廣東省梅州市小都中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

1、廣東省梅州市小都中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 雙曲線與橢圓有公共的焦點，它們的離心率互為倒數(shù),則雙曲線的標準方程為A B C D參考答案：A略2. A、B兩籃球隊進行比賽，規(guī)定若一隊勝4場則此隊獲勝且比賽結(jié)束（七局四勝制），A、B兩隊在每場比賽中獲勝的概率均為，為比賽需要的場數(shù)，則E=（）ABCD參考答案：B【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差【分析】先確定比賽需要的場數(shù)的取值，求出相應的概率，即可求得數(shù)學期望【解答】解：由題設(shè)知，比賽需要的場數(shù)為4，5，6，7p（=4）=（）

2、4+（）4=；p（=5）=2=；p（=6）=2=p（=7）=2=E=4+5+6+7=故選B【點評】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望，考查學生的運算能力，確定變量的取值，求出相應的概率是關(guān)鍵3. 設(shè)，隨機變量的分布列為012P那么，當在(0,1)內(nèi)增大時,的變化是（）A. 減小B. 增大C. 先減小后增大D. 先增大后減小參考答案：B【分析】先求期望，再求方差，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】 則是在上的遞增函數(shù)，所以是在上的遞增，故選B.【點睛】本題主要考查隨機變量及其分布列，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知函數(shù)的圖像上一點（1，2）及鄰近一點，則等于 A. B. C. D.2 參考答案：B略

3、5. 已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0y1），則cos，最大值為（）ABCD參考答案：D【考點】空間向量的夾角與距離求解公式【分析】【解法一】利用作圖法，構(gòu)造正方體，考慮極端情況，可快速得出答案；【解法二】根據(jù)兩向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值cos，再利用換元法求出它的最大值即可【解答】解：【解法一】利用作圖法，構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的邊長為1，如圖所示；則=（1，1，1），=（0，y，1），且E在線段DC上移動，當E在D位置時，cos，=；當E在C位置時，cos，=為最大值【解法二】=（1，1，1），=（0，y，1）（0y1），?=y+1，|=，|=，cos，=；設(shè)t=，則t21=y2

4、，y=（1t），f（t）=?=（+）；設(shè)sin=，則1sin，即，g（）=（+sin）=（cos+sin）=sin（+），當=時，g（）取得最大值為=故選：D6. 設(shè)隨機變量，且當二次方程無實根時，的取值概率為，則 （ ）A1 B0.5 C0 D2參考答案：A7. 已知，C為平面內(nèi)的一動點，且滿足，則點C的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 參考答案：B【分析】設(shè)為,由可得,整理即可得到點的軌跡方程【詳解】由題,設(shè)為,由兩點間距離公式可得,即,故選：B【點睛】本題考查直接法求軌跡方程,“求誰設(shè)誰”,根據(jù)題干條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言是解題關(guān)鍵8. 設(shè)函數(shù)在上的導函數(shù)為,在上的導函數(shù)為,若在上,恒成

5、立,則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.已知當時,在上是“凸函數(shù)”.則在上 ( )A.既有極大值,也有極小值 B.既有極大值,也有最小值C.有極大值,沒有極小值 D.沒有極大值,也沒有極小值參考答案：C9. 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色并使同一條棱的兩端異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為A.240 B.300 C.360 D.420參考答案：D10. 已知兩條直線和互相垂直，則等于（ ） A 2B 1C 0D HYPERLINK 參考答案：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 設(shè)變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為 .參考答案：1312. 奇函數(shù)f（x）的定

6、義域為（5，5），若x0，5）時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式f（x）0的解集為參考答案：（2，0）（2，5）【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合【分析】由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱便可得出f（x）在（5，0上的圖象，這樣根據(jù)f（x）在（5，5）上的圖象便可得出f（x）0的解集【解答】解：根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱得出f（x）在（5，0上的圖象如下所示：f（x）0的解集為（2，0）（2，5）故答案為：（2，0）（2，5）13. 如果實數(shù)x，y滿足等式（x2）2+y2=3，那么的最大值是參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】設(shè)，的最大值就等于連接原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合法

7、的方式，易得答案【解答】解：設(shè)，則y=kx表示經(jīng)過原點的直線，k為直線的斜率所以求的最大值就等價于求同時經(jīng)過原點和圓上的點的直線中斜率的最大值從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且與圓相切，此時的斜率就是其傾斜角EOC的正切值易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即為的最大值故答案為：14. 已知，則長為參考答案：15. 在區(qū)間上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足的概率為，則_. 參考答案：略16. 已知圓C：（x2）2+（y+m4）2=1，當m變化時，圓C上的點與原點的最短距離是參考答案：1【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】計算題；直線與圓【分析】求出圓的圓心和半徑，再求出|OC|

8、的最小值，用|OC|的最小值減去半徑，即得所求【解答】解：圓C：（x2）2+（y+m4）2=1表示圓心為C（2，m+4），半徑R=1的圓，求得|OC|=，m=4時，|OC|的最小值為2故當m變化時，圓C上的點與原點的最短距離是|OC|的最小值R=21=1，故答案為：1【點評】本題主要考查點和圓的位置關(guān)系，兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題17. 曲線y=x3在點（1，1）切線方程為 參考答案：3xy2=0【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】先求出函數(shù)y=x3的導函數(shù)，然后求出在x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程求出切線方程即可【解答】解：y=3x2y|x=1=3

9、，切點為（1，1）曲線y=x3在點（1，1）切線方程為3xy2=0故答案為：3xy2=0三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點（1）證明：PFFD；（2）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG平面PFD；（3）若PB與平面ABCD所成的角為45，求二面角APDF的余弦值參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定【分析】解法一（向量法）（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，

