電磁場(chǎng)基本方程

1、電磁場(chǎng)基本方程第一頁，共42頁。本章內(nèi)容安排2.1 靜態(tài)電磁場(chǎng)基本定律和基本場(chǎng)矢量 2.2 法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律2.3 麥克斯韋方程組2.4 電磁場(chǎng)的邊界條件2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量2.6 唯一性定理第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二頁，共42頁。2.1 靜態(tài)電磁場(chǎng)基本定律和基本場(chǎng)矢量2.1.1 庫侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度兩點(diǎn)電荷間的作用力 其中，K是比例常數(shù)，r是兩點(diǎn)電荷間的距離，r為從q1指向q2的單位矢量。若q1和q2同號(hào)，該力是斥力，異號(hào)時(shí)為吸力。第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三頁，共42頁。比例常數(shù)K與力，電荷及距離所用單位有關(guān)。在SI制中，庫侖定律表達(dá)為 式中，q1和q2的單位是庫侖(C

2、)，r的單位是米(m)，0是真空的介電常數(shù): 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第四頁，共42頁。設(shè)某點(diǎn)試驗(yàn)電荷q所受到的電場(chǎng)力為F，則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為由庫侖定律知，在離點(diǎn)電荷q距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第五頁，共42頁。2.1.2 高斯定理，電通量密度除電場(chǎng)強(qiáng)度E外，描述電場(chǎng)的另一個(gè)基本量是電通量密度D，又稱為電位移矢量。在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中，電通量密度由下式定義: 是媒質(zhì)的介電常數(shù)，在真空中=0 ，則對(duì)真空中的點(diǎn)電荷q有，電通量為第二章 電磁場(chǎng)基本方程第六頁，共42頁。通量?jī)H取決于點(diǎn)電荷量q，而與所取球面的半徑無關(guān)。根據(jù)立體角概念可知，當(dāng)所取封閉面非球面時(shí), 穿過它的電通量將與穿過一個(gè)球面

3、的相同，仍為q如果在封閉面內(nèi)的電荷不止一個(gè)，則利用疊加原理，穿出封閉面的電通量總和等于此面所包圍的總電量 1 高斯定理積分形式 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第七頁，共42頁。2 高斯定理微分形式若封閉面所包圍的體積內(nèi)的電荷是以體密度v分布的，則所包圍的總電量為 上式對(duì)不同的V都應(yīng)成立，則兩邊被積函數(shù)必定相等，于是， 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第八頁，共42頁。2.1.3 比奧-薩伐定律，磁通量密度兩個(gè)載流回路間的作用力 r是電流元Idl至Idl的距離，0是真空的磁導(dǎo)率: 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第九頁，共42頁。矢量B可看作是電流回路l作用于單位電流元(Idl=1 Am)的磁場(chǎng)力，表征電流回路l在其周圍建

4、立的磁場(chǎng)特性，稱為磁通量密度或磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁通量密度為B的磁場(chǎng)對(duì)電流元Idl的作用力為 運(yùn)動(dòng)速度為v的電荷Q表示，第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十頁，共42頁。其中A為細(xì)導(dǎo)線截面積，得對(duì)于點(diǎn)電荷q，上式變成 通常將上式作為B的定義公式。點(diǎn)電荷q在靜電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力為qE，因此，當(dāng)點(diǎn)電荷q以速度v在靜止電荷和電流附近時(shí)，它所受的總力為 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十一頁，共42頁。2.1.4 安培環(huán)路定律，磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)于無限長(zhǎng)的載流直導(dǎo)線，若以為半徑繞其一周積分B，可得：在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中，H由下式定義： 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十二頁，共42頁。H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，是媒質(zhì)磁導(dǎo)率。在真空中0 ，則稱之為安培環(huán)路定律。

5、表明：磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流I計(jì)算一些具有對(duì)稱特征的磁場(chǎng)分布 因?yàn)镾面是任意取的，所以必有第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十三頁，共42頁。2.1.5 兩個(gè)補(bǔ)充的基本方程1 基本方程一靜電場(chǎng)中E沿任何閉合路徑的線積分恒為零:利用斯托克斯定理得說明：靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)即保守場(chǎng)靜電場(chǎng)的保守性質(zhì)符合能量守恒定律，與重力場(chǎng)性質(zhì)相似物體在重力場(chǎng)中有一定的位能第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十四頁，共42頁。2 基本方程二靜磁場(chǎng)的特性則正好相反，說明：自然界中并不存在任何單獨(dú)的磁荷，磁力線總是閉合的閉合的磁力線穿進(jìn)封閉面多少條，也必然要穿出同樣多的條數(shù)結(jié)果使穿過封閉面的磁通量恒等于零第二章 電磁場(chǎng)

6、基本方程第十五頁，共42頁。2.2 法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律2.2.1 法拉第電磁感應(yīng)定律1 定律內(nèi)容導(dǎo)線回路所交鏈的磁通量隨時(shí)間改變時(shí)，回路中將感應(yīng)一電動(dòng)勢(shì)，而且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)正比于磁通的時(shí)間變化率。楞次定律指出了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的極性，即它在回路中引起的感應(yīng)電流的方向是使它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)阻礙磁通的變化。2 定律數(shù)學(xué)表達(dá)式第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十六頁，共42頁。3 定律積分形式說明：右邊第一項(xiàng)是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化在回路中“感生”的電動(dòng)勢(shì)第二項(xiàng)是導(dǎo)體回路以速度v對(duì)磁場(chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的“動(dòng)生”電動(dòng)勢(shì)。第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十七頁，共42頁。4 定律微分形式意義：隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)，稱該電場(chǎng)為

