數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)期末試題及解答

1、3分，共 15分）x12ALR。Aff( ) yk hf(x ,yk)yc11yk hf(x ,yk)ych(yp. . fa,b.- x103k0 A(kyk hf(x ,yp)2(ykyk hf(xk ,yp)yc)(x)A0,A ,A A(B) A 滿足（(B) 某個(gè)x0)x )ypkpyp(D)yk2x21, n 0)，則稱3分，共 15分）x12ALR。Aff( ) yk hf(x ,yk)yc11yk hf(x ,yk)ych(yp. . fa,b.- x103k0 A(kyk hf(x ,yp)2(ykyk hf(xk ,yp)yc)(x)A0,A ,A A(B) A 滿足（(B

2、) 某個(gè)x0)x )ypkpyp(D)yk2x21, n 0)，則稱 x有 4位有效數(shù)字 . 12）時(shí)，則存在唯一單位下三角陣kf (f (yk(B)yc)ykyc(yp4，則 f 滿足104L0 x0)x )hf(xkycykhf(x ,yk)ykyc)1,2A1(C) 和上(C)0 0 ,n)數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)考試樣卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題1、數(shù)值 x的近似值 x*=0.1215102，若滿足(A) 2、若 為矩陣 A 的 k 階主子矩陣，則矩陣三角陣 R，使 A(A) 3、通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式 P(x)，只要滿足 ( ), 則 P(x)是不超過一次多項(xiàng)式。(A) 初始值 y0=0 (B

3、) 所有一階均差為 0 (C) 所有二階均差為 0 (D) 所有三階均差為 0 4、牛頓切線法求解方程 f(x)=0 的近似根，若初始值 x0滿足( )，則解的迭代數(shù)列一定收斂。(A)(C)5、改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是yp(A)ykyp(C)yk二、填空題（每小題 3分，共 15分）1、sin1有 2位有效數(shù)字的近似值 0.84的相對(duì)誤差限是2、設(shè) f(x)可導(dǎo)，求方程 x=f(x) 根的牛頓迭代格式是3、設(shè)4、在區(qū)間 上的插值型求積公式系數(shù)5、二階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是三、解答題（每小題 10 分，共 50 分）1、用列主元消去法解線性方程組-完整版學(xué)習(xí)資料分享4 01 12 062

4、3 f (x)dx Af( h) Bf(1h)，要求保留10 分，共 20 分）1(x(x1- x1x2x3的近似值，取初始值3 7 34 01 12 062 3 f (x)dx Af( h) Bf(1h)，要求保留10 分，共 20 分）1(x(x1- x1x2x3的近似值，取初始值3 7 3ynx )(xx )(x(x x )(x0 x1)593x0h2x ).(xx ).(x0(x02，進(jìn)行二次迭代。 f (xn,xn)xn)(xx1)(x0yn)x0)(xx2)f (xnx1)1,.yn ，并證明該方法是二階方法。(x(x01)x0)(xx1)(x0 x1).(xx2).(x0 xnx

5、n)1)2322、用牛頓法求3、已知有 y=f(x) 的函數(shù)表如下x 1 y 1 求其代數(shù)插值多項(xiàng)式并給出其余項(xiàng)。4、給出數(shù)值積分公式：hh確定 A、B 使得該數(shù)值積分公式的代數(shù)精度盡可能的高，并確定其代數(shù)精度為多少？5、用歐拉法解初值問題 4位有效數(shù)字。y x y(0 x 1,h 0.5)y(0) 1四、綜合題（每小題1、試?yán)脭?shù)值積分的方法推導(dǎo)求解初值問題的梯形公式為yn2、設(shè) l0(x)是以 n+1個(gè)互異點(diǎn) x0,x1,x2,xn 為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)l (x)試?yán)门ｎD插值法證明：l0(x)-完整版學(xué)習(xí)資料分享3分，共 15分）12x10 分，共 50 分）412114383xx

6、22121 52 2P (x)a12a13a1- 8k 101012323593，f (x)(2(2a2 14a29a210 xk5939r319262125a0a037216xk13r223470,x22x, (x)a x a x21a13分，共 15分）12x10 分，共 50 分）412114383xx22121 52 2P (x)a12a13a1- 8k 101012323593，f (x)(2(2a2 14a29a210 xk5939r319262125a0a037216xk13r223470,x22x, (x)a x a x21a1a21f(xk)f (xk)1 1r12 01r0

