中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)-經(jīng)典壓軸題含答案

1、一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O,點P在線段BC上（不含點B）,1ZBPE=-ZACB,PE交BO于點E,過點B作BF丄PE,垂足為F,交AC于點G.(1)(2)當點(1)(2)當點P與點C重合時（如圖1）.求證：ABOG竺POE；BF通過觀察、測量、猜想：PE，并結(jié)合圖2證明你的猜想;(3)（用含a的式子表示）值.BB團2【答案】（1）證明見解析(3)（用含a的式子表示）值.BB團2【答案】（1）證明見解析(2)竺=丄(3)BFPE2二一tanaPE2BF把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若ZACB=a，求pE

2、的【解析】解：（1）證明：T四邊形ABCD是正方形，P與C重合,AOB=OP,ZBOC=ZBOG=90.TPF丄BG，ZPFB=90,AZGBO=90-ZBGO,ZEPO=90-ZBGO.ZGBO=ZEPO.ABOG竺POE(AAS).(2)BFPE(2)BFPE證明如下:如圖，過P作PM/AC交BG于M,交BO于N,AZPNE=ZBOC=90,zBPN=ZOCB.TZOBC=ZOCB=450,AZNBP=ZNPB.ANB=NP.TZMBN=900ZBMN,ZNPE=900ZBMN,AZMBN=ZNPE.BMN竺PEN(ASA).ABM=PE.:乙BPE=1ZACB,ZBPN=ZACB,.ZB

3、PF=ZMPF.2TPF丄BM,AZBFP=ZMFP=900.又:PF=PF,A又:PF=PF,ABPF竺MPF(ASA)1.bf=mf，即BF=BMABF=2PE,BFPE(3)如圖，過P作PM/AC交BG于點M,交BO于點N,AZBPN=ZACB=a,ZPNE=ZBOC=9001由(2)同理可得BF=-BM,ZMBN=ZEPN.厶TZBNM=ZPNE=9Oo,aBMN-PEN.BMBNPN.BN在RtABNP中，tana=-PNBM2BF=tana，即=tanaPEPEBF1=tana.PE2由正方形的性質(zhì)可由AAS證得BOG竺POE.過P作PM/AC交BG于M,交BO于N,通過ASA證明

4、BMNPEN得到BF1BM=PE，通過ASA證明BPFMPF得到BF=MF,即可得出命二三的結(jié)論.PE21(3)過P作PM/AC交BG于點M,交BO于點N,同(2)證得BF=-BM,ZMBN=ZEPN,從而可證得BMNsPEN,由=和RtBNP中tana=即PEPNPN可求得BF1可求得=tanaPE22.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90,ZB=60,BC=16cm,AD是斜邊BC上的高，垂足為D,BE=1cm.點M從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動，點N從點E出發(fā)，與點M同時同方向以相同的速度運動，以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH.點M到達點D時停止運動，點N到達點C時停

5、止運動.設(shè)運動時間為t(s).當t為何值時，點G剛好落在線段AD上？設(shè)正方形MNGH與RtAABC重疊部分的圖形的面積為S,當重疊部分的圖形是正方形時，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍.(3)設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點P,連接DP,當t為何值時,(3(3)t=9s或t=(15-6)s.試題分析：(1)求出ED的距離即可求出相對應(yīng)的時間t.(2)先求出t的取值范圍，分為H在AB上時，此時BM的距離，進而求出相應(yīng)的時間.同樣當G在AC上時，求出MN的長度，繼而算出EN的長度即可求出時間，再通過正方形的面積公式求出正方形的面積.(3)分DP=PC和DC=PC兩種

6、情況，分別由EN的長度便可求出t的值.試題解析：TZBAC=90,ZB=60,BC=16cmAB=8cm,BD=4cm,AC=8.em,DC=12cm,AD=4iem.(1)當g剛好落在線段AD上時，ED=BD-BE=3cm3t=s=3s.(2)當MH沒有到達AD時，此時正方形MNGH是邊長為1的正方形，令H點在AB上,則ZHMB=90,ZB=60,MH=1SyF.BM=cm.t=s.當MH到達AD時，那么此時的正方形MNGH的邊長隨著N點的繼續(xù)運動而增大，令G點在AC上,設(shè)MN=xcm，貝9GH=DH=x,AH=x,4AD=AH+DH=x+x=x=4_x=3.當Wt4時，SMNGN=1Cm2

7、當4VtW6時，Smngh=(一試求（2）中當t試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N,試探究：當t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.【答案】解：（1）（-4,0）；y=x+4.SS關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:L(t-3)2(4t6)（3）分兩種情況：當DP=PC時，易知此時N點為DC的中點，.MN=6cmEN=3cm+6cm=9cm.t=9s故當t=9s的時候，CPD為等腰三角形;當當DC=PC時,DC=PC=12cmNC=6.em.EN=16cm-1cm-613cm=(15-6)cm.

