第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件

1、1.線性離散系統(tǒng)的基本概念2.離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式及采樣定理3.Z變換4.線性常系數(shù)差分方程5.脈沖傳遞函數(shù)6.采樣控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析二、線性離散系統(tǒng)1.線性離散系統(tǒng)的基本概念二、線性離散系統(tǒng)模擬信號(hào)（即連續(xù)信號(hào)）：時(shí)間上連續(xù)，幅值上也連續(xù)的信號(hào)。 離散的模擬信號(hào)：時(shí)間上離散，幅值上連續(xù)的信號(hào)。 數(shù)字信號(hào)：時(shí)間上離散，幅值上也是離散的信號(hào)；或者說，時(shí)間上離散，幅值是用一組數(shù)碼表示的信號(hào)。1. 線性離散系統(tǒng)的基本概念 1.1 信號(hào)模擬信號(hào)（即連續(xù)信號(hào)）：時(shí)間上連續(xù)，幅值上也連續(xù)的信號(hào)。 離1.2 采樣與量化 采樣：將模擬信號(hào)按一定時(shí)間采樣成離散的模擬信號(hào)。 量化：采用一組數(shù)碼來逼近離散

2、模擬信號(hào)的幅值，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號(hào)。 1.2 采樣與量化 采樣：將模擬信號(hào)按一定時(shí)間采樣成離散的模 A / D變換器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)采樣保持器D/ A變換器模擬低通濾波器模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào) A / D通用或?qū)Ｓ貌蓴?shù)字信號(hào)模擬信號(hào)采樣保持信號(hào)量化電平數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)采樣保持信號(hào)量化電平1.3 自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類及特點(diǎn)連續(xù)控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)按包含的信號(hào)形式分類 1.3 自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類及特點(diǎn)連續(xù)控制系統(tǒng)按包含的信 連續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中均為模擬信號(hào) 連續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中均為模擬信號(hào) 離散控制系統(tǒng) 系統(tǒng)中既含有連續(xù)信號(hào)又含有離散模擬信號(hào)的混合系統(tǒng)。采樣控制系統(tǒng)是由連續(xù)的控

3、制對(duì)象、離散的控制器、采樣器和保持器等幾個(gè)環(huán)節(jié)所組成。 離散控制系統(tǒng) 系統(tǒng)中既含有連續(xù)信號(hào)又含有離散模擬信號(hào)的 在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設(shè)置采樣開關(guān)，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行斷續(xù)控制； 通常采樣周期遠(yuǎn)小于被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)； 采樣開關(guān)合上的時(shí)間遠(yuǎn)小于斷開的時(shí)間； 采樣周期通常是相同的。1.4 采樣系統(tǒng)的特點(diǎn) 在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設(shè)置采樣開關(guān)，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行斷續(xù)控2. 離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式及采樣定理2.1 離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式2.2 采樣函數(shù)的頻譜分析2.3 采樣定理2.4 信號(hào)的復(fù)現(xiàn)2. 離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式及采樣定理2.1 離散時(shí)間函數(shù) 開關(guān)打開時(shí)，沒有輸出；開關(guān)閉合時(shí)有輸出，值等于采

4、樣時(shí)刻的模擬量 2.1 離散時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式 采樣過程的特點(diǎn) 開關(guān)打開時(shí)，沒有輸出；開關(guān)閉合時(shí)有輸出，值等于采樣時(shí)刻 采樣函數(shù)采樣函數(shù) 為：= ， 的數(shù)學(xué)表達(dá)式 采樣函數(shù)采樣函數(shù) 為：= 第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件2.2 采樣函數(shù)的頻譜分析 把周期信號(hào)展成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，然后對(duì)它的頻率和振幅進(jìn)行分析，這就是頻譜分析。 頻譜分析2.2 采樣函數(shù)的頻譜分析 把周期信號(hào)展成復(fù)數(shù)形式的傅第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件 所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，重復(fù)周期為ws(采樣頻率)。 所以，理想采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信

5、號(hào)頻譜的周期延拓 如果信號(hào)最高頻譜超過ws/2，那么在理想采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)互相交疊，出現(xiàn)頻譜的“混淆”現(xiàn)象，當(dāng)出現(xiàn)頻譜混淆后，一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜，用基帶濾波恢復(fù)出來的信號(hào)就要失真。 如果信號(hào)最高頻譜超過ws/2，那么在理想采樣頻譜中2.3 采樣定理 采樣定理要解決的問題是：采樣周期選多大，才能將采樣信號(hào)較少失真地恢復(fù)為原來的連續(xù)信號(hào)。 香農(nóng)（Shannon）采樣定理 為了使信號(hào)得到很好的復(fù)現(xiàn)，采樣頻率應(yīng)大于等于原始信號(hào)最大頻率的二倍，即2.3 采樣定理 采樣定理要解決的問題是：采樣周期選多大2.4 信號(hào)的復(fù)現(xiàn) 信號(hào)復(fù)現(xiàn)定義 把采樣信號(hào)恢復(fù)為原來連續(xù)信號(hào)的過程通常稱為信

