高考數(shù)學(xué) 藝考生沖刺 第七章 概率與統(tǒng)計(jì) 第19講 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型課件

1、第七章 概率與統(tǒng)計(jì)第19講隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型1.隨機(jī)事件及概率(1)事件的相關(guān)概念(3)事件間的關(guān)系及運(yùn)算 2.古典概型和幾何概型(1)基本事件的特點(diǎn)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型及特點(diǎn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(3)古典概型的概率公式:(4)幾何概型事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A,A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān),滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型.(5)幾何概型的兩個(gè)基本

2、特點(diǎn)無限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè).等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.(6)幾何概型的概率計(jì)算公式:題型一 隨機(jī)事件與概率考點(diǎn)一隨機(jī)事件之間的關(guān)系【例1-1】對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈,設(shè)A=兩次都擊中飛機(jī),B=兩次都沒擊中飛機(jī),C=恰有一次擊中飛機(jī),D=至少有一次擊中飛機(jī),其中彼此互斥的事件是,互為對(duì)立事件的是.【解析】 設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況,因?yàn)锳B=,BC=,AC=,BD=,故A與B,B與C,A與C,B與D為互斥事件.而BD=,BD=I,故B與D互為對(duì)立事件.【答案】A與B,A與C,B與C,B與DB與D【規(guī)律方法】判斷互斥、對(duì)立事件的兩種

3、方法(1)定義法:判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件;兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩事件為對(duì)立事件,對(duì)立事件一定是互斥事件.對(duì)立事件是互斥事件的充分不必要條件.(2)集合法:由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件A的對(duì)立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.考點(diǎn)二隨機(jī)事件的概率與頻率【例1-2】(2016全國卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表

4、: (1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.【解】(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192

5、5a.【規(guī)律方法】(1)概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機(jī)的,而概率是一個(gè)確定的值,通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.(2)隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗(yàn),事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是概率.考點(diǎn)三互斥事件與對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用【例1-3】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中,購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P

6、(C);(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M,則M=ABC.A,B,C兩兩互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)(3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件,變式訓(xùn)練一1.在5張電話卡中,有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動(dòng)A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡A 【解析】 至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡,一張聯(lián)通卡”,“2張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件

7、,它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件.2.某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣的方法,對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率;(2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.解:(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”, 由于投保額為2800元,賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表

8、示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”,由已知,樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.11000=100(位),而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2120=24(位),由頻率估計(jì)概率是P(C)=0.24. 3.某學(xué)校在教師外出家訪了解學(xué)生家長對(duì)孩子的學(xué)習(xí)關(guān)心情況活動(dòng)中,一個(gè)月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示:(1)求有4人或5人外出家訪的概率;(2)求至少有3人外出家訪的概率.解:(1)設(shè)派出2人及以下為事件A,3人為事件B,4人為事件C,5人為事件D,6人及以上為事件E,則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D,C,D為互斥事件,根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=

9、P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家訪的對(duì)立事件為2人及以下,所以由對(duì)立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.題型二古典概型【例2】一枚硬幣連擲2次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為()【解析】 一枚硬幣連擲2次,基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),而只有一次出 【答案】 D【規(guī)律方法】變式訓(xùn)練二1.(2016北京卷)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為()2.(基礎(chǔ)經(jīng)典試題)從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則ba的概率是()B 【解析】 可設(shè)這5名學(xué)生分別是甲、乙、丙、丁、

10、戊,從中隨機(jī)選出2人的方法有:(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共有10種選法,D 【解析】 基本事件的個(gè)數(shù)有53=15(種),其中滿足ba的有3種, 3.甲、乙、丙三人隨意坐在一條長凳上,乙正好坐中間的概率為() 4.口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個(gè),這3個(gè)球除顏色外完全相同,有放回的連續(xù)抽取2次,每次從中任意地取出1個(gè)球,則兩次取出的球顏色不同的概率是()【解析】 甲、乙、丙坐一排的基本事件有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6個(gè),乙正好坐中間的基本事件有2個(gè).B 【解析】 由題意知,基

