【八年級(jí)數(shù)學(xué)】勾股定理的逆定理提高-教師講義

1、中 正 教 育 教 師 輔 導(dǎo) 講 義年 級(jí)： 八年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課程主題 勾股定理的逆定理 提高授課類型T 課本同步C 專題輔導(dǎo)T 應(yīng)用能力提升授課日期時(shí)段年 月 日 段（ ：00- ：00）學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2. 能運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股數(shù)的含義；4. 通過(guò)探索直角三角形的判定條件的過(guò)程，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和邏輯推理能力.教學(xué)內(nèi)容 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2. 能運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形；3. 理解勾

2、股數(shù)的含義；4. 通過(guò)探索直角三角形的判定條件的過(guò)程，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和邏輯推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則ABC是C90的直角三角形；若，則ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、勾股數(shù)滿足不

3、定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)； （2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)； （3） （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)； 類型一、勾股定理的逆定理1、判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形（1）7，24，25；（2），1，；（3），()；【思路點(diǎn)撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運(yùn)用勾

4、股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長(zhǎng)線段的平方若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形解：（1） ， 由線段組成的三角形是直角三角形 （2） ， 由線段組成的三角形不是直角三角形 （3） ， ， 由線段組成的三角形是直角三角形【總結(jié)升華】解此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，即首先確定最大邊，然后驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形舉一反三：【變式】一個(gè)三角形的三邊之比是3:4:5 則這個(gè)三角形三邊上的高之比是（ A ）A20:15:12B3:4:5C5:4:3D10:8:2提示：這個(gè)三角形是直角三角形，三邊上的高之比

5、為4:3：，即20:15:12.2、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB3，BC4，CD12，AD13，B90，求四邊形ABCD的面積解：連接AC，在ABC中，因?yàn)锽90，AB3，BC4，所以，所以AC5，在ACD中，AD13，DC12，AC5，所以，即所以ACD是直角三角形，且ACD90所以【總結(jié)升華】有關(guān)四邊形的問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解由AB3，BC4，B90，應(yīng)想到連接AC，則在RtABC中即可求出ABC的面積，也可求出線段AC的長(zhǎng)所以在ACD中，已知AC，AD，CD三邊長(zhǎng)，判斷這個(gè)三角形的形狀，進(jìn)而求得這個(gè)三角形的面積而判斷ACD的形狀，常考慮能否用勾股定理的逆定理來(lái)判斷是否是直角

6、三角形類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用3、已知：為的三邊且滿足，試判斷的形狀.解：，ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】此類問(wèn)題中要判斷的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把題目中已知的條件等式進(jìn)行變形，從而得到三角形的三邊關(guān)系.對(duì)條件等式進(jìn)行變形常用的方法有配方法，因式分解法等.【變式】請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀解：a2c2b2c2=a4b4， 第一步c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）， 第二步c2=a2+b2， 第三步ABC為直角三角形 第四步問(wèn)：（1）在上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤：_；（2）錯(cuò)誤的原

7、因是：_；（3）本題正確的結(jié)論是：_解：（1）第三步；（2）方程兩邊同時(shí)除以（a2b2）時(shí)，沒(méi)有考慮（a2b2）的值有可能是0；（3）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2或a2b2=0a2b2=0a+b=0或ab=0a+b0c2=a2+b2或ab=0c2=a2+b2或a=b該三角形是直角三角形或等腰三角形4、“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？【思路點(diǎn)撥】我們可以根據(jù)題意畫出如圖所示

8、的圖形，可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了解：根據(jù)題意可畫出上圖，PQ161.524，PR121.518，QR30，在PQR中， PQR是直角三角形且RPQ90又 “遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，可知QPN45， RPN45由此可知“海天”號(hào)沿西北方向航行也可沿東南方向航行【總結(jié)升華】根據(jù)勾股定理的逆定理，可判斷一個(gè)角是不是90，這里需注意與東北方向成90角的有兩個(gè)方向，即西北方向或東南方向 一選擇題1下列幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的一組是（ ）A14，48,5 B-15,36,39 C21,45,51 D8,15,172 下列三角形中，不是直角三角形的

