2022-2023學(xué)年華中師大一附中高二上學(xué)期期中復(fù)習(xí)壓軸（一）含答案

1、試卷第 =page 29 29頁(yè)，共 =sectionpages 29 29頁(yè)試卷第 =page 28 28頁(yè)，共 =sectionpages 29 29頁(yè)2022-2023學(xué)年華中師大一附中高二上學(xué)期期中復(fù)習(xí)壓軸（一）一、單選題1胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國(guó)作家約翰泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其大金字塔一書(shū)中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時(shí)利用黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學(xué)家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個(gè)側(cè)面的面積都等于金字塔高的平方如圖，若，則由勾股定理，即，因此可求得為黃金數(shù)，已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)約為856英尺的正方形，頂點(diǎn)的投影在底面中心，為

2、中點(diǎn)，根據(jù)以上信息，的長(zhǎng)度（單位：英尺）約為（）A611.6B481.4C692.5D512.42設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）ABCD3已知體積公式中的常數(shù)稱(chēng)為“立圓率”.對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長(zhǎng)，在球中，表示直徑）.假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得等邊圓柱（底面圓的直徑為），正

3、方體（棱長(zhǎng)為），球（直徑為）的“立圓率”分別為，則（）A B C D4直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍（）ABCD5已知向量，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）ABCD6圖1是一個(gè)不倒翁模型，它是一種古老的中國(guó)兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動(dòng)就搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2，將圖1的模型抽象成一個(gè)正圓錐和半球的組合體.已知半球的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）AB1C2D47對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱(chēng)為關(guān)于的“函數(shù)”已知定義在上的函數(shù)是關(guān)于和的“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)的值

4、域?yàn)椋ǎ〢BCD8公元前世紀(jì)，古希臘歐幾里得在幾何原本里提出：“球的體積（）與它的直徑（）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出的值世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱(chēng)為“立圓率”或“玉積率”類(lèi)似地，對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長(zhǎng)）假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為）、等邊圓柱（底面圓的直徑為）、正方體（棱長(zhǎng)為）的“玉積率”分別為、，那么ABCD9我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，

5、如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿(mǎn)足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的一個(gè)半圓，則該幾何體的體積為（）ABCD10已知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若直線(xiàn)與連接，兩點(diǎn)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為（）ABCD11如圖，在四棱錐中，平面ABCD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（）ABCD12唐朝著名的鳳鳥(niǎo)花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2），當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁的表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R

6、厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為（）ABCD13在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是（）ABCD14若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個(gè)結(jié)論：線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是；存在點(diǎn)使得平面；存在點(diǎn)使得.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是ABCD15如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不正確的是（）A若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線(xiàn)段B存在Q點(diǎn)，使得平面C當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐

7、的體積最大D若，那么Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為16已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度范圍是（）ABCD17如圖，在圓錐中，是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，記二面角，的平面角分別為，若，則的最大值是（）ABCD18已知正方體的棱長(zhǎng)為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（）ABCD19在直三棱柱中，為該三棱柱表面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A B C D二、多選題20下列選項(xiàng)正確的是（）A過(guò)點(diǎn)且和直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是B若直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是C若直線(xiàn)與平行，則與的距離為D已知

8、點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為21對(duì)于定義在D函數(shù)若滿(mǎn)足：對(duì)任意的，；對(duì)任意的，存在，使得則稱(chēng)函數(shù)為“等均值函數(shù)”，則下列函數(shù)為“等均值函數(shù)”的為（）ABCD22對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱(chēng)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A1B2C3D423在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列判斷正確的有（）A面積的最大值為1B的取值范圍為C若為直徑，則D若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為24在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為E，且圓E是正方形ABCD的內(nèi)切圓.F為圓E上一點(diǎn)，G為棱BB1上一點(diǎn)（不可與B，B