8、t=（15-6.、：）s故當t=（15-6）s時，CPD為等腰三角形.綜上所述，當t=9s或t=（15-6）s時，CPD為等腰三角形.考點：1雙動點問題；2銳角三角函數(shù)定義；3特殊角的三角函數(shù)值；4正方形的性質(zhì)；5.由實際問題列函數(shù)關(guān)系式；6等腰三角形的性質(zhì)；7分類思想的應(yīng)用.（2013年四川攀枝花12分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，ABIICD,點B（10，0），C（7，4）.直線丨經(jīng)過A，D兩點，且sinZDAB=.動點P2在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿BTCTD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，

9、與折線ATDTC相交于點M,當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設(shè)點(2)在點P(2)在點P、Q運動的過程中:當OVtWI時，如圖1,7憶PGFEB過點C作CF丄x軸于點F,則CF=4,BF=3，由勾股定理得BC=5.3過點Q作QE丄x軸于點E,則BE=BQcosZCBF=5t5=3t.PE=PB-BE=(14-2t)-3t=14-5t,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 11S=PMPE=x2tx(14-5t)=-5t2+14t. HYPERLINK l bookmark57 o Current Do

10、cument 22當1t2時，如圖2,/丘C1K/pQFBxTOC o 1-5 h z過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F,E,則CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t-5)=16-7t. HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 11S=PMPE=x2tx(16-7t)=-7t2+16t. HYPERLINK l bookmark97 o Current Document 22當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7,16即(2t-4)+(5t-5)=7,解得t=.1616MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)

11、=16-7t,11S=PMMQ=x4x(16-7t)=-14t+32.22-5t2+14t(Ovt1)S=-7t2+16t(1vt2)綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為TOC o 1-5 h z(16i-14t+322vtvl7丿(3)當OVtWI時,49+-5(3)當OVtWI時,49+-5S=-5t2+14t=-5t-l5丿a=-5V0,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=-,5當OVtWI時，S隨t的增大而增大.當ivtw2時，S=-7t當ivtw2時，S=-7t2+16t=-7t8i2647丿8a=-7V0,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=-，7-64當t=時，S有最大值，最大

12、值為丁.16當2VtV時，S=-14t+32k=-14V0,S隨t的增大而減小.16又:當t=2時，S=4；當t=時，S=0,0VSV4.綜上所述，當t=-時，S有最大值，最大值為號.2012(4)t=-9或t=y時，QMN為等腰三角形.解析】利用梯形性質(zhì)確定點D的坐標，由sinzDAB=，利用特殊三角函數(shù)值，得到2AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標；由點A、點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式：C(7,4),ABIICD,D(0,4).sinzDAB=,ZDAB=45.OA=OD=4.A(-4,0).2-4k+b二0k二1設(shè)直線I的解析式為：y=kx+b，則有b_4，解得：匕

13、_4-y=x+4.點A坐標為(-4，0)，直線l的解析式為：y=x+4.(2)弄清動點的運動過程分別求解：當0VtW1時，如圖1；當Kt2時，如圖2；當2VtV時，如圖3.（3）根據(jù)（2）中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值.（4）QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：如圖4,點M在線段CD上,匿4MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t，MN=DM=2t-4,20由MN=MQ,得16-7t=2t-4，解得t=g此時QMN為等腰三角形，t=y.當t=20或t=時，QMN為等腰三角形.考點：一次函數(shù)綜合題，雙動點問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角

14、函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用.如圖，已知正方形在直角坐標系V中，點分別在軸、軸的正半軸上，點.在坐標原點等腰直角三角板丫的直角頂點在原點，:：分別在IE上，且，：J，=-=將三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)至I的位置，連結(jié)門I5（1）求證：Vi1（2）若三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得門若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在或、【解析】（1）證明：T四邊形為正方形，“T三角板八門是等腰直角三角形，I1又三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)至W的位置時，門-匚上