6、號(hào)的復(fù)現(xiàn)。 信號(hào)復(fù)現(xiàn)方法加入理想濾波器 （理論上） 加入保持器（實(shí)際上） 2.4 信號(hào)的復(fù)現(xiàn) 信號(hào)復(fù)現(xiàn)定義 把采樣信號(hào)恢復(fù)為原來連 理想采樣的頻譜就不會(huì)產(chǎn)生混疊，因此有(1)理想濾波器 (1)理想濾波器采樣信號(hào)通過此濾波器后，就可濾出原信號(hào)的頻譜： 也就恢復(fù)了模擬信號(hào)：y(t)=xa(t)G(jw)g(t)G(jw) T xa(t) y(t)=xa(t) 0 wS/2 采樣信號(hào)通過此濾波器后，就可濾出原信號(hào)的頻譜：G(jw)G零階保持器的傳遞函數(shù)為：(2)零階保持器零階保持器的傳遞函數(shù)為：(2)零階保持器零階保持器的幅頻與相頻特性零階保持器的幅頻與相頻特性3. Z變換3.1 Z變換的定義3.2

7、 Z變換的方法3.3 Z變換的性質(zhì)3.4 Z反變換3. Z變換3.1 Z變換的定義對(duì)其進(jìn)行拉氏變換：3.1 Z變換的定義對(duì)其進(jìn)行拉氏變換：3.1 Z變換的定義常見信號(hào)的z變換序列 z變換 ROC常見信號(hào)的z變換序列 級(jí)數(shù)求和法 部分分式法3.2 Z變換的方法 級(jí)數(shù)求和法3.2 Z變換的方法求1*(t)的Z變換 。 級(jí)數(shù)求和法求1*(t)的Z變換 。 級(jí)數(shù)求和法求 的F(z)。求 的F(z)。求解 的Z變換 。 部分分式法 首先把 分解為部分分式之和，然后再對(duì)每一部分分式求Z變換。 求解 的Z變換 線性性質(zhì)3.3 Z變換的性質(zhì) 線性性質(zhì)3.3 Z變換的性質(zhì) 時(shí)移特性 超前定理 時(shí)移特性 超前定理

8、 復(fù)位移定理 初值定理如果Z時(shí)F(z)的極限存在，則函數(shù)的初值為 復(fù)位移定理 初值定理如果Z時(shí)F(z)的極限存在，則函數(shù) 終值定理 終值定理 卷積和定理 若 則 式中 卷積和定理 若 冪級(jí)數(shù)展開法 部分分式法 反演積分法（留數(shù)法）3.4 Z反變換 冪級(jí)數(shù)展開法3.4 Z反變換 冪級(jí)數(shù)展開法 用長除法把 按降冪展成冪級(jí)數(shù)，然后求得 ，即將 展成 對(duì)應(yīng)原函數(shù)為 冪級(jí)數(shù)展開法 用長除法把 按降冪展成冪第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件部分分式法部分分式法 反演積分法（留數(shù)法）在反演積分法中，離散序列 等于 各個(gè)極點(diǎn)上留數(shù)之和，即式中表示 的第個(gè)極點(diǎn)。 單極點(diǎn)的情況 重極點(diǎn)的

9、情況若 有n階重極點(diǎn) ，則 反演積分法（留數(shù)法）在反演積分法中，離散序列 第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件4. 線性常系數(shù)差分方程4.1 差分方程的定義4.2 差分方程的解法4. 線性常系數(shù)差分方程4.1 差分方程的定義 對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值 xc(k) 不僅與這一時(shí)刻的輸入值 xr(k)有關(guān)，而且與過去時(shí)刻的輸入值xr(k-1)， xr(k-2)有關(guān)，還與過去的輸出值xc(k-1)， xc(k-2)有關(guān)?？梢园堰@種關(guān)系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+ =b0 xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k

10、-2)+ 當(dāng)系數(shù)均為常數(shù)時(shí)，上式為線性定常差分方程。4.1 差分方程的定義 對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值4.2 差分方程的解法已知采樣系統(tǒng)的差分方程是 迭代法初始條件： 4.2 差分方程的解法已知采樣系統(tǒng)的差分方程是 迭代法初始條解：令k=1 ，有 令k=2，有 同理，求出 解：令k=1 ，有 令k=2，有 同理，求出 第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件 差分方程z-1的代數(shù)方程, 再由逆z變換求得時(shí)域解。 Z變換法 差分方程z-1的代數(shù)方程, 再由逆z變換求得時(shí)求解初始條件：xc(0)=0, xc(1)=1 求解初始條件：xc(0)=0, x

11、c(1)=1 解：由超前定理，令 于是 代入原式得 解：由超前定理，令 于是 代入原式得 整理后得 整理后得 5. 脈沖傳遞函數(shù)5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義5.2 脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)5.3 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)5.4 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)5. 脈沖傳遞函數(shù)5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義 在線性離散系統(tǒng)中，當(dāng)初始值為零時(shí)，系統(tǒng)離散輸出信號(hào)的Z變換與離散輸入信號(hào)的Z變換之比。5.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義 在線性離散系統(tǒng)中，當(dāng)初始值為由單位脈沖響應(yīng)推出由拉氏變換求出由差分方程求出5.2 脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)由單位脈沖響應(yīng)推出5.2 脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo) (1) 單位脈沖響應(yīng)g(t)：輸