9、1重合），H為棱A1B1的中點(diǎn)，則（）A|HF|2,BB1EG面積的取值范圍為(0,CEH和FG是異面直線(xiàn)DEG和FH可能是共面直線(xiàn)25如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P分別是，的中點(diǎn)，Q是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則()A存在點(diǎn)Q，使B，N，P，Q四點(diǎn)共面B存在點(diǎn)Q，使平面MBNC過(guò)Q，M，N三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的取值范圍為D經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為26如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）ADP面AB1D1 B三棱錐AD1PC的體積為C平面PB1D與平面ACD1所成二面角為90D異面直線(xiàn)與所成角的范圍是27設(shè)為多面

10、體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面已知在直四棱柱中，底面為菱形，則下列結(jié)論正確的是（）A直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為D若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面28設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如：，又稱(chēng)為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車(chē)收費(fèi)，出租車(chē)收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A，B，若，則C，D不等式的解集為或29如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是

11、（）A幾何體的外接球半徑 B平面C異面直線(xiàn)與所成角的正弦值的取值范圍為D面與底面所成角正弦值的取值范圍為30很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A該半正多面體的體積為BA，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面C該半正多面體外接球的表面積為D若點(diǎn)E為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AF所成角的余弦值的取值范圍為31已知梯形，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)；將沿著所

12、在的直線(xiàn)翻折成四面體，翻折的過(guò)程中下列選項(xiàng)中正確的是（）A不論何時(shí)，與都不可能垂直B存在某個(gè)位置，使得平面C直線(xiàn)與平面所成角存在最大值D四面體的外接球的表面積的最小值為32如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)、分別為線(xiàn)段、上的動(dòng)點(diǎn)，將翻折成，且平面平面，下列說(shuō)法正確的是（）A存在點(diǎn)，使B當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球半徑為C三棱錐與三棱錐體積之和的最大值為D存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的大小為33如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為面對(duì)角線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A三棱錐的體積為定值B線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使平面平面C設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則的最小值為D三棱錐的外接球半徑的最大值為34如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體

13、中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則下列正確的是（）A B點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓C直線(xiàn)與平面所成角為53D設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，則35已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過(guò)，三點(diǎn)，則（）A平面平面B平面與正四棱柱表面的交線(xiàn)圍成的圖形一定是四邊形C當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為36在正方體中，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A當(dāng)平面時(shí)，可能垂直B若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C當(dāng)時(shí)，的最小值為D當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)PC的截面面積的取值范圍為，37如圖，在正三棱柱中，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A三棱錐的外接球的最大半徑為B存在點(diǎn)D，使得平面

14、平面CA到平面的最大距離為D面積的最大值為38如下圖，正方體中，M為上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下面說(shuō)法正確的是（）A直線(xiàn)AB與平面所成角的正弦值范圍為B點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大C點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D已知N為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，M為的三等分點(diǎn)39已知正方體棱長(zhǎng)為2，P為空間中一點(diǎn)下列論述正確的是（）A若，則異面直線(xiàn)BP與所成角的余弦值為B若，三棱錐的體積為定值C若，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面D若，則異面直線(xiàn)BP和所成角取值范圍是40如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別是線(xiàn)段AB，CD（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正

15、確的是（）A對(duì)任意點(diǎn)M，N，都有MN與AD異面B存在點(diǎn)M，N，使得MN與BC垂直C對(duì)任意點(diǎn)M，存在點(diǎn)N，使得與，共面D對(duì)任意點(diǎn)M，存在點(diǎn)N，使得MN與AD，BC所成的角相等41如圖，直三棱柱中，點(diǎn)P在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），則（）A存在點(diǎn)P，使得B的最小值為有C面積的最小值為D三棱錐與三棱錐的體積之和為定值三、填空題42瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)任一凸多面體（即多面體內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)都被完全包含在該多面體中，直觀上講是指沒(méi)有凹陷或孔洞的多面體）的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)及面數(shù)滿(mǎn)足等式，這個(gè)等式稱(chēng)為歐拉多面體公式，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最漂亮，簡(jiǎn)潔的公式之一.如圖是一個(gè)面數(shù)為26的多面體（其表面僅由正方形和正三角形

