考研真題【2018考研數(shù)學(xué)(一)真題+答案解析】2018年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、2018 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷及答案解析一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的x 0（1）下列函數(shù)中，在處不可導(dǎo)的是（ ） f x x xf x x x(A)(C)(B) f x x f x x(D)【答案】（D）【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：x xxx xx（A） 0 x0 xx xx x xx（B）x0 x01x x 12x x（C） 0 x0 x1212xx2x x 1,xx（D） 0 x0 xx0故選 D。 , z x y22（2）過(guò)點(diǎn)，且與曲面相切的平面為（ ）zx yz 1x x yz1z x2y

2、z2x x2yz2(A)(C)(B)(D)【答案】（B） 過(guò) , z x y C、D22【解析】曲面z x y 2211對(duì)于A選項(xiàng),x yz 可得x ,y ,22代入z x y x yz zB.222n 3 1 n（ ）（3） 2n 1 !n 0 (A)(C)(B) (D)【答案】（B）2n 32n 12 ( ( ( nnn(2n (2n (2n 【解析】n 0n 0n 012( = ( l nn(2n(2n n 0n 0故選 B. 1 x21xMdx,Ndx,K1 x dx,（4）設(shè) 222則（ ）1 xex2222M N KK M NM K NK N M(A)(C)(B)(D)【答案】（C

3、）M= x)21 x 2x 2x222(1) .21 x1 x1 x222【解析】2221 x 1 x21 x e (x 1 N M x2e2ex22K=21 x)2 M （ 22故K M N,C。1 1 00 1 1（5）下列矩陣中與矩陣相似的為（ ）0 0 11 1 11 0 1 0 1 10 0 10 1 10 0 1(A)(C)(B)1 1 11 0 1 0 1 00 1 00 0 1(D)0 0 1【答案】（A）1 1 00 1 10 0 1 1 10JE J 0 113令 （ ，【解析】00 1則特征值為 1230 1 0 E J 0 01r E J) 當(dāng) 0 0 01 1 1 1

4、 11 1 1 0 = = A= 0 1 1E A 0 131230 0 100 10 1 1 1 e E A E = 0 0 0 0 01 0 1 B= 0 1 1B r E B) 當(dāng) 0 0 11 0 1 C= 0 1 1C r E C) 當(dāng) 0 0 11 0 1 D= 0 1 1D r E D) 當(dāng) 0 0 1由于矩陣相似，則相關(guān)矩陣EEJ可知答案選 A。 設(shè)r X XX Y （6）則（ ） r , r A r , r A(A)(B) r ,B r A ,r Br ,B r A BT T(C)(D)【答案】（A）設(shè)C r AC )r A)r A【解析】 Xf xf 1x f 1x ,2f

5、 x P X 0 （7） 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度且 則（ ）0(D)(A)(B)(C)【答案】（A） 由fx) fx)f(x)關(guān)于x 1P X 0 P X 2【解析】 P X 0 P 0 X 2 P X 2 P 0 X 2 2f (x) 0 2P X 0 P X 0 XN , 2,X ,X ,X X（8）設(shè)總體12nH H（ ）0010如果在檢驗(yàn)水平下拒絕H =0.01H(A)(B)(C)(D)00如果在檢驗(yàn)水平下拒絕H =0.01H00如果在檢驗(yàn)水平下接受H =0.01H00如果在檢驗(yàn)水平下接受H =0.01H00【答案】(A)1X nXX ,X N(, N故2nn /i【解析】i 1x 所

6、以 u ,u. 0 / n1x u .0 / n2又因?yàn)閡u,.二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。11 x （9）若 , k 則 _.1 x0 x【答案】-211 x x1limx1e得,【解析】 1 x01 x0 x1 x x 2, 1 xkx0 x0k 故 設(shè)函數(shù)f x 具有y f x y 2 1,2 處（10）x x 1_.0 22【答案】 101 x x fx f f f 220 22【解析】100 F(x,y,z) j, 則（11） 設(shè).【答案】F(x,y,z) j【解析】ijk zj (x,y,z)x y z Lx y z xyz0 L（12）設(shè) 222.【答

7、案】0Ly 【解析】 L設(shè)階矩陣有兩個(gè)不同特征值，, A = ，（13）2121212則 A .【答案】-1由（ （ A .【解析】22121212則可知或1.A2A1則A 1(（14）設(shè)隨機(jī)事件C1 1 P A P B ,P C ,24 則P C .1【答案】4)P C(P ( )1P C【解析】C)P() PC) P() 412PC)P()PC)1114 PC). 1 1 2 2P()P(B) PC) P() 44PC) 0三、解答題：1523 小題，共 94 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本題滿(mǎn)分 10 分）e e .2xx11214e2x= e d ee e 1

