高中數學人教A版高中 函數的應用方程的根與函數的零點教學設計

1、方程的根和函數的零點（教學設計）四川省安岳中學 唐蘭一、教材分析方程的根與函數的零點是人教版A版必修1第三章第一節(jié)第一課時的內容，本節(jié)課是屬于基本初等函數第一部分的知識，在此之前，學生已經學習了指數函數，對數函數，冪函數及其基本性質，這為過渡到本節(jié)課的學習奠定了基礎。本節(jié)內容是對學生已經學習過的函數知識的延伸和拓展，又是后續(xù)學習運用二分法求解方程的近似解的基礎。它是整個高中數學教材體系中起著承上啟下作用的核心知識之一，地位至關重要。二、 教學目標知識與技能目標：理解函數零點的概念以及方程的根與函數的零點之間的關系，掌握函數零點存在的判定方法，能夠判斷函數零點的個數。過程與方法目標：通過對具體實

2、例的探究，歸納概括所發(fā)現的結論，體驗從特殊到一般的認知的過程和數形結合的思想方法。情感態(tài)度與價值觀目標：通過師生，生生之間的討論互動，學生提高合作交流的能力，在探索解決問題的過程中，體驗學習的成就感。認識到萬物之間的聯系與轉化，培養(yǎng)學生用聯系轉化的思想解決問題。三、教學重難點重點 函數零點的概念；函數零點的判別定理以及函數與方程的關系。難點 函數零點概念的理解 ，探究發(fā)現零點存在的條件。四、教學方法和手段教學方法：探究式教學（“啟發(fā)探究討論”的教學模式）教學手段：教學軟件PPT輔助教學。五、教學過程（一）新課導入1、判斷下列方程根的個數，并求出方程的解（1） （2） （3）2、分別作出（1）中

3、方程相對應的函數圖象，并完成下列表格：方程函數函數圖象方程的實數根函數的圖像與x軸的交點通過對以上兩個問題觀察與解答，請學生進一步思考：一元二次方程的根與對應的二次函數的圖象與x軸的交點有什么關系呢？根據學生的回答，引導學生得到以下結論：以上三個方程的根就是其對應的函數圖象與x軸交點的橫坐標。設計意圖：從學生所熟知的二次函數入手，使學生發(fā)現問題，這樣既訓練了學生的觀察和識圖能力，更重要的是使學生體會知識之間的相互聯系，也為后面繼續(xù)學習一元二次不等式奠定基礎。（二）、一般探索，得出結論這樣的結論對于特殊的一元二次方程及其相對應的函數是成立的，那么對于一般的一元二次方程及其相應的二次函數的圖象與x

4、軸的交點關系，上述結論是否成立？帶著這樣的問題，我將引導學生填寫下列表格。判別式 =0=00方程 的根函數圖象函數的圖象與 x 軸的交點觀察以上表格，師生共同探索，總結歸納出以下結論：一元二次方程的根就是其對應的二次函數的圖象與x軸的交點的橫坐標。經過以上探究，再將此結論推廣到更一般的函數:即方程的根，就是其所對應的函數的圖象與軸交點的橫坐標為進一步學習的需要，在此基礎上給出了本節(jié)課的重點內容：函數零點的定義;函數的零點：對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點。這里，我向學生強調：函數的零點不是點，是一個實數。通過以上探究分析，得出了本節(jié)課的第一個重要結論：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數

5、有零點【設計意圖】讓學生通過對“一元二次方程有實根所對應的二次函數與x軸有交點”的探討，并類比推出“一般方程 的根與對應的函數y=f(x)的圖象與x軸交點的關系”，培養(yǎng)學生的歸納推理能力，并有目的、有意識地滲透數形結合的思想方法。為了加深學生對零點概念的理解，突出本課的重點，實現教學目標我設計以下例題和習題，設計意圖：更能突出本節(jié)課的教學目的，讓學生覺得學習該內容有一定的用處，對于練習的設計，我想通過讓學生出錯和練習，理解零點這一個抽象的概念.強化對于函數零點的求法，對于三個等價條件的應用。借助這個練習，既鞏固檢測了學生對知識點的掌握情況，又引發(fā)學生認知沖突，引出本節(jié)課的重點，為新內容的教學作