10、分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到PFFD；（）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進而根據(jù)線面平行，則兩個垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點位置；（）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案解法二（幾何法）（I）連接AF，由勾股定理可得DFAF，由PA平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DFPA，再由線面垂直的判定定理得到DF平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PFFD；（）過點E作EHFD交AD于點H，則EH平面PFD，且有，再過點H作HGDP交PA于點G，

11、則HG平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH平面PFD，進而由面面平行的性質(zhì)得到EG平面PFD從而確定G點位置；（）由PA平面ABCD，可得PBA是PB與平面ABCD所成的角，即PBA=45，取AD的中點M，則FMAD，F(xiàn)M平面PAD，在平面PAD中，過M作MNPD于N，連接FN，則PD平面FMN，則MNF即為二面角APDF的平面角，解三角形MNF可得答案【解答】解法一：（）PA平面ABCD，BAD=90，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0）（2分）不妨令P（0，0，t），即PFFD（4分）

12、（）設(shè)平面PFD的法向量為，由，得，令z=1，解得： （6分）設(shè)G點坐標為（0，0，m），則，要使EG平面PFD，只需，即，得，從而滿足的點G即為所求（8分）（）AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得，（9分）又PA平面ABCD，PBA是PB與平面ABCD所成的角，得PBA=45，PA=1，平面PFD的法向量為（10分），故所求二面角APDF的余弦值為（12分）解法二：（）證明：連接AF，則，又AD=2，DF2+AF2=AD2，DFAF（2分）又PA平面ABCD，DFPA，又PAAF=A，（4分）（）過點E作EHFD交AD于點H，則EH平面PFD，且有再過點H作HGDP交PA于點G，則HG

13、平面PFD且，平面GEH平面PFD（7分）EG平面PFD從而滿足的點G即為所求 （8分）（）PA平面ABCD，PBA是PB與平面ABCD所成的角，且PBA=45PA=AB=1（9分）取AD的中點M，則FMAD，F(xiàn)M平面PAD，在平面PAD中，過M作MNPD于N，連接FN，則PD平面FMN，則MNF即為二面角APDF的平面角（10分）RtMNDRtPAD，且FMN=90，（12分）【點評】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，其中解法一的關(guān)鍵是建立的空間坐標系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，解法二的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定，性

14、質(zhì)19. 試比較3與（n為正整數(shù)）的大小，并予以證明參考答案：見解析【分析】利用作差法可得3，確定3與的大小關(guān)系等價于比較與2n1的大小，利用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】證明：3， 于是確定3與的大小關(guān)系等價于比較與2n1的大小由2211，221，231，241，251， 可猜想當n3時，2n1， 證明如下：當n3時，由上可知顯然成立假設(shè)當nk時，2k1成立那么，當nk1時，22(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以當nk1時猜想也成立，綜合和，對一切n3的正整數(shù)，都有2n1所以當n1，2時，3；當n3時，3（n為正整數(shù)）【點睛】本題考查大小的比較，考查作差法、考查數(shù)學歸納法

15、，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20. 已知雙曲線的離心率，過A（a，0），B（0，b）的直線到原點的距離是（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線y=kx+5（k0）交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的標準方程【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）由離心率為可得，原點到直線AB的距離是，得=，由及c2=a2+b2可求得b，a；（2）把y=kx+5代入x23y2=3中消去y，得x的二次方程，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中點是E（x0，y0），由C，D都在以B為圓心的圓上，得kBE=，由韋達定理及

16、中點坐標公式可得k的方程，解出即可；【解答】解：（1），原點到直線AB：的距離=，聯(lián)立及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求雙曲線方程為 （2）把y=kx+5代入x23y2=3中消去y，整理得 （13k2）x230kx78=0設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中點是E（x0，y0），則，=，y0=kx0+5=，kBE=，x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=【點評】本題考查直線方程、雙曲線方程及其位置關(guān)系，考查圓的性質(zhì)，考查學生解決問題的能力21. 已知坐標平面內(nèi)C：，D：.動圓P與C 外切，與D內(nèi)切.(1)求動圓圓心P的軌跡的方程；（2）若過D點的斜率為2的直線與曲

17、線交于兩點A、B，求AB的長；（3）過D的動直線與曲線交于A、B兩點，線段AB中點為M，求M的軌跡方程.參考答案：（1）據(jù)題意，當令動圓半徑為r時，有，易見由橢圓定義可知，點P的軌跡是以C（1，0）、D（1，0）為焦點的橢圓.令橢圓方程為a=2,所以P的軌跡方程為.（2）過D點斜率為2的直線方程為： 由，消y得到 （3）據(jù)點差法結(jié)果可知若令M坐標為（x,y）,則有，化簡可得： (也可以令AB斜率為k，直線與橢圓聯(lián)立方程組利用韋達定理用k表示M的橫縱坐標，得到M的參數(shù)方程再消k,學生這種做法更易得一定的步驟分)22. 在平面直角坐標系xOy中，動點P與兩定點A（-2，0），B（2，0）連線的斜率之積為-，記點P的軌跡為曲線C（I）求曲線C的方程；（II）若過點（，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點，曲線C上是否存在點E使得四邊形OMEN為平行四邊形？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由參考答案：（）曲線C的方程為=1（x2）（II）存在，直線l的方程為.【分析】（I）設(shè)動點為，直接把斜率之積為用坐標表示出來即可；（II）假設(shè)存在符合條件的點，由題意知直線l的斜率不為零，同時設(shè)直線l的方程為，把直線方程代入曲線方程，由韋達定理得，同時求得，而平行四邊形存在，則有，從而可得點坐標，再代入（I）中所求曲線方程可求得參數(shù)值