可能發(fā)生的，但由幾何概型容易看出其概率為0。 概率的公理化定義規(guī)定了概率的基本性質，由這些基 2. 有限可加性 設 兩兩互斥，則有 這個性質稱為概率的有限可加性，證明類似于性質1。 3. 單調性 若 ，