16、圍成），根據(jù)歐拉多面體公式可求得其棱數(shù)_.43古代中國(guó)，建筑工匠們非常注重建筑中體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，方形和圓形的應(yīng)用比比皆是，在唐、宋時(shí)期的單檐建筑中較多存在的比例關(guān)系，這是當(dāng)時(shí)工匠們著意設(shè)計(jì)的常見(jiàn)比例，今天，紙之所以流行的重要原因之一，就是它的長(zhǎng)與寬的比無(wú)限接近，我們稱(chēng)這種滿(mǎn)足了的矩形為“優(yōu)美”矩形現(xiàn)有一長(zhǎng)方體，則此長(zhǎng)方體的表面六個(gè)矩形中，“優(yōu)美”矩形的個(gè)數(shù)為_(kāi)44如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是底面ABCD（含邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是_45已知四面體的各條棱長(zhǎng)都為，其頂點(diǎn)都在球的表面上，點(diǎn)滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作平面，則平面截球所得截面面積的取值范圍是_

17、46古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)、距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線(xiàn)上的圓，該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的表面(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)；若是的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則三棱錐體積的最大值是_.47在三棱錐中，PA平面ABC，ABAC，記三棱錐的體積為V，表面積為S，則的取值范圍為_(kāi).48在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在正方體的12條棱上（包括頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是_49如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則

18、三棱錐的體積的最小值為_(kāi)50如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，動(dòng)點(diǎn)M在邊DC上（不同于D點(diǎn)），P為邊AB上任意一點(diǎn)，沿AM將ADM翻折成ADM，當(dāng)平面ADM垂直于平面ABC時(shí)，線(xiàn)段PD長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)51球面幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等面都有廣泛的應(yīng)用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過(guò)球心的平面與球面的交線(xiàn)）上的三點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱(chēng)為球面已知地球半徑為R，北極為點(diǎn)N，P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為_(kāi)；若，則球面的面積為_(kāi)52如圖，圓柱的

19、底面半徑為1，高為2，平面是軸截面，點(diǎn)，分別是圓弧，的中點(diǎn)，在劣弧上（異于，），在平面的同側(cè)，記二面角，的大小分別為，則的取值范圍為_(kāi).53正方體的棱長(zhǎng)為，平面，平面，則正方體在平面內(nèi)的正投影面積為_(kāi)54在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是_.四、解答題55已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).(1)若函數(shù)，求函數(shù)的伴隨向量；(2)若函數(shù)的伴隨向量為，且函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的最大值；(3)若函數(shù)的伴隨向量為，若實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的值56我們知道：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取

20、其定義域D中的任意值時(shí)，有，且成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做函數(shù)的最小正周期對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)，若存在正常數(shù)T，使得是以T為周期的函數(shù)，則稱(chēng)為正弦周期函數(shù)，且稱(chēng)T為其正弦周期(1)驗(yàn)證是以為周期的正弦周期函數(shù)(2)已知函數(shù)是周期函數(shù)，請(qǐng)求出它的一個(gè)周期并判斷此周期函數(shù)是否存在最小正周期，并說(shuō)明理由(3)已知存在這樣一個(gè)函數(shù)，它是定義在R上嚴(yán)格增函數(shù)，值域?yàn)镽，且是以T為周期的正弦周期函數(shù)若，且存在，使得，求的值57人臉識(shí)別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類(lèi)的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取

21、出有效的識(shí)別信息，最終判別人臉對(duì)象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間兩個(gè)點(diǎn)，曼哈頓距離.余弦相似度：.余弦距離：.(1)若，求A，B之間的和余弦距離；(2)已知，若，求的值.58已知“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“函數(shù)為奇函數(shù)”，可以推廣為：“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“函數(shù)為奇函數(shù)”(1)若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n，恒有，求的值，并判斷此函數(shù)的圖象是否是中心對(duì)稱(chēng)圖形若是，請(qǐng)求出對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)若（1）中的函數(shù)還滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，求不等式的解集59已知函數(shù)