7、4,x1x5249201 21119r2231227112f(x)f (x)2.5002.450，則（3分）10( )r14 0905972分13分（3分）1258分14320.006253r323(231x 6)，rxn11162(xnx) 7 分n數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)考試樣卷參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題1、D 2、D 3、C 4、B 5、D 二、填空題（每小題 3分，共 15分）1、2、3、6 4、b-a 5、O(h3) 三、解答題（每小題1、解：232300回代得2、解：f(x)x0 x1x23、解法一： 待定系數(shù)法設(shè)a0a0a0-完整版學(xué)習(xí)資料分享P (x)(3分)1 3 7(1分)yi1

8、3 7 f (x0) fx0,x1(x x0)（4分）f ( )2f (B13hfdxfx3dx- 2(3分)一階差商24 fx ,x ,x2(6x)2hBf (x)dx(x)23(x)0 x2二階差商1 0 1x1,xA012x2h3，右 hx3，右=x 1xP (x)(3分)1 3 7(1分)yi1 3 7 f (x0) fx0,x1(x x0)（4分）f ( )2f (B13hfdxfx3dx- 2(3分)一階差商24 fx ,x ,x2(6x)2hBf (x)dx(x)23(x)0 x2二階差商1 0 1x1,xA012x2h3，右 hx3，右=x 1x x0)(1)(x時(shí)，該公式精確

9、成立，則12Bhf(=212（1分）x x1)2)(x2分h32h)1h3)4分h32( h)3 h (1h)3（3分）hf(1hh)232 3)332491分h (1h)2h423左31分h3左1分即法二： Lagrange插值法2P2(x) yili(x)i 0(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (x 1)(x 2)(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)x2 x 1法三： Newton 插值法xi123 （3分）N2(x)1 2(x 1) (x 1)(x 2)x2 x 1余項(xiàng)為 R (x)4、解：令A(yù)A即h令h左=令h左=h-完整版學(xué)習(xí)資料分享2次1 n6

10、分2分2分10 分，共 20 分）11y1)1y1h y (x )2 1y(xn)h h O(h3)1)- 1分y(xn)yn(y(xn)ynny(xn)y (xn) y(xn) h O2次1 n6分2分2分10 分，共 20 分）11y1)1y1h y (x )2 1y(xn)h h O(h3)1)- 1分y(xn)yn(y(xn)ynny(xn)y (xn) y(xn) h O(h2)y (xn)2ynxxnh2xn )y (xn)hh2y(xn) yh2n21n 1 f (xn,1y (xn)2 f(xn,，右邊的f(xn,y(xn) f(xn y(xn(2) O(h3)f (x,y(x

11、)dxyn)ynhyn)n 11, 1)2分2分h2f (xn12f (xny(xn ) f (xn,y(xn)4分1,O(h3)O(h3)1,1f (xn y(xn )yn )(1) yn )1, 112分1即公式的代數(shù)精度為5、解：使用歐拉法計(jì)算公式為yn yn hf(x ,yn)yn h(xn yn)(1 h)yn hxn1.5yn 0.5xny1 1.5y0 0.5x01.5 1 0.5 01.500y2 1.5y1 0.5x11.5 1.5000 0.5 0.52.500四、綜合題（每小題1、解：y(xn )yn階次的證明：即證y(xnyn令yny(xn)y(xn)(1)(2), 得

12、y(xn2、-完整版學(xué)習(xí)資料分享x0)0 0,1lNn(x)Nn(x)- 1,l0(xk(x(x0(0l ( )(1x1)l0(xi)(xi)x0)x1)n 1)(0n 1)!(x(x00,l0(l0(x0)(x0)(x(x0(x)n 1)(x0)x1)x2),.l0(1(x0 x0)(xx1)(x00，故有x x0)(x(x(x0 xn)x1)(x0 x1)x2)x0)0 0,1lNn(x)Nn(x)- 1,l0(xk(x(x0(0l ( )(1x1)l0(xi)(xi)x0)x1)n 1)(0n 1)!(x(x00,l0(l0(x0)(x0)(x(x0(x)n 1)(x0)x1)x2),.l0(1(x0 x0)(xx1)(x00，故有x x0)(x(x(x0 xn)x1)(x0 x1)