9、是（ ）A三個(gè)內(nèi)角之比為561 B 一邊上的中線等于這一邊的一半C三邊之長(zhǎng)為20、21、29 D 三邊之比為15 : 2 : 3 3 已知ABC三邊長(zhǎng)分別為2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，（n為正整數(shù)），則ABC為（）A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D鈍角三角形4 有下面的判斷：ABC中，a2+b2c2，則ABC不是直角三角形ABC是直角三角形，C=90，則a2+b2=c2若ABC中，a2b2=c2，則ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，則（a+b）（ab）=c2以上判斷正確的有（）A4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)5五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)

10、直角三角形，其中正確的是（ ）6 為直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說(shuō)法：能組成一個(gè)三角形 能組成直角三角形能組成直角三角形 三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為3：4:5能組成一個(gè)三角形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4二填空題7若ABC中，則B_8如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的ABC是_三角形9若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、8(其中為正整數(shù))，則以、為邊的三角形的面積為_(kāi)10ABC的兩邊分別為5，12，另一邊為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，則應(yīng)為_(kāi)，此三角形為_(kāi)11有兩根木條，長(zhǎng)分別為60和80，現(xiàn)再截一根木條做一個(gè)鈍角三角形，則第三根木條（鈍角所對(duì)的邊）長(zhǎng)度的取

11、值范圍_12 如果線段能組成一個(gè)直角三角形，那么_組成直角三角形(填“能”或“不能”)三解答題13如圖，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)ACb，BCa，ABc，CDh求證：（1）a+bc+h；（2）以a+b、h、c+h為邊的三角形是直角三角形14在RtABC中，C=90，A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c（1）填表：邊a、b、c三角形的面積與周長(zhǎng)的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a+bc=m，則猜想=（并證明此結(jié)論）15 我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊（1）

12、寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱正方形、長(zhǎng)方形、直角梯形（任選兩個(gè)均可）；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請(qǐng)你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA，OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖2，將ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60，得到DBE，連接AD，DC，DCB=30度求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形【答案與解析】一選擇題1【答案】D【解析】判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)時(shí)，應(yīng)先判斷他們是否都是正整數(shù)，在驗(yàn)證他們平方間的關(guān)系，所以只有D項(xiàng)滿足2【答案】D；【解析】D選項(xiàng)不滿足勾股定理的逆定理3【答案】

13、A；【解析】由2n2+2n+12n2+2n，且2n2+2n+12n+1，得到2n2+2n+1為最長(zhǎng)的邊，（2n+1）2+（2n2+2n）2=1+4n+8n2+8n3+4n4，（2n2+2n+1）2=1+4n+8n2+8n3+4n4（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2ABC為直角三角形4【答案】C【解析】c不一定是斜邊，故錯(cuò)誤；若ABC是直角三角形，c不是斜邊，則（a+b）（ab）c2，故錯(cuò)誤5【答案】C；【解析】6【答案】B；【解析】因?yàn)?，兩邊之和等于第三邊，故不能組成一個(gè)三角形，錯(cuò)誤；因?yàn)椋杂忠驗(yàn)榈脙蛇呁?，得正確；因?yàn)椋哉_，360=150，最大角并不是90

14、，所以錯(cuò)誤 二填空題7【答案】90； 【解析】由題意，所以B=908【答案】直角；【解析】=13，=52，=65，所以9【答案】24；【解析】79，8 10【答案】13；直角三角形；【解析】71711【答案】100140；【解析】因?yàn)?0，80,100構(gòu)成直角三角形，則鈍角三角形的最長(zhǎng)邊應(yīng)該大于100，再根據(jù)兩邊之和大于第三邊，所以60+80=14012【答案】能；【解析】設(shè)為斜邊，則，兩邊同乘以，得，即 三解答題13解：（1）a2+b2=c2且ab=ch（ab）2（ch）2h20 （ab）2（ch）2ab0，ch0abch（2） 又ACB=90，CDAB以a+b，c+h，h為邊的三角形是直角三角形14（1）解：S=34=6，L=3+4+5=12， =，同理可得其他兩空分別