(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第60講《n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布》（講）（解析版）

1、第60講 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)eq f(PAB,PA)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)eq f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)P(AB)

2、P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq xto(B)，eq xto(A)與B，eq xto(A)與eq xto(B)也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Ceq oal(k,n)pk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記

3、為XB(n，p)，并稱p為成功概率題型歸納題型1 條件概率【例1-1】(1)(2019長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為()A0.75B0.6C0.52 D0.48(2)(2020合肥模擬)將三顆骰子各擲一次，記事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)_，P(B|A)_.【解析】(1)設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞為事件A，使用到2年時(shí)還未損壞為事件B，則由題意知P(AB)0.6，P(A)0.8，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為

4、P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(0.6,0.8)0.75，故選A.(2)P(A|B)的含義是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的條件下，“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”有66655591種情況，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)，且三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”共有Ceq oal(1,3)5460種情況，所以P(A|B)eq f(60,91).P(B|A)的含義是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率，因?yàn)椤叭齻€(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”有654120種情況，所以P(B|A)eq f(60,120)eq f(1

5、,2).【答案】(1)A(2)eq f(60,91)eq f(1,2)【跟蹤訓(xùn)練1-1】(2019石家莊摸底)某種電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq f(1,5)，則開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為_【解析】設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“開關(guān)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則“開關(guān)兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈”為事件AB，“開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B|A，由題意得P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(2,5).【答案】eq f

6、(2,5)【跟蹤訓(xùn)練1-2】現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地一次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為_【解析】法一：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(f(32,Aoal(2,5),f(3,5)eq f(1,2).法二：在第1次抽到理科題的條件下，還有2道理科題和2道文科題，故在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為eq f(1,2).【答案】eq f(1,2)【名師指導(dǎo)】條件概率的3種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)eq f(PAB,PA)求P(B|A

7、)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)eq f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡題型2 相互獨(dú)立事件的概率【例2-1】(2019全國卷)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束(1)求P

8、(X2)；(2)求事件“X4且甲獲勝”的概率【解】(1)X2就是某局雙方1010平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲獲勝，就是某局雙方1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.【跟蹤訓(xùn)練2-1】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq f(1,2)，eq f(1,3)，eq f(1,4).(1)設(shè)X表

9、示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率【解】 (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，則P(X0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,4)，P(X1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,3)eq

10、blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,4)eq f(11,24)，P(X2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq f(1,4)，P(X3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,24).所以

11、隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq f(1,4)eq f(11,24)eq f(1,4)eq f(1,24)(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)eq f(1,4)eq f(11,24)eq f(11,24)eq f(1,4)eq f(11,48).所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為eq f(11,48).【名師指導(dǎo)】利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡單事件的和(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易

12、求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件(3)代入概率的積公式求解題型3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3-1】(2019天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq f(2,3).假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率【解】(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為eq f(2,3)，故XBeq

13、blc(rc)(avs4alco1(3，f(2,3)，從而P(Xk)Ceq oal(k,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)3k，k0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq f(1,27)eq f(2,9)eq f(4,9)eq f(8,27)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)3eq f(2,3)2.(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則YBeq blc(rc)(avs4alco1(3，f(2,3)，且MX3，Y1X2，Y0由題意知事件X3，Y1與X2，Y0互斥，且事件X3與Y1，事件

14、X2與Y0均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)eq f(8,27)eq f(2,9)eq f(4,9)eq f(1,27)eq f(20,243).【跟蹤訓(xùn)練3-1】(2019江西省五校協(xié)作體試題)食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對(duì)每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，蔬菜才能在該超市銷售已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為eq f(1,7)，第二輪檢測不合格的概率為eq f(1,8)，第三輪檢測合格的概率為eq f(8,9)，每輪檢測

15、只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互之間沒有影響(1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；(2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列【解】(1)記Ai(i1,2,3)分別為事件“第一、二、三輪檢測合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”由題設(shè)知P(A1)1eq f(1,7)eq f(6,7)，P(A2)1eq f(1,8)eq f(7,8)，P(A3)eq f(8,9)，所以P(A)1P(A1)P(A2)P(A3)1eq f(6,7)eq f(7,8)eq f(8,9)eq

16、 f(1,3).(2)設(shè)這4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為1 600,1 000,400，200，800，且P(X1 600)Ceq oal(4,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)0eq f(16,81)，P(X1 000)Ceq oal(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(32,81)，P(X400)Ceq oal(2,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq blc(rc)(av

17、s4alco1(f(1,3)2eq f(24,81)，P(X200)Ceq oal(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)3eq f(8,81)，P(X800)Ceq oal(0,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)4eq f(1,81).故X的分布列為X1 6001 000400200800Peq f(16,81)eq f(32,81)eq f(24,81)eq f(8,81)eq f(1,81)【跟蹤訓(xùn)練3-2】(2019河北省九校第

18、二次聯(lián)考)已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為eq f(1,3)，某植物研究所分三個(gè)小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次試驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)第二小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對(duì)值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)第三小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率【解】(1)該小組恰有兩次失敗的概率PCeq oal(2,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)42eq f(24,81)eq f(8,27).(2)由題意可知X的取值集合為0,2,4，則P(X0)Ceq oal(2,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)42eq f(24,81)eq f(8,27)，P(X2)Ceq oal(1,4)eq blc(rc)(avs4a