2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第14章 推理與證明 第3講

1、PAGE11第5講數(shù)學(xué)歸納法考綱解讀1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題重點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的主要作用是證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式及數(shù)列問題難點(diǎn)考向預(yù)測從近三年高考情況來看，對本講并沒有直接涉及，當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式的證明，且其他方法不易證時(shí)，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明求解數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：1歸納奠基證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0n0N*時(shí)命題成立；2歸納遞推假設(shè)nn0，N*時(shí)命題成立，證明當(dāng)neqo,sup4011時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法1概

2、念辨析1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立2不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n到n1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)3用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223答案12342小題熱身1下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是Asin，0，Be1RC1eqf1,2eqf1,22eqf1,2n12eqblcrcavs4alco1f1,2n1nN*Dsinsincoscossin，R答案C解析數(shù)學(xué)歸納法是用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，由此可知C符合題意2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1eqf1an2,1

3、aa1，nN*，在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是A1B1aC1aa2D1aa2a3答案C解析驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是1aa23用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，nyn能被y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n21N*命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真答案21解析由于步長為2，所以21后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為21題型eqavs4al一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，0,2用數(shù)學(xué)歸納法證明：cosisinncosnisinn證明當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊cosisin，所以命題成立；假設(shè)當(dāng)n時(shí)，命題成立，即cosisincosisin，則當(dāng)n1時(shí)，cosisin1cosisincosisincosisincos

4、isincoscossinsinisincoscossincos1isin1，所以當(dāng)n1時(shí)，命題成立綜上，由和可得，cosisinncosnisinn數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)1思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少2注意點(diǎn)：由n時(shí)等式成立，推出n1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化差異，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程提醒：歸納假設(shè)就是證明n1時(shí)命題成立的條件，必須用上，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明：eqf12,13eqf22,35eqfn2,2n12n1eqfnn1,22n1

5、nN*證明當(dāng)n1時(shí)，左邊eqf12,13eqf1,3，右邊eqf111,2211eqf1,3，左邊右邊，等式成立假設(shè)n1，N*時(shí)，等式成立即eqf12,13eqf22,35eqf2,2121eqf1,221，當(dāng)n1時(shí)，左邊eqf12,13eqf22,35eqf2,2121eqf12,2123eqf1,221eqf12,2123eqf123212,22123eqf12252,22123eqf12,223，右邊eqf111,2211eqf12,223，左邊右邊，等式成立由知，對nN*，原等式成立題型eqavs4al二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式eqblcrc

6、avs4alco11f1,3eqblcrcavs4alco11f1,5eqblcrcavs4alco11f1,2n1eqfr2n1,2均成立證明當(dāng)n2時(shí)，左邊1eqf1,3eqf4,3，右邊eqfr5,2左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)n2，且N*時(shí)不等式成立即eqblcrcavs4alco11f1,3eqblcrcavs4alco11f1,5eqblcrcavs4alco11f1,21eqfr21,2則當(dāng)n1時(shí)，eqblcrcavs4alco11f1,3eqblcrcavs4alco11f1,5eqblcrcavs4alco11f1,21eqblcrcavs4alco11f1,211eqfr21,

7、2eqf22,21eqf22,2r21eqfr4284,2r21eqfr4283,2r21eqfr23r21,2r21eqfr211,2當(dāng)n1時(shí)，不等式也成立由知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題1適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法2關(guān)鍵：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n成立，推證n1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差求商比較法、放縮法等證明求證：當(dāng)n1nN*時(shí)，12neqblcrcavs4alco11f1,2f1,3f1,nn2證明1當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，命題成立當(dāng)n2時(shí)，左

8、邊12eqblcrcavs4alco11f1,2eqf9,222，命題成立2假設(shè)當(dāng)n2時(shí)命題成立，即12eqblcrcavs4alco11f1,2f1,2則當(dāng)n1時(shí)，有左邊121eqblcrcavs4alco1blcrcavs4alco11f1,2f1,f1,112eqblcrcavs4alco11f1,2f1,12eqf1,11eqblcrcavs4alco11f1,2f1,12eqf,211eqblcrcavs4alco11f1,2f1,當(dāng)2時(shí)，1eqf1,2eqf1,1eqf1,2eqf3,2，左邊2eqf,211eqf3,2221eqf3,212這就是說當(dāng)n1時(shí)，命題成立由12可知當(dāng)n

9、1nN*時(shí)原命題成立題型eqavs4al三歸納猜想證明如圖，P11，y1，P22，y2，Pnn，yn0y1y20，所以a12，同理可得a26，a3122依題意，得neqfan1an,2，yneqr3eqfanan1,2，由此及yeqoal2,n3n得eqblcrcavs4alco1r3fanan1,22eqf3,2an1an，即anan122an1an由1可猜想：annn1nN*下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立；假設(shè)當(dāng)n時(shí)命題成立，即有an1，則當(dāng)n1時(shí)，由歸納假設(shè)及a1a22aa1得a11221a1，即aeqoal2,1221a11120，解得a112或a110，nN*1求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；2證明通項(xiàng)公式的正確性解1當(dāng)n1時(shí)，由已知得a1eqfa1,2eqf1,a11，aeqoal2,12a120所以a1eqr31a10當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a2eqfa2,2eqf1,a21，將a1eqr31代入并整理得aeqoal2,22eqr3a220所以a2eqr5eqr3a20同理可得a3eqr7eqr5猜想aneqr2n1eqr2n1nN*2證明：由1知，當(dāng)n1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)n3，N*時(shí)