第六部分三角函數(shù)-反三角函數(shù)(教案)

1、第六部分：三角函數(shù)反三角函數(shù)(教課方案)第六部分：三角函數(shù)反三角函數(shù)(教課方案)第六部分：三角函數(shù)反三角函數(shù)(教課方案)精選文檔課課型復(fù)習(xí)課課時3反三角函數(shù)簡單三角方程題1、同學(xué)們能夠利用已有的三角函數(shù)和反函數(shù)知識理解反正弦函數(shù)；從函數(shù)的角度去理解反正弦函數(shù)的定義域、值域，利用反函數(shù)的性質(zhì)獲得反正弦函數(shù)的圖像進而進一步研究反正弦函數(shù)的性質(zhì)；理解符號arcsin的含義，并能正確地表示角；教2、經(jīng)過提出問題、分析問題、解決問題、深入問題學(xué)生能夠培育察看、概括、深入的能力；學(xué)3、學(xué)生能夠提高類比的數(shù)學(xué)思想，培育學(xué)生思想的謹(jǐn)慎性，經(jīng)過層層設(shè)問的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興目趣。標(biāo)A(保底)B（標(biāo)準(zhǔn)）C(培優(yōu))

2、解決相應(yīng)反三角函數(shù)綜掌握反三角函數(shù)圖像，及性質(zhì)掌握反三角函數(shù)恒等式合問題講課要點反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系與差別講課難點教材分析教材分析學(xué)反三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等式反三角函數(shù)的要點是見解，要點是反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系與差別。內(nèi)容上，自然是定義和函數(shù)性質(zhì)、圖象；講課方法上，重視重申類比和比較。其他，函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系，是本節(jié)內(nèi)容中的一個難點，同時波及三角函數(shù)的內(nèi)容，是高中學(xué)習(xí)不能夠或缺的部分。情同學(xué)們在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)后，會有一些固有思想。很難一下接受反三角函數(shù)的局分部性。這樣就必然復(fù)習(xí)一下反函數(shù)的意義及圖像。析考點1、用反三角表示角度；2、反三角函數(shù)圖像及性質(zhì)的直策應(yīng)用

3、分析教學(xué)設(shè)計可能出現(xiàn)講課內(nèi)容設(shè)計意的問題與圖對策.精選文檔【知識回首】見后附表一【典型例題】例1求以下反三角函數(shù)的值（1）arcsin3（2）arccos2（3）arctan3223【分析】解：（1）.（2）3.（3）.346例2用反三角函數(shù)表示以下各式中得x（1）3（2）22452教（3）tanx3,x,（4）sinx1x,3222232學(xué)（5）cosx1,x,23過【分析】解：（1）xarccos3arccos3.（2）xarcsin2.445（3）xarctan3arctan3.（4）xarcsin1.程223（5）xarccos1.3例3化簡以下各式（1）arcsin(sin10)（2

4、）arctan(tan10)【分析】解：（1）Qsin10sin(310)，且有3102,.2arcsin(sin10)arcsinsin(310)310.（2）Qtan10tan(103)，且有103,.22arctan(tan10)arctantan(103)103.例4求函數(shù)f(x)lgarccosx2x的定義域與值域84第一我們回首一下，什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？我們學(xué)習(xí)過反正弦函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=sinx，xR，不存在反函數(shù)；但在,2存在反函數(shù).對于特別值的反正弦函數(shù)值的辦理，利用恒等式理解是一種自己認(rèn)為較為機械的方法；但不知能否適合于初學(xué)者，有待討論?？赡苤苯幼屗麄兏杏X概會來得更

5、簡單些吧.精選文檔【分析】解：Qarccosx2x0.1x2x1.解上述不等式，8484得4x2.f(x)lgarccosx2x的定義域為(4,2).84x2x1(x22x11(x211Q481)81)88880arccosx2xarccos1.848所以函數(shù)f(x)lgarccosx2x的值域為(,lgarccos1.848例5判斷以下函數(shù)的奇偶性（1）ysin(arctanx),xR（2）yarccosx,x1,12（3）yarccos(cosx),xR【分析】解：（1）sinarctan(x)sin(arctanx)sin(arctanx).所以ysin(arctanx)是奇函數(shù)。（2）