12、入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)(t)。g(t)是連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換。 (2) 當(dāng)輸入信號(hào)為延時(shí)的單位脈沖信號(hào)(t-nT)時(shí)，其輸出信號(hào)為延時(shí)的單位脈沖響應(yīng)g(t-nT)。 (3) 若輸入信號(hào)為脈沖序列時(shí)，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理其輸出信號(hào)為一系列脈沖響應(yīng)之和。由單位脈沖響應(yīng)推出 (1) 單位脈沖響應(yīng)g(t)：輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)求脈沖傳遞函數(shù)的一般步驟： (1) 由G(s)求g(t); g(t)=L-1G(s) (2)注意：G(z)表示脈沖傳遞函數(shù)，G(s)表示連續(xù)傳遞函數(shù)。并不是簡單地將s換成z得到的。求脈沖傳遞函數(shù)的一般步驟： (1) 由G(s)求g(t)例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)r

13、(t)r*(t)T 1/sc(t)例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（T=0.5)r(t)r*(t)T 1/(2s+1)c(t)例：求圖示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)r(t)r*(t)T 1/sc( 串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況5.3 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況5.3 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況解：對(duì)于圖1，它的脈沖傳遞函數(shù)為求上述兩種連接形式的脈沖傳遞函數(shù)。T=0.5解：對(duì)于圖1，它的脈沖傳遞函數(shù)為求上述兩種連接形式的脈沖傳遞對(duì)于圖2，脈沖傳遞函數(shù)為對(duì)于圖2，脈沖傳遞函數(shù)為結(jié)論：中間具有采樣器的環(huán)節(jié)，總的脈沖傳函等于各脈沖環(huán)節(jié)傳函之積

14、，而串聯(lián)環(huán)節(jié)中間沒有采樣器時(shí)，其總的傳函等于各環(huán)節(jié)相乘積后再取Z變換。結(jié)論：中間具有采樣器的環(huán)節(jié)，總的脈沖傳函等于各脈沖環(huán)節(jié)傳函之 在分析離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意在閉環(huán)的各個(gè)通道以及環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)，因?yàn)橛?、無采樣開關(guān)所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。5.4 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 在分析離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意在閉環(huán)的各個(gè)通道以 具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng) 具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng) 具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng) 具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng) 具有有擾動(dòng)信號(hào)輸入的閉環(huán)離散系統(tǒng) 具有有擾動(dòng)信號(hào)輸入的閉環(huán)離散系統(tǒng) 6. 采樣控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 6.1 用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響

15、應(yīng)6.2 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析6.3 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差6.4 采樣控制系統(tǒng)的根軌跡6. 采樣控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 6.1 用Z變換法求系統(tǒng)的單位已知系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。6.1 用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)已知系統(tǒng)如圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。6.1 用Z變換法求解：解：第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件在上例中加入保持器后再求輸出量。在上例中加入保持器后再求輸出量。解：解：結(jié)論：由此結(jié)果看出，由于增加了保持器，使得系統(tǒng)輸出量的超調(diào)量增加了。結(jié)論：由此結(jié)果看出，由于增加了保持器，使得系統(tǒng)

16、輸出量的超調(diào)量 線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)均位于s平面的左半部分； 線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)。6.2 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 Z平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)所有極點(diǎn)均位于s 在s平面內(nèi) 在z平面內(nèi) 0,右半平面內(nèi) z 1,單位圓外 =0, 虛軸 z =1,單位圓周 0, 左半平面 z 1,單位圓內(nèi) s平面與z平面的映射關(guān)系： 如果復(fù)變量s1在s平面左半平面內(nèi)移動(dòng)，即 0, 則對(duì)應(yīng)z 1,其運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)于z平面上單位圓內(nèi)部，幅角隨頻率而變。 在s平面內(nèi) j0j/Tj/2T-j/2T-j/Ts平面z平

17、面ReIm10-1 =-/T =/T =0j0j/Tj/2T-j/2T-j/Ts平面z平面第二章-計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)2(離散系統(tǒng)與Z變換)-課件10/s(s+1)C(s)R(s)+-E(s)E*(s)T=1解：由開環(huán)系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)：得開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：10/s(s+1)C(s)R(s)+-E(s)E*(s)T=由閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程，求離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程根：閉環(huán)特征方程根：z1=-0.076，z2=-4.876，位于單位圓外。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。由閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程，求離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程根：閉環(huán)特6.3 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差6.3 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 單位階躍輸入

18、時(shí)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 單位階躍輸入時(shí)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 拋物線函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 拋物線函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)0型系統(tǒng)： I型系統(tǒng)： II型系統(tǒng)： 總 結(jié)1. 離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)分析工具、穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性、靜態(tài)特性、校正與綜合等方面都具有一定的聯(lián)系和區(qū)別，許多結(jié)論都具有相類同的形式，在