第六章-用有限元法解平面問題-童中華張課件

1、彈性力學(xué)主講：童中華安徽工業(yè)大學(xué)彈性力學(xué)簡明教程第三版徐芝綸彈性力學(xué)主講：童中華彈性力學(xué)簡明教程6+ 上一講回顧有限元法是將連續(xù)體離散化，用有限大單元取代微分體，將問題轉(zhuǎn)化為適合數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題的求解方法。常用有限元軟件：ANSYS，MSC.Marc，ADINA， ABAQUS有限元分析的步驟取結(jié)點位移為基本未知量，求位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力，求結(jié)點力，荷載向結(jié)點移置，裝配單元，進行整體分析。Ni, Nj, Nm稱為形(態(tài))函數(shù)。6+ 上一講回顧有限元法是將連續(xù)體離散化，用有限大單元取代6+ 上一講回顧6-3單元的位移模式與解答的收斂性6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣6-5單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣

2、6-6荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣6-7結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程有限元分析詳細步驟6+ 上一講回顧6-3單元的位移模式與解答的收斂性有限元第六章 用有限單元法解平面問題6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程6+ 小結(jié)第六章 用有限單元法解平面問題6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣B 稱為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，用分塊矩陣表示：6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣B 稱為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，6-4 單元的應(yīng)變列陣和

3、應(yīng)力列陣應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)變列陣應(yīng)力列陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)變列陣應(yīng)力列6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣應(yīng)變列陣位移列陣應(yīng)力列陣對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。位移的誤差量級為O(x)2，應(yīng)力和應(yīng)變的誤差量級為O(x)，相鄰單元的應(yīng)力和應(yīng)變不連續(xù)。 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣應(yīng)變列陣位移列陣應(yīng)力列陣對考慮連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型中的一個單元6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣(1)將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。(2)單元與周圍的單元在邊

4、界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點i, j, m互相聯(lián)系。(3)假想將單元與結(jié)點切開，則單元僅僅受到結(jié)點力作用?？紤]連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型中的一個單元6-5 單元的以沿坐標(biāo)正向為正，是作用于單元上的“外力”。單元作用于結(jié)點的力為假想將單元與結(jié)點i 切開，則單元僅僅受到結(jié)點力 6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣已知：單元結(jié)點處位移求：單元受到的結(jié)點力應(yīng)用虛功方程求解以沿坐標(biāo)正向為正，是作用于單元上的“外力”。假想將單元與結(jié)點【虛功方程】外力（結(jié)點力） Fe在虛位移(d*)e上的虛功等于應(yīng)力s在虛應(yīng)變e*上的虛功。6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移(d*)e，則單元內(nèi)任一點 (x

5、,y)處的虛位移為d*=N(d*)e，虛應(yīng)變?yōu)閑*=B(d*)e 。單元勁度矩陣【虛功方程】外力（結(jié)點力） Fe在虛位移(d*)e上的虛功等6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣三角形單元中應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚虼薆是常量，得6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣三角形單元中應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣（1）k是66的方陣，k中每一個元素都表示發(fā)生單元結(jié)點位移時所引起的結(jié)點力，與單元的形狀及方位有關(guān)，但與單元的大小無關(guān)。（2）krs=ksrT，所以k是對稱矩陣。6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣（1）k是66的方陣，6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣ai、bi、ci (i,j,m)BDekF

6、eDBeSe6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣ai、bi、ci 6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣假定只有結(jié)點i發(fā)生位移ui，如右圖(a)所示，求得結(jié)點力和應(yīng)力為：其中， 。相應(yīng)的結(jié)點位移及結(jié)點力如圖所示單元應(yīng)力如圖(b)中單元的兩直角面所示。根據(jù)單元的平衡條件,還可得出斜面上的應(yīng)力 。若將這三個面上的應(yīng)力分別按靜力等效原則移置到結(jié)點上去，可以得到圖(a)中相同的結(jié)點力。6-5 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣假定只有結(jié)點i發(fā)生位移u6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣在FEM中，與結(jié)力相似，須將作用于單元的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載（1）剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及

7、對同一點的主矩也相同。（2）變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)考慮，得出移置荷載不是唯一解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，而且也滿足了前者條件。FEM用變形體的靜力等效原則。6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣在FEM中，與結(jié)6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【集中力的移置公式】設(shè)原荷載 fP=(fpx fpy)T 是作用于單元中任一點(x,y)為單位厚度上的作用力，移置荷載FLe=(FLi FLj FLm)T，作用于結(jié)點i,j,m。 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移(d*)e ，則(x,