22、（），若函數(shù)在定義域內(nèi)存在，（），使成立，則稱(chēng)該函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”.(1)若，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若，函數(shù)在上為“互補(bǔ)函數(shù)”，求的取值范圍.60對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)在的條件下，若的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.61對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時(shí)滿(mǎn)足：在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是，則稱(chēng)函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱(chēng)為“保值區(qū)間”，(1)求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；(2)給定函數(shù)，若函數(shù)是區(qū)間上的

23、“保值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.62定義:若函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱(chēng)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)已知函數(shù)(1)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍;(2)在（1）的條件下，若圖象上兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且的中點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的最小值63在平面直角坐標(biāo)系中，已知，(1)當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，求的取值范圍；(2)若的邊上的高所在直線(xiàn)的方程為，求的邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程64如圖，在四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：為等腰三角形.(2)若平面平面，求二面角的余弦值的取值范圍.65如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為棱的中點(diǎn)，且證明：底面(2)若，求

24、二面角的余弦值的取值范圍66對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，若具有性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)的值，若不具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，且當(dāng)時(shí)，解不等式；(3)已知函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，若由“具有性質(zhì)”能推出“恒等于”，求正整數(shù)的取值的集合.67設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其中常?shù).若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)和是否具有性質(zhì)？（結(jié)論不要求證明）(2)若，函數(shù)具有性質(zhì)，且當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，且的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形.若在上有最大值，且存在使得，求證：其對(duì)應(yīng)的.68如圖，在四邊形中

25、，與互余，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，（點(diǎn)在之間），使當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)記，已知，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由(2)求，的長(zhǎng)(3)若，分別平分，并交線(xiàn)段，于點(diǎn)，（點(diǎn)，不重合）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖2所示，若，當(dāng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算比較與的大小關(guān)系69已知函數(shù)，稱(chēng)向量為的特征向量，為的特征函數(shù).(1)設(shè)，求的特征向量；(2)設(shè)向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；(3)設(shè)向量的特征函數(shù)為，記，若在區(qū)間上至少有40個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.70定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，其中為大于0的常數(shù)，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的級(jí)“平移點(diǎn)”(1)分別求出函數(shù)及的2級(jí)“平移點(diǎn)”，及再寫(xiě)出一個(gè)存在2級(jí)

26、“平移點(diǎn)”的函數(shù)解析式，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)在上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍71已知，若函數(shù)在上的值域是，則稱(chēng)是第類(lèi)函數(shù).(1)若是第類(lèi)函數(shù)，求的取值范圍；(2)若是第2類(lèi)函數(shù)，求的值.72如圖，四棱錐的底面為菱形，底面，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).(1)若是直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)，試確定的值；(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求三棱錐體積.73已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)棱平面ABCD，點(diǎn)M在棱DP上，且，點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.(1)若N是棱PC中點(diǎn)，完成：（i）畫(huà)出的重心G（在圖中作出虛線(xiàn)），并指出點(diǎn)G與線(xiàn)段AN的關(guān)系：（ii）求證：平面AMN；(2

27、)若四邊形ABCD是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線(xiàn)PA與平面AMN所成角的正弦值取最大值.74如圖，長(zhǎng)方體中，AB=4，AD=3，AA1=5，E，F(xiàn)分別在BB1，DD1上，且，(1)求證：平面;(2)求平面與平面的夾角的余弦值.75一個(gè)楔子形狀幾何體的直觀圖如圖所示，其底面 為一個(gè)矩形，其中 ，頂部線(xiàn)段 平面，棱 ，二面角 的余弦值為 ，設(shè) ， 分別是 ， 的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.76如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）(1)若，設(shè)平面面，求證：；(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.77如圖，正方

28、體的棱長(zhǎng)為2，E為DC的中點(diǎn)，(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.78如圖1，在中，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2（1）求證：；（2）求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值；（3）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由79如圖，已知四邊形由和拼接而成，其中，將沿著折起.（1）若，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）當(dāng)四面體的表面積的最大時(shí)，求二面角的余弦值.80已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線(xiàn)上，為的中點(diǎn)，且直線(xiàn)平面.（1）設(shè)，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一