8、 e 1【解析】x2x2xx2x再用整體代換去根號(hào)： t 12e2xt2e 1 t 12xte 1x22 x23= t tC e 1 2 e 1C3x3311 1x23即原式= e e 1 e 1 e 1C2xxx262（16）（本題滿(mǎn)分 10 分）2.【解析】設(shè)圓的半徑為zx y z 33 2 4y3z 2S(x,y,z) x y z ,3S(x,y,z) x y z32222443設(shè)L(x,y,z,) x y z x4y3z 22241L x 0 xxx 4 3 3 L 2y 4 0 2y,y( 3Lzz 0 43 3 22 3L x 4y 3z 2 0 x z 4 3 3 122 314

9、3 3.且在（，43 3 43 3 43 3（17）（本題滿(mǎn)分 10 分）x1 3y 3z 2 2設(shè) I= y 2 z .33 ：xy 3z 1【解析】220I= (y 2) z 33= (y 2) z (y 2) z 3 33300 3y 3z ) 220 =1 3y 3z ) 2 201 x2y2z23312 1 x21x23312d r ( rr )2244000003 4x x14124.0（18）（本題滿(mǎn)分 10 分）已知微分方程yy f (x),f (x)R.若f(x) x,（I）若f(x)TT （II） y e C xx 1 【解析】（I）xx y(x) exf t e Ctx

10、0 y x T e t T u x T f t e Cexf u T e C u T則x T tx T 0T T exf u e e0f u e xf u e u TxuTxu T0（II） 若e0f u e xf u e exf t e CtxuuTxT001 y x .即C=0f u e y x T時(shí) u1 eTT1 C0f u e y x . u1 eTT（19）（本題滿(mǎn)分 10 分） xx e n 1,2, x xnx x e x .n1n1nnnnx x 【解析】1ke 1xx e 1 x 0 xn1 由 kxxk 1k xn.e 1e 1xxxn 1x n x n nnnnxxx

11、ennn f x e 1 , f x f x 則 故.令xxxe 1 xx 0當(dāng) f xf 0 0 故 xx 0 xn 1n xn x Ax e e 1xxn1nnnnnn e A，即x AAnn（20）（本題滿(mǎn)分 11 分）設(shè)實(shí)二次型f(x ,x ,x ) (x ,x x ) (x x ) (x ) , 其中a.2221231232313求f(x ,x ,x ) (I)123求f(x ,x ,x (II)123f(x ,x ,x x x x ) (x x ) (x ) 由 2221231232313x x x 1 1 1x1 123x x . A= 0 1 1 ,x x .令 232 x 1

12、 0 ax 133 即 1 1 11 1 11 1 1 【解析】(I)= 0 1 10 110 11 .由 1 0 a0 1 a 10 0 a 22 a 2x k 1 ,k. 1 當(dāng)a .a 2當(dāng) f(y ,y ,y ) y y y . 212223123a 2當(dāng) 21 3B= 1 2 0(II) 3 0 6 2130E B 1 2 230 6解得 ， ， 7 7 123f(z ,z ,z ) z z . 2221231方法二：（配方法）由于123232f(x ,x ,x ) x x x 3x x ) 2x 6x xxx )3(x x ) .2122223221231 21 31223123z

13、1xx2x )32132z(x x ) ,f (z ,z ,z ) z z .令 2122223123z x33（21）（本題滿(mǎn)分 11 分）1 2 a1 a 2a A= 1 3 0B= 0 1 1 .2 7 a1 1 1a;(I)求滿(mǎn)足 P.1 2 a(II)1 a 2A 1 3 0 B0 1 1 1 a 2 1 a 【解析】(I)2 7 a1 1 11 2 2 1 2 21 2 2 1 2 21 2 2 1 2 2 (A B) 1 3 0 0 1 10 1 2 0 1 10 1 2 0 1 1 . 0 0 0 0 0 02 7 2 1 1 1 0 3 6 0 3 3 636464 p k

14、21 ,p k 21 ,p k 21 . (II) 311223 101010 3 6k 4 6k 4 6k 123P= 1 2k 1 2k 1 2k ,k k . 12323kkk123（22）（本題滿(mǎn)分 11 分）1 設(shè)隨機(jī)變量XYXP X 1 P X 1 Y 服從參數(shù)為2令Z . 求 X,Z ;(I)求.(II) X,Z E 0 1 E E X Y ， ， 【解析】(I)22 X,Z E .Z0 ，11 1 Y 0 P X 1 Y 0 P Y 0 P Y 0 e P Z 0 P X ， ， 1 ek 22(II)1 P Z k P X 1 Y k ， P Y k 22 k!1 ek 1 P Zk P X 1 Y k ， P Y k ,k