6、arccos(x)arccosxarccosx(arccosx).2222所以yarccosx是奇函數(shù)。2（3）arccoscos(x)arccos(cosx).所以yarccos(cosx)是偶函數(shù)。例6已知arcsinxarcsin(1x).求x的取值范圍【分析】解：由于反正弦函數(shù)是增函數(shù)，由反三角函數(shù)的定義域可得不等式組1x1,11x1,解不等式組，得1x1.x12x,例7計算：cos2arctan63.精選文檔【分析】設(shè)arctan6.則tan6且0.2cos7,sin42.77則cos22cos215,sin226.77原式cos2cossin2sin351263562.372721

7、4例8作出函數(shù)ycos(2arcsinx)圖像解：ycos(2arcsinx)12sin2(arcsinx)12x2,x1,1.圖像以以以下圖所示：例9對于t的方程2t2(2x3)t5x23x170有兩個不一樣樣的實數(shù)根，848求函數(shù)ysinx的反函數(shù)?！痉治觥?2x3)2425x23x170即，x26x80，848解得2x4.Qx,2，sin(x)sinxy.2ysinx(2x4)的反函數(shù)為yarcsinx,x(sin4,sin2).例10設(shè)方程x233x40的2個實根為x1、x2，若arctanx1，arctanx2，求的值。【分析】由x1x233,x1x24，知x10,x20.所以20,

8、0.2所以tan(tantanx1x23.)tan1x1x21tanQ0,2.3.精選文檔例11畫出函數(shù)yarcsin(sinx),x0,2的圖像?！痉治觥坷?2已知a、b是RtVABC的2條直角邊，c為斜邊，且arctan1arcsin1.求證：lgclgalgb.ab2【分析】解：由已知得arcsin12arcsin1.absin11arcsincosarcsin.ab111111a2b21.ab2，b2，即a2a2b2Qa,b是RtVABC得兩條邊，c為斜邊a2b2c2，所以c21，cab.a2b2lgclgalgb.例13求證：當(dāng)x1,1時，arccos(x)arccosx.【分析】解

9、：由0arccosx，得0arccosx,0arccos(x).Qcos(arccosx)cos(arccosx)xcosarccos(x)xarccos(x)arccosx.例14求函數(shù)yarccos(xa)arcsin(xa)的定義域，此中a0.【分析】解：由題意x應(yīng)知足1xa1，且1xa1，即1ax1a,（a0）1ax1a,當(dāng)a1時，不等式組的解集為，所以此時函數(shù)的定義域為.精選文檔當(dāng)a1時，不等式組的解集為0，所以此時函數(shù)的定義域為0.當(dāng)a1時，不等式組的解集為1a,1a，所以此時函數(shù)的定義域為1a,1a.例15函數(shù)f(x)arctanxarctan1x在定義域內(nèi)能否能為常數(shù)？并說明1

10、x原因?！痉治觥拷猓河珊瘮?shù)得表示式可知x1，所以f(x)的定義域為(,1)(1,).設(shè)arctanx，arctan1x，則有tanx，tan1x.1x1x1xtantanx于是有tan()1x1.1tantan1x1x1x（）當(dāng)x(,1)時，2,.424則有，依據(jù)得3.24（）當(dāng)x(1,1時，4,0,.42則有3，依據(jù)得.444（）當(dāng)(1,)時，4,2,2,0.則有42，依據(jù)得.4綜合可知，f(x)在定義域內(nèi)不是常數(shù)，而是定義域內(nèi)的分段函數(shù)，即1x3,x(,1)f(x)arctanx4.arctanx1,x(1,)4【課后練習(xí)】1、函數(shù)ysinx，x2，3的反函數(shù)為（）2.精選文檔A.yarc

11、sinx，x1，1B.yarcsinx，x1，1C.yarcsinx，x1，1D.yarcsinx，x1，1【分析】x32，需把角x轉(zhuǎn)變至主值區(qū)間。22x，又sin(x)sinxy22由反正弦函數(shù)定義，得xarcsinyxarcsiny，又由已知得1y1所求反函數(shù)為yarcsinx，x1，12、若一個直角三角形的三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，則其最小內(nèi)角為（）A.arccos51B.arcsin51221515C.arccos2D.arcsin2【分析】ABC中，設(shè)C90，設(shè)A為最小內(nèi)角，則依已知，得sinA，sin(90A)，sin90成等比數(shù)列。sin2(90A)sinAsin90即cos2A

