七年級(jí)同步第13講：因式分解綜合-教師版

1、因式分解綜合因式分解綜合）內(nèi)容分析內(nèi)容分析本部分內(nèi)容包括因式分解的有關(guān)概念，因式分解的常用基本方法因式分解在代數(shù)學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)作用，它在代數(shù)的恒等變換，分式的通分，約分以及解方程方面都起著重要作用通過(guò)學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察、分析、運(yùn)算能力 知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)知識(shí)精講一、因式分解基本概念1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱(chēng)為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式2、因式分解與整式乘法互為逆變形：式中可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，它是多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的因式，稱(chēng)為公因式二、四種基本方法：1、提取公因式法：多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式，可把公因式提到外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成

2、與的乘積形式，此法叫做提取公因式法提取公因式的步驟：（1）找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式（2）提出公因式（3）寫(xiě)成與的乘積形式提取公因式法的幾個(gè)技巧和注意點(diǎn)：（1）一次提凈（2）視“多”為“一”（3）切勿漏1（4）注意符號(hào)：在提出的公因式為負(fù)的時(shí)候，注意各項(xiàng)符號(hào)的改變（5）化“分”為整：在分解過(guò)程中如出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可先提出分?jǐn)?shù)單位后再進(jìn)行分解 （6）仔細(xì)觀(guān)察：當(dāng)各項(xiàng)看似無(wú)關(guān)的時(shí)候，仔細(xì)觀(guān)察其中微妙的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化后再分解2、逆用乘法公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫做公式法（1）平方差公式：由平方差公式反過(guò)來(lái)可得：，這個(gè)公式叫做因式分解的平方差公式；（2）完全平方公式：由完全平方公式反過(guò)來(lái)可得：和，這兩個(gè)公式叫

3、做因式分解的完全平方公式3、十字相乘法：如果二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)能分解成兩個(gè)因式、的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)又恰好是，那么就可以進(jìn)行如下的分解因式，即：要將二次三項(xiàng)式分解因式，就需要找到兩個(gè)數(shù)、，使它們的積等于常數(shù)項(xiàng)，和等于一次項(xiàng)系數(shù), 滿(mǎn)足這兩個(gè)條件便可以進(jìn)行如下分解因式，即：這種利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法 4、分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式分成二或三組，各組分別分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，這就是分組分解法選擇題選擇題下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是（）A、B、C、D、【難度】【答案】B【解析】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解，

4、因此判斷B正確【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A、B、C、D、【難度】【答案】C【解析】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解，因此判斷C正確【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念下列各式的分解因式：；其中正確的個(gè)數(shù)有（）A、0B、1C、2D、3【難度】【答案】B【解析】其中應(yīng)該為；應(yīng)該為；不能因式分解【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式是（）A、B、C、D、【難度】【答案】D【解析】根據(jù)公因式的定義【總結(jié)】本題主要考查公因式的概念已知多項(xiàng)式分解因式為，則、的值為（）A、B、C、D、【難度】【答案】D【解析】【總結(jié)】考查整式

5、的乘法以及待定系數(shù)法下列多項(xiàng)式中不能用平方差公式分解的是（）A、B、C、D、【難度】【答案】B【解析】B選項(xiàng)變形可得【總結(jié)】考查平方差公式的定義下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A、B、C、D、【難度】【答案】D【解析】D選項(xiàng)變形為【總結(jié)】本題主要考查對(duì)完全平方公式的理解及運(yùn)用已知正方形的面積是（），則正方形的邊長(zhǎng)是（）A、B、C、D、【難度】【答案】B【解析】【總結(jié)】考查二次根式的非負(fù)性以及完全平方公式分解因式得（）A、B、C、D、【難度】【答案】C【解析】【總結(jié)】本題主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解徹底一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是，那么這個(gè)多項(xiàng)式是（）A、B、C、D、

6、【難度】【答案】B【解析】【總結(jié)】本題主要考查整式的乘法與因式分解之間的關(guān)系若多項(xiàng)式能分解成，那么=（）A、2B、4C、6D、8【難度】【答案】B【解析】【總結(jié)】考查整式的乘法以及冪的運(yùn)算如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是（）A、B、C、D、【難度】【答案】D【解析】割補(bǔ)法求面積【總結(jié)】直接利用面積公式進(jìn)行求解，這也是驗(yàn)證平方差公式成立的一種方法填空題填空題直接寫(xiě)出因式分解的結(jié)果：（1）_；（2）_【難度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式【總結(jié)】本題主要考

7、查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解填上適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立：【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】本題主要考查通過(guò)提取公因式進(jìn)行因式分解，注意不要遺漏提取因式后的1的公因式是_【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】考查如何提取公因式利用分解因式計(jì)算：（1）=_；（2）=_；（3）=_【難度】【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000【解析】（1）原式（2）原式；（3）原式【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意進(jìn)行巧算利用因式分解簡(jiǎn)便計(jì)算：_【難度】【答案】45.8【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算若，則=_，=_【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】

