差分方程穩(wěn)定性

1、關(guān)于差分方程穩(wěn)定性第1頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三1.差分方程模型 對(duì)于k階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (1-1)若有xn = x (n), 滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱xn = x (n)是差分方程(1-1)的解, 包含個(gè)任意常數(shù)的解稱為(1-1)的通解, x0, x1, , xk-1為已知時(shí)稱為(1-1)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(1-1)的特解. 若x0, x1, , xk-1已知, 則形如xn+k = g(n; xn, xn+1, ,

2、xn+k-1 )的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).第2頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三 若有常數(shù)a是差分方程(1-1)的解, 即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱 a是差分方程(1-1)的平衡點(diǎn). 又對(duì)差分方程(1-1)的任意由初始條件確定的解 xn= x(n)都有xna (n), 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的. 一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b為常數(shù), 且a -1, 0)的通解為xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡點(diǎn), 由上式知, 當(dāng)且僅當(dāng)|a|1時(shí), b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)

3、. 第3頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三 二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中a, b, r為常數(shù). 當(dāng)r = 0時(shí), 它有一特解x* = 0； 當(dāng)r 0, 且a + b + 1 0時(shí), 它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形, x*是其平衡點(diǎn). 設(shè)其特征方程2 + a + b = 0的兩個(gè)根分別為 =1, =2. 第4頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三 當(dāng)1, 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 當(dāng)1, 2=是兩個(gè)相同實(shí)

4、根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n)n; 當(dāng)1, 2= (cos + i sin ) 是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí),二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 |i |1時(shí), 平衡點(diǎn)x*是穩(wěn)定的. 則第5頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三對(duì)于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x = f (x)解出. 為分析平衡點(diǎn)x*的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時(shí),上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

5、因此當(dāng)時(shí), x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)時(shí), x*是穩(wěn)定的；當(dāng)?shù)?頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三2. 建模實(shí)例：差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無(wú)關(guān))離散形式x(t) 某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量(人口)yk 某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)第7頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程 (1)的平衡點(diǎn)y*=N討論 x* 的穩(wěn)定性變量代換(

6、2)的平衡點(diǎn)第8頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三(1)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程 x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)(剛學(xué)過(guò)的):一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性第9頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三01的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性x* 穩(wěn)定x* 不穩(wěn)定另一平衡點(diǎn)為 x=0不穩(wěn)定第10頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三01/2101的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性第11頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三初

7、值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果b 3, xb=3.3, x兩個(gè)極限點(diǎn)b=3.45, x4個(gè)極限點(diǎn)b=3.55, x8個(gè)極限點(diǎn)0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.479

8、40.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第12頁(yè)，共15頁(yè)，2022年，5月20日，23點(diǎn)38分，星期三倍周期收斂x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點(diǎn)x*不穩(wěn)定，研究x1*, x2*的穩(wěn)定性第13頁(yè)，共15頁(yè)，