12、sinA即sin2AsinA10，解得sinA152注意到|sinA|151sinA2A（0，）由反正弦函數(shù)定義，得Aarcsin51.22應(yīng)選（B）。3、函數(shù)yarccos(cosx)，x，2的圖象為（）22211-22-OO-O2O22222-1-2（C）（D）（A）（B）.精選文檔，x0，x2【分析】分析式可化簡為yarccos(cosx)，0 xx2，x，即y2圖像明顯為A，24、函數(shù)yarccos(sinx)，x(，2)的值域為（）33A.，5B.0，5C.3，2D.6，266633【分析】欲求函數(shù)值域，需先求usinx，x(，2)的值域。333x2，3sinx1，即3u1322而y

13、arccosu在1，1上為減函數(shù)arccos(3)arccosuarccos12即0y5，應(yīng)選（B）65、使arcsinxarccosx建立的x的取值范圍為（）A.0，2B.2，1C.1，2D.1，0222【分析】該題研究不等關(guān)系，故需利用函數(shù)的單一性進行轉(zhuǎn)變，又由于求x的取值范圍，故需把x從反三角函數(shù)式中分別出來，為此只要對arcsinx，arccosx同時取某一三角函數(shù)即可，不如采用正弦函數(shù)。若x0，則arcsinx，0，而arccosx，22此時arcsinxarccosx不建立，故x0若x0，則arcsinx0，arccosx0，22.精選文檔而ysinx在區(qū)間0，上為增函數(shù)2又arc

14、sinxarccosxsin(arcsinx)sin(arccosx)即x1x2，解不等式，得|x|22又0 x12x1，應(yīng)選（B）26、若0，則arcsincos()arccossin()（）22A.B.C.2D.22222【分析】這是三角函數(shù)的反三角運算，其方法是把角化到相應(yīng)的反三角函數(shù)的值域內(nèi)。arcsincos()arcsin(sin)arcsin(sin)2arccossin()arccos(sin)arccos(sin)arccoscos()(),222原式()()，應(yīng)選（A）22（）3（）11arccos)523分析：arcsin(3)表示，上的角，若設(shè)arcsin(3)，則易得

15、sin52253，原題即是求sin2的值，這就轉(zhuǎn)變?yōu)樵缫咽炝?xí)的三角求值問題，解決此類5問題的要點是能認(rèn)清三角式的含義及運算序次，利用換元思想轉(zhuǎn)變?yōu)槿乔笾?。【分析】?）設(shè)arcsin(3)，則sin355.精選文檔2，cos1sin2425sin22sincos2(3424)()2555即sin2arcsin(3)245251，則cos1（2）設(shè)arccos330，sin1cos22231cos1121arccos12tan23即tan2sin2223238、解方程4sin2x2sinxcosx1【分析】原方程化為3sin2x2sinxcosxcos2x0cosx0，方程兩邊同除以2，得32

16、x2tgx10cosxtgtgx1或tgx13xk或xkarctg1，（kZ）43例10.設(shè)x1，x2是方程x2xsin5cos40的二根，且arctanx1，5arctanx2，求的值。最簡單的三角方程.精選文檔方程方程的解集a1x|x2karcsina,kZsinxaa1x|xk1karcsina,kZa1x|x2karccosa,kZcosxaa1x|x2karccosa,kZtanxax|xkarctana,kZcotxax|xkarccota,kZ.精選文檔本課小結(jié)課后作業(yè)課后反思附表一：反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)簡單的三角方程.精選文檔反三角函數(shù)圖像與性質(zhì)定義域值域單一性奇偶性圖象公式1公式2公式3公式4yarcsinxyarccosxyarctanx-1,1-1,1R2,20，,22在1,1上單一遞加在1,1上單一遞減在R上單一遞加奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)2121-121O-2-2-2-1O1arcsin(x)arcsinxarccos(x)arccosxarctan(x)arctanxx1,1x