8、y)點的虛位移為d*=N(d*)e，使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：對于任意的虛位移(d*)e，虛功方程都必須滿足，得6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【集中力的移置公6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣yoxijmf(集中力)fpxfpyp6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣yoxijmf(6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【體力的移置公式】如果單元受到分布體力f (fx, fy)T作用，可將微分體tdxdy上的體力ftdxdy當(dāng)作集中力，利用(6-40)，在區(qū)域A內(nèi)積分得例如，單元ijm的密度為r，試求自重的等效結(jié)點荷載線性位移模式下，重力移置到每個結(jié)點的荷載

9、均為1/3自重。6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【體力的移置公式6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【面力的移置公式】如果單元某邊界上受到分布面力 作用，可將微分面tds上的面力ftds當(dāng)作集中力，利用(6-40)，在邊界Ss上積分得例如，單元在ij邊界上受x方向分布面力q，求等效結(jié)點荷載若在ij邊界上受x方向線性分布面力q，試求等效結(jié)點荷載。6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【面力的移置公式6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【面力的剛體靜力等效移置方式】已知在ij邊受有面力q，則移置到i、j結(jié)點上的等效節(jié)點力為：當(dāng)某一邊上有三角形分布的面力時，可由剛體靜力等效

10、直接寫出y0 xijmy0 xijm6-6 荷載向結(jié)點移置、單元的結(jié)點荷載列陣【面力的剛體靜力6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程結(jié)點平衡方程：假設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則結(jié)點i受到(1)圍繞i結(jié)點的每個單元對i 結(jié)點(有結(jié)點力)的反力(-Fi)的作用, (2)外力荷載移置的結(jié)點荷載FLi的作用，平衡方程為外荷載移置到結(jié)點荷載FLe，為單元的外力分析；在單元分析中，從單元的結(jié)點位移de 求位移分布d求應(yīng)變e求應(yīng)力s求結(jié)點力Fe，為單元的內(nèi)力分析；把結(jié)點力用結(jié)點位移表示，則6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程結(jié)點平衡方程：外荷載移6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程i,j,m是單元內(nèi)部的結(jié)點

11、編號，稱為局部編號；i=1,2, ,n是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點編號，稱為整體編號將式(6-47)按整體結(jié)點編號排列，得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 整體勁度矩陣整體結(jié)點位移列陣整體結(jié)點荷載列陣6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程i,j,m是單元內(nèi)部的6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程例：對角受壓的正方形薄板，荷載沿厚度均勻分布，為2N/m，求其變形與應(yīng)力。根據(jù)對稱性可只取1/4進行研究。結(jié)構(gòu)離散化、結(jié)點編號形函數(shù)B彈性矩陣DekiKFLiFLSe求解y1N/mxIIIII6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程例：對角受壓的正方形薄6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程單元號IIIIIIIV局部編碼整體編碼i3

12、526j1253m2435y1N/mx解：(1)將1/4結(jié)構(gòu)離散化，如圖，對單元和結(jié)點進行編號，列表如下(2)計算單元勁度矩陣IIIII6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程單元號IIIIIIIV6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程y1N/mxI,II,IV三個單元的k相同，但與III單元的k不同，本例中計算得到的結(jié)果四種單元k都相同。(2)計算單元勁度矩陣(3)將單元荷載向結(jié)點移置。IIIII6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程y1N/mxI,II,6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程【裝配整體勁度矩陣】 建立2n*2n整體勁度矩陣，全部充0，建立結(jié)點位移列表，每個結(jié)點的兩個位移連在一起； 將

13、單元勁度矩陣的每一個子矩陣krs按結(jié)點編號加到對應(yīng)的位置上去；6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程【裝配整體勁度矩陣】 單元號IIII局部編碼整體編碼i32j15m23k23k33k31k32k13k11k12k23k21k22k22k25k52k55k53k32k35k33單元號IIII局部編碼整體編碼i32j15m23k23k336-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程【裝配整體荷載列陣】 建立2n*1整體荷載矩陣，全部充0； 將單元荷載按結(jié)點編號加到對應(yīng)的位置上去；(4)裝配整體勁度矩陣和整體荷載列陣，建立求解結(jié)點位移的線性方程組。(5)由于存在剛體位移，k為奇異陣，需要引入位移約束劃去這些位移編號對應(yīng)的行和同編號的列，得到的整體勁度矩陣是非奇異矩陣，存在逆矩陣。求解得到整體位移列陣，并進一步可求得各單元的應(yīng)力，應(yīng)變。6-7 結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點平衡方程【裝配整體荷載列陣】 6+ 小結(jié)荷載向結(jié)點移置用變形體的靜力等效原則，集中力移置6+ 小結(jié)荷載向結(jié)點移置用變形體的靜力等效原則，集中力移置6+ 小結(jié)【裝配整體荷載列陣】 建立2n*1整體荷載矩陣，全部充0； 將單元荷載按結(jié)點編號加到對應(yīng)的位置上去；求解結(jié)點位移由于存在剛體位移，k為奇異陣，方程不能求解，需要引入位移約束。劃去這