8、本題主要考查整式的乘法以及待定系數(shù)法分解因式：=_【難度】【答案】【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底已知：若，則的值為_(kāi)【難度】【答案】4或-1【解析】，a = 4b或a = -b，的值為4或-1【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解解二次方程計(jì)算的值為_(kāi)【難度】【答案】【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解進(jìn)行分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便運(yùn)算如果已知，則的值為_(kāi)【難度】【答案】24【解析】【總結(jié)】利用因式分解求解代數(shù)式的值若，則=_，=_【難度】【答案】30；74【解析】；【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運(yùn)用若時(shí)，=_【難度】【

9、答案】4【解析】，又，【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求解代數(shù)式的值以及整體代入思想的運(yùn)用若=，則_，_【難度】【答案】4；8【解析】【總結(jié)】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法已知兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)差是96cm，面積差是960，則這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是_cm【難度】【答案】32和8【解析】設(shè)較大的邊長(zhǎng)為，較小的邊長(zhǎng)為，由兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)差是96cm，面積差是960，可得；由此變形可得，【總結(jié)】本題主要考查因式分解在有關(guān)正方形周長(zhǎng)和面積求解中的運(yùn)用已知正方形的面積是（），利用分解因式，寫(xiě)出表示該正方形的邊長(zhǎng)的代數(shù)式_【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】本題主要考查因式分解在有關(guān)正方形面積求解中的運(yùn)用甲、乙

10、兩個(gè)同學(xué)分解因式時(shí)，甲看錯(cuò)了，分解結(jié)果為乙看錯(cuò)了，分解結(jié)果為，則=_，=_【難度】【答案】6，9【解析】由可得：，再由可得：【總結(jié)】考查整式的乘法以及待定系數(shù)法，要認(rèn)真理解題意已知為任意整數(shù)，且的值總可以被（為自然數(shù)，）整除，則的值為_(kāi)【難度】【答案】13【解析】由，可得總可以被13整除【總結(jié)】考查數(shù)的整除以及平方差公式的運(yùn)用因式分解：=_【難度】【答案】【解析】方法一：原式 ；方法二：原式【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要利用分組分解法以及添項(xiàng)或者雙十字相乘進(jìn)行分解 解答解答題在下列各式中，從左到右的變形是不是因式分解？（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是

11、；（4）不是【解析】（1）乘法公式；（3）沒(méi)有表示成乘積的形式；（4）因式不是整式【總結(jié)】本題主要考查因式分解的概念把下列各式因式分解：（1）； （2）；（3）；（4）； （5）；（6）【難度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式【總結(jié)】本題主要考查如何選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解，注意分解時(shí)不要漏項(xiàng)把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【總結(jié)】本題主要考查利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意對(duì)公

12、式的準(zhǔn)確運(yùn)用把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【總結(jié)】本題主要考查提取公因式以及利用乘法公式進(jìn)行因式分解，注意分解一定要徹底把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）； （2）；（3）； （4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底，分到不能再分解為止把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3

13、）原式；（4）原式【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底，分到不能再分解為止把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解以及整體思想的運(yùn)用把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【難度】【答案】（1）； （2）；（3）； （4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【總結(jié)】考查利用不同的方法進(jìn)行因式分解，注意代數(shù)式系數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)有簡(jiǎn)便的方法計(jì)算：【難度】【答案】360【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查利用數(shù)的質(zhì)因數(shù)

14、分解以及平方差公式和提取公因式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題：（1）；（2）【難度】【答案】（1）999919；（2）1【解析】（1）原式；（2）原式【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解的思想進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用分解因式進(jìn)行計(jì)算：【難度】【答案】29.4【解析】原式【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解的思想進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算已知：，求的值【難度】【答案】2【解析】原式，把代入，得：【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運(yùn)用已知：，求的值【難度】【答案】2【解析】【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運(yùn)用已知：，求的值【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運(yùn)用已知：,求的值【難度】【答案】2【解析】由，可得 ，即【總結(jié)】本題主要考查利用因式分解求代數(shù)式的值以及整體思想的運(yùn)用若是完全平方式，求與b的值【難度】【答案】【解析】設(shè)，則，由此可得：，把代入，求得：【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，主要考查利用完全平方公式以及待定系數(shù)法求解，注意符號(hào)和分類(lèi)討論能被198整除嗎？能被200整除嗎？說(shuō)明你的理由【難度】【答案】能【解析】因?yàn)?，所以其能?98整除也能被200整除【總結(jié)】考查數(shù)的整