有關(guān)三角函數(shù)求最值的歸類研究 專題-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修4

1、淺析三角函數(shù)求最值的幾種方式摘要：求三角函數(shù)的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，因此，在做三角函數(shù)最值問題的時(shí)候我們應(yīng)當(dāng)靈活變通，取最優(yōu)最快最便捷的方法，以求出結(jié)果為第一準(zhǔn)則，完成好每一道最值問題。關(guān)鍵詞：三角函數(shù)，數(shù)學(xué)，最值問題一、轉(zhuǎn)化成的形式例1：在直角三角形中，兩銳角為A和B，求sinAsinB的最大值。解：由，得，則當(dāng)時(shí)，有最大值。例2：求函數(shù)在上的最大值和最小值。解：由，得，得，則當(dāng)x=0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，*Tip：這類題目解決的思路是把問題化歸為的形式，一般來說的話，（在這里我們發(fā)現(xiàn)有一個(gè)顯而易見的小結(jié)論，）。但假如題目給定了x的取值范圍，最好的方法還是通過圖象加以解決。例2中，令，

2、我們可以畫出在上的圖象。根據(jù)圖像我們不難看出，即為。我們應(yīng)當(dāng)注意一下這道題容易把兩個(gè)邊界的函數(shù)值和誤認(rèn)為是最大值和最小值，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。二、形如的形式例3：求函數(shù)的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以，因?yàn)?，即解得，?Tip：這道題的方法是利用正弦余弦函數(shù)的有界性，把式子轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式。轉(zhuǎn)化主元也是我們?cè)谇笠粋€(gè)式子最大值最小值常用的一個(gè)方法。三、形如的形式例4：求函數(shù)的最大值和最小值。解：由，得，即所以*Tip：這道題是用了分離分母的方法求出來的。用例3轉(zhuǎn)換主元的方法同樣可以求解。四、形如的形式例5：求的最小值。解：設(shè)，則。我們對(duì)此進(jìn)行作圖，不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間上是減函數(shù)（當(dāng)然我們也可以利用函數(shù)的單調(diào)性定義來證明這個(gè)結(jié)論）。所以當(dāng)時(shí)，*Tip：若由，可得最小值是錯(cuò)誤的。這是因?yàn)楫?dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，即是不可能的。如果我們把此題改為就可以用不等式法求解了。五、直接利用與之間的關(guān)系例6：求函數(shù)的最值。解：設(shè)，則，且。由于。故當(dāng)t=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。*Tip：這三者之間聯(lián)系非常緊密。是紐帶，三者之間知其一，可求其二（是可以根據(jù)兩者平方后做差得出來的，在這里就不多加贅