15、二&OAEA.OfF.（2）存在.4分過點：與E平行的直線有且只有一條，并與垂直，又當三角板K繞J點逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，則點在以為圓心，以F為半徑的圓上,5分過點；與垂直的直線必是圓的切線，又點匚是圓外一點，過點匚與圓相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為和門二此時，:點分別在“點和點，滿足CFillOE,CF2|0E2當切點在第二象限時，點r在第一象限,在直角三角形門心中,-i0珥1.,；、；.：i.mij.i點的橫坐標為：一一-_點門的縱坐標為：.7廣、點的坐標為Lt-9分當切點:在第一象限時，點在第四象限，同理可求：點的坐標為-川綜上所述，三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位置，使得此時點

16、上的坐標為或、11分（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；（2）由于OEF是等腰RtA，若OEIICF,那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過程中，E、F的軌跡是以0為圓心，0E（或OF）長為半徑的圓，若CF丄0F,那么CF必為O0的切線，且切點為F；可過C作O0的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應(yīng)的E點也有兩個；在RtAOFC中，0F=2,0C=0A=4，可證得ZFCO=30，即/EOC=30，已知了OE的長，通過解直角三角形，不難得到E點的坐標，由此得解.如圖，MN為一電視塔，AB是坡角為30的小山坡（電視塔的底部N與山坡的坡腳A在同一水平線上，被一個人工湖隔開），某

17、數(shù)學(xué)興趣小組準備測量這座電視塔的高度.在坡腳A處測得塔頂M的仰角為45；沿著山坡向上行走40m到達C處，此時測得塔頂M的仰角為30，請求出電視塔MN的高度.（參考數(shù)據(jù)：2江41,訂37.73，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】95m【解析】【分析】過點C作CE丄AN于點E，CF丄MN于點卩.在厶ACE中，求AE=20j3m,在RTAMFC中，設(shè)MN=xm,則AN=xm.FC=q3xm,可得x+20/3=3（x20）,解方程可得答案【詳解】解：過點C作CE丄AN于點E,CF丄MN于點F.在厶ACE中，AC=40m,ZCAE=30CE=FN=20m,AE=20j3m設(shè)MN=xm,貝9AN=xm.FC=J3xm

18、,在RTAMFC中MF=MNFN=MNCE=x20FC=NE=NA+AE=x+20J3TZMCF=30FC=MF,即x+20；3=3(x20)解得:x=解得:x=403-1=60+20*3=95m答：電視塔MN答：電視塔MN的高度約為95m.【點睛】本題考核知識點：解直角三角形解題關(guān)鍵點：熟記解直角三角形相關(guān)知識，包括含特殊角的直角三角形性質(zhì).如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且CF=AE，連接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于點H.求證：DE丄DF；求證：DH=DF:過點H作HM丄EF于點M,用等式表示線段AB，HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

19、CC【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)EF=2AB-2HM，證明詳見解析.【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)，CF=AE得到DE丄DF.由AAEDCFD，得DE=DF.由ZABC=90。,BD平分ZABC,得ZDBF=45。.因為FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由于ZDHF=ZDBF+ZBFH=45+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45+ZEFH,所以DH=DF.過點H作HN丄BC于點N，由正方形ABCD性質(zhì)，得BD=：AB2+AD2=、2AB由FH平分ZEFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN因為ZHBN=45，ZHNB=90，所以BH=HN=41HN=J2HM

20、sin45df由EF=41DF=41DH，得EF=2AB-2HM.cos45【詳解】證明：t四邊形ABCD是正方形，AD=CD，ZEAD=ZBCD=ZADC=90.ZEAD=ZFCD=90.CF=AE。AEDCFD.ZADE=ZCDF.ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=ZADC=90.DE丄DF.證明：tAEDCFD，.DE=DF.tZEDF=90，ZDEF=ZDFE=45.tZABC=90，BD平分ZABC，ZDBF=45.FH平分ZEFB，ZEFH=ZBFH.ZDHF=上DBF+ZBFH=45+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45O+ZEFH,ZDHF=ZDFH.D

21、H=DF.(3)EF=2AB-2HM.證明：過點H作HN丄BC于點N，如圖，正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90。,BD=!AB2+AD2=、；2AB-FH平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,HM=HN.ZHBN=45o,ZHNB=90。,.BH=HN=2HN=p，2HMsin45o.DH=BD-BH=J2AB-、2HM.EF=DF=、2DF=y2DH,cos45o.EF=2AB-2HM.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小明和三

22、位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在到萬豐路(直線人0)的距離為120米的點P處.這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為5秒且/APO=60,ZBPO=45.求A、B之間的路程；請判斷此車是否超過了萬豐路每小時65千米的限制速度？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：運1.414,厲1.73).ABAB【答案】【小題1】73.2【小題2】超過限制速度.【解析】解：(1)AB=100(*3-1)：=73.2(米).6分(2)此車制速度(2)此車制速度v=18.3米/秒12&已知拋物線y=-7x2-x+2與x軸交于點A,B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱63軸與x