11、本事件總數(shù)n=33=9,能兩次取出的球顏色不同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=32=6,C 5.(2016全國卷)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()D 【解析】 只需考慮分組即可,分組(只考慮第一個(gè)花壇中的兩種花)情況為(紅,黃),(紅,白),(紅,紫),(黃,白),(黃,紫),(白,紫),共6種情況,其中符合題意的情況有5種,因此紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 .故選D.題型三幾何概型【例3】(1)(2016全國卷)某公司的班車在730,800,830發(fā)車,小明在750至830之間到達(dá)發(fā)車站乘坐

12、班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()(3)如圖所示,在ABC中,B=60,C=45,高AD= ,在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,則BM1的概率為.(4)(2017全國卷)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()(5)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為.【解析】 (1)由題意得圖: 記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交

13、BC于點(diǎn)M,使BM1”,則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生.(4)設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的面積為4,正方形內(nèi)切圓的面積為,根據(jù)對(duì)稱性可 【規(guī)律方法】(1)與長度、角度有關(guān)的幾何概型的求法解答關(guān)于長度、角度的幾何概型問題,只要將所有基本事件及事件A包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)長度或角度,即可利用幾何概型的概率計(jì)算公式求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).(2)與面積有關(guān)的幾何概型的求法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域以求面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.(3)與體

14、積有關(guān)的幾何概型的求法對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解.變式訓(xùn)練三1.(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镈.在區(qū)間-4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則xD的概率是.2.如圖所示,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為.【解析】 如題圖,因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的, D 【解析】 如圖,滿足條件的x,y構(gòu)成的點(diǎn)(x,y)在正方形OBCA內(nèi),4.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內(nèi)自由飛

15、翔,則它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為()D1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,如果連續(xù)拋擲1 000次,則第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是()2.先后拋擲硬幣三次,則至少一次正面朝上的概率是() D 【解析】 概率是定值,所以不管拋多少次硬幣,正面向上的概率不變,所以正面或反面向上的概率是 .D C 【解析】 2粒棋子恰好同一色可以同是黑色,也可以同是白色, 4.小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()C 【解析】 前2位共有35=15種可能,其中只有1種是正確的密碼, 5.如果

16、3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()C 6.從3名男生和2名女生中任意推選2名選手參加辯論賽,則推選的2名選手恰好是1男1女的概率是()C 【解析】 從3名男生和2名女生中選兩名共有10種可能,而一男一女的選法有6種,7.某天下課以后,教室里還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué).若他們依次走出教室,則第2位走出的是男同學(xué)的概率是()A 【解析】 已知2位女同學(xué)和2位男同學(xué)走出的所有可能順序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男

17、,女,女,男),8.口袋中有形狀和大小完全相同的四個(gè)球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4,若從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球,則取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和大于5的概率為()C 【解析】 從5個(gè)球中隨機(jī)抽取兩個(gè)球,共有6種取法,滿足兩球編號(hào)之和大于5的情況有(2,4),(3,4),共2種取法.9.某單位有7個(gè)連在一起的車位,現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放,如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起,則不同的停放方法的種數(shù)為()A.16B.18 C.24D.32C 【解析】 若將7個(gè)車位從左向右按17進(jìn)行編號(hào),則該3輛車有4種不同的停放方法:(1)停放在13號(hào)車位;(2)停放在57號(hào)車位;(3)停放在1、2、7號(hào)車位;(4)停放在1

18、、6、7號(hào)車位.每一種停放方法均有 =6種,故共有24種不同的停放方法.10.在平面直角坐標(biāo)系中,從下列五個(gè)點(diǎn): 中任取三個(gè),這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是()C 【解析】 從5個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn),列舉得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE, CDE共有10個(gè)基本事件,而其中ACE, BCD兩種情況三點(diǎn)共線,其余8個(gè)均符合題意,1.一個(gè)袋子中有號(hào)碼為1,2,3,4,5大小相同的五個(gè)小球,現(xiàn)從袋中任意取出一個(gè)球,取出后不放回,然后再從袋中任取一個(gè)球,則第一次取得號(hào)碼為奇數(shù),第二次取得號(hào)碼為偶數(shù)球的概率為()D 【解析】 試驗(yàn)的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).共20個(gè),其中事件“第一次取得號(hào)碼為奇數(shù),第二次取得號(hào)碼為偶數(shù)”包含