高等數(shù)學(xué)不定積分的計算教學(xué)課件

1、第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念 第二節(jié) 不定積分的計算 第一節(jié) 不定積分的概念 一.換元積分法 二.分部積分法 本節(jié)主要內(nèi)容: (一) 第一類換元積分法 (二) 第二類換元積分法 一.換元積分法(一) 第一類換元積分法(湊微分法)引例 : 求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果將上例的解法一般化: 設(shè)則如果（可微）將上述作法總結(jié)成定理, 使之合法化, 可得 換元法積分公式 定理4.2.1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u) , (u)是連續(xù)函數(shù), 那么難易 使用此公式關(guān)鍵在于將要求的積分轉(zhuǎn)化為說明湊例2 計算解: 原式我們總結(jié)出湊微分法求不定積分的情況如下: . 被積函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù) 與公式作對比

2、, 公式中自變量x變成了ax+b的形式, 這時設(shè)ax+b為中間變量， 例3 計算(2)原式例4 計算原式2、被積函數(shù)中, 其中一部分函數(shù)“正好”是另一部分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例6 計算例6 計算原式 第一類換元積分法（湊微分法）是一種非常有效的積分法。首先，必須熟悉基本積分公式，對積分公式應(yīng)廣義地理解，如對公式 ，應(yīng)理解為 ,其中u可以是x的任一可微函數(shù); 其次，應(yīng)熟悉微分運算，針對具體的積分要選準(zhǔn)某個基本積分公式，湊微分使其變量一致. 常用的湊微分形式有: 例7 計算例7 計算例7 計算例7 計算例7 計算例7 計算解法二 例7 計算例8 計算練習(xí) 求 例8 計算注意：分母湊完全平方練習(xí) 求 例8

3、計算注意：分子比分母少一次例8 計算例8 計算例8 計算例8 計算注意：分式拆項是常用的技巧(1)有理分式積分例8 計算練習(xí) 求 例8 計算注意：分母湊完全平方練習(xí) 求 例8 計算練習(xí) 求 注意：分子比分母少一次例8 計算例8 計算例8 計算(2)被積函數(shù)含有ex 例 9例9例 9例10被積函數(shù)含有三角函數(shù)注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆開奇次項湊微分例10注意：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例10例10例10例10(3)被積函數(shù)含有三角函數(shù)注意：偶次方用倍角公式降次例10注意：拆開奇次項湊微分例10注意：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.例10例10例

4、10例11 計算例12 例11 計算例12 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法, 不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析. 要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子.練一練練一練(二) 第二類換元積分法 定理4.2.2 函數(shù) x (t) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且 (t)0，又 f (t) (t) 有原函數(shù) F(t)，則 其中t -1(x)是x (t)的反函數(shù). 1. 根式代換 .被積分函數(shù)中含有 （根號里是一次式）類型-根式代換法，令 例1 計算例2 計算例3 計算例4 計算例1 計算令 則 于

5、是例2 計算令 則 于是 例3 計算令 則 于是 例4 計算令 則 于是 練一練 2. 三角代換 . 被積分函數(shù)中含有 類型-三角代換法例5 計算例6 計算例7 計算例5 計算令 則xat 把變量 t 換為 x . 為簡便起見, 畫一個直角三角形，稱它為輔助三角形，如圖.例6 計算令 則 根據(jù) 作輔助三角形, 如圖.axt其中 C = C1 - lna . 例7 計算令 則 根據(jù) 作輔助三角形，如圖.axt其中 C = C1 lna . 第二類換元積分法是基本積分方法之一, 使用第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q, 消除被積式中的根號, 最常見的形式有: （1）被積函數(shù)中含有： 設(shè)（2）被

6、積函數(shù)中含有： 設(shè) , n為n1、n2 的最小公倍數(shù)（3）被積函數(shù)中含有： 設(shè)（4）被積函數(shù)中含有： 設(shè)（5）被積函數(shù)中含有： 設(shè) 在作三角替換時, 可以利用直角三角形的邊角關(guān)系確定有關(guān)三角函數(shù)的關(guān)系, 以返回原積分變量. 例8 計算解法一三角代換法 令 x = tan t，于是得則 dx = sec2 tdt，根據(jù) tan t = x，作輔助三角形，得= ln |csc t cot t | + C1xt解法二根式代換法 于是有練一練二.分部積分法設(shè)函數(shù) u = u(x), v = v(x) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù): u = u(x), v = v (x)， 根據(jù)乘積微分公式于是有即d(uv) = ud

7、v + vdu，分部積分公式難易說明：1. 分部積分法適合求兩個不同類型函數(shù)乘積的積分.2. 用法： 把被積函數(shù) f (x) 分解為兩部分因式相乘的形式, 其中一部分因式看作 u , 另一部分因式看作 v , 而后套用公式, 把求不定積分 的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分 的問題.3. 關(guān)鍵: u , v 選擇要得當(dāng)例1 計算比 更難求失??！可見運用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇u，v . 當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時，我們可以按照“反、對、冪、指、三”（即反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在后的另一個函數(shù)選作v. 例3 計算 當(dāng)應(yīng)用分部積分公式后得到的積分還需用分部積分公式時，可以繼續(xù)使用，直到可以求出積分結(jié)果為止。例4 計算例5 計算例6 計算例7 計算 例8 計算例9 計算例10 計算例11 計算例12 計算例4 計算例5 計算練習(xí) 求 例6 計算例7 計算 例 8 計算移項 , 兩邊除以2 , 并加積分常數(shù) , 得 當(dāng)兩次應(yīng)用分部積分法后又出現(xiàn)了原積分時, 我們是用解方程的方法求出積分結(jié)果的. 注意 例9 計算例10 計算令 則 于是例11 計算求上式右端的不定積分 用第二換元法.則 dx = 2tdt ,