23、軸交于H點，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形AECO.求直線AC的解析式；如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M,當四邊形AOCP面積最大時，求|PM-OM|的值.如圖，將AOC沿直線AC翻折得ACD，再將ACD沿著直線AC平移得ACD.使得點A、C在直線AC上，是否存在這樣的點Dz,使得AZED為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.畫1畫1【答案】尸3x+2；點m坐標為(-2,5)時，四邊形AOCP的面積最大，此時（0,（0,4）或（-6,2）或（5，19）.|PM-OM|有最大值型；(3)存在，D坐標為:6【解析】【分析】令x=0,則y=2，令y=

24、0,則x=2或-6,求出點A、B、C坐標，即可求解；連接OP交對稱軸于點M,此時，|PM-OM|有最大值，即可求解；存在；分AD丄AE；AD丄ED；EDAE三種情況利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】（1）令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,二A（-6,0）、B（2,0）、C（0,一8一2）,函數(shù)對稱軸為：x=-2,頂點坐標為（-2,3）,C點坐標為（0，2）,則過點C一1的直線表達式為：y=kx+2,將點A坐標代入上式，解得：k=3，貝V：直線AC的表達式_1為：y=3x+2；（2）如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H.四邊形AOCP面積=AOC的面積+ACP的面積，四邊形AOCP

25、面積最大時，只需要厶ACP一12一1TOC o 1-5 h z的面積最大即可，設(shè)點P坐標為（m,-匸m2-m+2），則點G坐標為（m,m+2）, HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 633111211、SACp=PGOA=2（6m2m+2m-2）6=m2-3m,當m=-3時，上式 HYPERLINK l bookmark144 o Current Document 226332一5取得最大值，則點p坐標為（-3,）連接OP交對稱軸于點M,此時，|PM-OM|有、55一最大值，直線OP的表達式為：y=：x,當x=-2時，y=，即：點M坐標為（-2

26、,6353),|PM53),|PM-OM|的最大值為:：(一3+2)2+(3)2嚴+（5）2DM,DM,AM=MC,=ZDMC,EAMDCM(AAS),AEM=設(shè)：EM=a，貝9：MC=6-a.在RtADCM中，由勾股定理得：MC2=810DC2+MD2，即：（6-a）2=22+a2，解得：a=3，貝V：MC=，過點D作x軸的垂線交x11108軸于點N,交EC于點H在RtADMC中，-DHMC=-MDDC,即：DH二-X2,8則：DH=8則：DH=5,HC=yDC2DH2=5，即：點D的坐標為（5,5）；3mm設(shè)：ACD沿著直線AC平移了m個單位，貝9：點A坐標（-6十-，萬0），點D坐標63

27、m18m為（5+H0,+%0），而點E坐標為（-6,2）,則AD2AD2=（6+5）2+礙）2=36,AE2=2+4m2）2=m2+4710，243m8ED243m8ED=（了+而）2+（5+2藝10m=8而m=532m1282=m2+10+丁若AED為直角三角形，分三種情況討論：4m32m128當AD2+AE2=ED2時，36+m2帀+4=m2+帀+丁，解得:63m18m此時D（5+而,+而）為（04）；32m1284m當AD2+ED2=AE2時，36+m2+而+=m2市+4，解得:63m18mm=丁，此時D（-5+而,+而）為（T，2）;4m32m128當AE2+ED2=AD2時，m2+4

28、+m2+=36，解得:101051063m18m319或處丁，此時D（5+而,+而）為（6,2）或（5，云）-綜上所述：D坐標為：（0,4）或（-6,2）或（一3,19）.【點睛】本題考查了二次函數(shù)知識綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖形平移、解直角三角形等知識其中（3）中圖形是本題難點，其核心是確定平移后Az、D的坐標，本題難度較大.9.如圖，正方形ABCD的邊長為2+1,對角線AC、BD相交于點0,AE平分/BAC分別交BC、BD于E、F，（1）求證：ABF-ACE；（2）求tanzBAE的值；（3）在線段AC上找一點P,使得PE+PF最小，求出最小值.AE【答案】(1)證明見解析；(2)tanzEAB=.；2-1；(3)PE+PF的最小值為【解析】【分析】根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判斷即可；如圖1中，作EH丄AC于H.首先證明BE=