6、好鋪墊。（三）、利用圖像，探究定理1、觀察二次函數的圖象并填空。觀察下面函數y=f(x)的圖象并填空在學生完成以上兩個問題后，我提出：“通過對以上兩個問題的探索你發(fā)現了什么結論? 在小組之間交流一下你們的成果?！?若f(a)f(b)0，則二次函數yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.從具體到一般，同時提出問題若去掉二次，對于一般函數是否也適用呢？打出三張圖形引出矛盾，激發(fā)學生的興趣，進而希望進一步探究?！驹O計意圖】進行合情推理，將圖形語言抽象成數學語言。培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力，體驗語言轉化的過程。學生歸納小結，教師具體梳理得出結論：零點存在定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的

7、一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根【設計意圖】通過1、2的探究讓學生動手實驗和討論，我對探究結果進行展示和點評，引導學生歸納總結函數零點存在的條件，體現“類比歸納”的思維過程，培養(yǎng)學生自主探究，合作交流的能力。（四）、例證辨析，熟悉定理 為了明確定理的條件和結論，讓學生思考下面4個辨析問題：（1）已知函數y=f(x)在區(qū)間a,b上圖象是連續(xù)的，且f(a)f(b)0，則 f(x)在區(qū)間(a,b)內有且僅有一個零點。 （ ）（2）已知函數y=f(x)在區(qū)間a,b上圖象是連續(xù)的，且f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內沒有零點。 （ ）（3）已知

8、函數y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內存在零點。 （ ）（4）已知函數y=f(x)在區(qū)間a,b上圖象是連續(xù)的，且存在零點，則f(a)f(b)0 。 （ ）【設計意圖】通過對問題（1）（2）（3）（4）的思考，進一步加深對定理的理解。培養(yǎng)學生縝密思考和分析問題的品質。例1 函數 f(x)=lnx+2x-6 在下列哪個區(qū)間有零點A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)改： 求函數f(x)lnx2x6的零點個數對于它用解方程的方法就無法求解,于是我們就要從另一個角度考慮函數的圖像，由于對于這個對數函數，由于進度的問題我們還沒有上到這個

9、地方，因此我們就以此題為例，利用函數的圖像解決零點的問題。對于我們未知函數的圖像，我們往往采用列表，描點，連線的手段，以小組合作的方式，探求關于該函數的圖像。學生展示圖像，進一步引出問題，這樣的圖形是不是非常的精確了？于是借用計算機的作圖工具向學生展示該函數的圖像,讓學生對函數的零點判斷形成更加直觀的認識，從而說明與X軸的焦點只有一個,所以零點一個,并且可以采用計算機手段找出零點.從另一個角度引導學生,直接利用方程求解,但是具有局限性,不是所有的方程都可以,舉出教材的例子.還可采用分別作出兩個函數的圖像,尋找函數焦點即可.體現數學結合的思想,及轉換的思想.練習1：已知函數的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：12345613613615552-3921088-52488-232064函數在那幾個區(qū)間內有零點？函數在(1,6)上有多少個零點？練習2：判斷函數f(x)=ex-1+ 4x-4零點的個數.【設計意圖】通過練習，使學生初步運用定理來解決“找出函數零點所在區(qū)間”這一類問題，加深對定理的理解，再次突出了本節(jié)課“函數零點存在性的判斷”的重點,幫助學生進一步落實基本知識，提高基本能力（五）、反思小結，培養(yǎng)能力1你通過本節(jié)課的學習，有什么收獲？（1）一個概念：函數零點；（2）一個定理：零點存在性定理；（3