7、感應(yīng)電場(chǎng)，不同于由電荷產(chǎn)生的庫侖電場(chǎng)庫侖電場(chǎng)是無旋場(chǎng)即保守場(chǎng)而感應(yīng)電場(chǎng)是旋渦場(chǎng)，其旋渦源就是磁通的變化 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十八頁，共42頁。2.2.2 位移電流和全電流定律1 微分形式基本方程2 電荷守恒定律積分形式第二章 電磁場(chǎng)基本方程第十九頁，共42頁。微分形式3 微分形式的電流連續(xù)性方程第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十頁，共42頁。4 位移電流密度即J d應(yīng)用斯托克斯定理，便得到其積分形式：說明：磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十一頁，共42頁。2.2.3 全電流連續(xù)性原理對(duì)任意封閉面S有 即穿過任一封閉面的各類電流之和恒為零。2

8、.3 麥克斯韋方程組2.3.1 麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十二頁，共42頁。麥克斯韋方程組及電流連續(xù)性方程 微分形式積分形式法拉第定律全電流定律高斯定理磁通連續(xù)性定理電流連續(xù)方程第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十三頁，共42頁。四個(gè)方程的物理意義時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)電流和時(shí)變電場(chǎng)都會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)穿過任一封閉面的電通量等于此面所包圍的自由電荷電量 穿過任一封閉面的磁通量恒等于零此外，麥?zhǔn)戏匠探M中的四個(gè)方程并不都是獨(dú)立第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十四頁，共42頁。2.3.2 本構(gòu)關(guān)系和波動(dòng)方程1 本構(gòu)關(guān)系對(duì)于簡(jiǎn)單媒質(zhì)，其本構(gòu)關(guān)系為對(duì)于真空(或空氣) 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二

9、十五頁，共42頁。2 媒質(zhì)分類 的媒質(zhì)稱為理想介質(zhì) 的媒質(zhì)稱為理想導(dǎo)體 的媒質(zhì)統(tǒng)稱為導(dǎo)電媒質(zhì) 若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān)，稱為均勻媒質(zhì)；若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無關(guān)，稱為線性媒質(zhì)；若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無關(guān)，稱為各向同性媒質(zhì)； 若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率無關(guān)，稱為非色散媒質(zhì)；反之稱為色散媒質(zhì)。第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十六頁，共42頁。3 表中各式變形利用本構(gòu)關(guān)系，可得即第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十七頁，共42頁。4 波動(dòng)方程簡(jiǎn)單媒質(zhì)中的有源區(qū)域（ )時(shí)，稱為E和H的非齊次矢量波動(dòng)方程。其中場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)源的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，因此通常都不直接求解這兩個(gè)方程， 而是引入下述位函數(shù)間接地求解E和H。 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第

10、二十八頁，共42頁。2.3.3 電磁場(chǎng)的位函數(shù) 由表中的麥?zhǔn)戏匠探M式知B=0。又(A)=0，因而可引入下述矢量位函數(shù)A(簡(jiǎn)稱矢位或磁矢位)：即而由表中的麥?zhǔn)戏匠探M式(a)知， 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第二十九頁，共42頁。由于=0，故引入標(biāo)量位函數(shù)(簡(jiǎn)稱標(biāo)位或電標(biāo)位): 因A=(A)-2A，上式可改寫為 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十頁，共42頁。 電磁場(chǎng)邊界條件 2.4 電磁場(chǎng)的邊界條件2.4.1 一般情況 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十一頁，共42頁。1 E和H的切向分量邊界條件對(duì)此回路應(yīng)用麥?zhǔn)闲确匠淌?，可得得到E和H的切向分量邊界條件為 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十二頁，共42頁。2 D和B

11、的法向分量邊界條件計(jì)算穿出體積元Sh表面的D，B通量時(shí)，考慮S很小，則穿出側(cè)壁的通量可忽略，從而得 于是有第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十三頁，共42頁。電磁場(chǎng)的邊界條件第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十四頁，共42頁。3 關(guān)于邊界條件的說明任何分界面上E的切向分量連續(xù)在分界面上若存在面電流(僅在理想導(dǎo)體表面上存在)，H的切向分量不連續(xù)，其差等于面電流密度；否則，H的切向分量連續(xù)在分界面上有面電荷(在理想導(dǎo)體表面上)時(shí)，D的法向分量不連續(xù)，其差等于面電荷密度；否則，D的法向分量連續(xù)任何分界面上B的法向分量連續(xù)第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十五頁，共42頁。2.4.2 兩種特殊情況理想介質(zhì)是指 即無歐姆損耗的

12、簡(jiǎn)單媒質(zhì)。在兩種理想介質(zhì)的分界面上不存在面電流和自由電荷，即 第二章 電磁場(chǎng)基本方程兩種理想介質(zhì)間的邊界條件 第三十六頁，共42頁。理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體間的邊界條件 第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十七頁，共42頁。2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量2.5.1 坡印廷定理的推導(dǎo)和意義 上式兩端對(duì)封閉面S所包圍的體積V進(jìn)行積分，并利用散度定理，則有第二章 電磁場(chǎng)基本方程第三十八頁，共42頁。第二章 電磁場(chǎng)基本方程其中， 為電場(chǎng)能量密度 為磁場(chǎng)能量密度 第三十九頁，共42頁。2.5.2 坡印廷矢量代表流出S面的功率流密度，單位是W/m2，其方向就是功率流的方向，它與矢量E和H相垂直，三者成右手螺旋關(guān)系。S稱為坡印廷矢量。