29、個(gè)頂點(diǎn)從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形；（3）證明，對(duì)所有滿(mǎn)足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線(xiàn)段上.81如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.822021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛(ài)數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點(diǎn)，且圓與與與與分別外切，線(xiàn)段為圓柱的母線(xiàn).點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.已知圓柱，底面半

30、徑為.（1）求證：平面；（2）線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即共線(xiàn).核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.83如圖，ABCD與ADEF是兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，它們所在的平面互

31、相垂直(1)求異面直線(xiàn)AE與BD所成角的大小；(2)在線(xiàn)段BD上取點(diǎn)M，在線(xiàn)段AE上取點(diǎn)N，且，試用x，y來(lái)表示線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度；(3)在（2）的條件下，求MN長(zhǎng)度的最小值，并判斷當(dāng)MN最短時(shí)，MN是否是異面直線(xiàn)AE與BD的公垂線(xiàn)段?84如圖，在三棱錐中，記二面角的平面角為(1)若，求三棱錐的體積；(2)若M為BC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AD與EM所成角的取值范圍85正方形ABCD中，點(diǎn)O為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若P為平面ABCD外一點(diǎn)，滿(mǎn)足，記，求的取值范圍.86如圖所示，長(zhǎng)方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，得到圖的四棱錐(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點(diǎn)為

32、，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值答案第 = page 79 79頁(yè)，共 = sectionpages 1 1頁(yè)答案第 = page 78 78頁(yè)，共 = sectionpages 78 78頁(yè)參考答案：1C【解析】由和可得【詳解】解：，故選：C【點(diǎn)睛】讀懂實(shí)際問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算；基礎(chǔ)題.2B【分析】根據(jù)題意給的定義，結(jié)合圖形，分別求出a、b、c、d的值即可比較大小.【詳解】對(duì)于正四面體，其離散曲率為，對(duì)于正八面體，其離散曲率為，對(duì)于正十二面體，其離散曲率為，對(duì)于正二十面體，其離散曲率為，則，所以.故選：B.3A【分析】根據(jù)體積公式分別求出“立圓

33、率”即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A.4C【分析】根據(jù)直線(xiàn)方程求出該直線(xiàn)的斜率，結(jié)合直線(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系、余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以該直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)?，所以，設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，于是有，或，故選：C5D【分析】夾角為銳角，則，排除平行的情況即可.【詳解】夾角為銳角，則，得，當(dāng)時(shí)，得，的取值范圍為故選：D.6D【分析】由圓錐和球的體積公式列不等式求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意得，即，則，故選：D7A【分析】由關(guān)于和的“函數(shù)”的定義可得，由此可知是周期為的周期函數(shù)；利用時(shí)的值域，可推導(dǎo)得到、和的值域，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】

34、是關(guān)于和的“函數(shù)”，由得：，是周期為的周期函數(shù)；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?故選：A.8D【詳解】考點(diǎn)：類(lèi)比推理9C【分析】由圓錐底面周長(zhǎng)可求得圓錐的底面半徑，圓錐的高，利用圓錐的體積公式和祖暅原理，即得解【詳解】圓錐底面周長(zhǎng)為，所以圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積為，由祖暅原理，該幾何體的體積也為.故選：C10C【分析】利用對(duì)稱(chēng)求出點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，最后根據(jù)傾斜角與斜率的變化關(guān)系得到范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，有，解得，結(jié)合圖可知，.故選：C11B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得Q運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求得面積的取值范圍【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

35、，由二面角的平面角大小為，可知Q的軌跡是過(guò)點(diǎn)D的一條直線(xiàn)，又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），則Q的軌跡是過(guò)點(diǎn)D的一條線(xiàn)段.設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，所以，易知平面APD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PDG的法向量為，則，即，令，得，所以是平面PDG的一個(gè)法向量，則二面角的平面角的余弦值為，解得或（舍去），所以Q在DG上運(yùn)動(dòng)，所以面積的取值范圍為故選：B12D【分析】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)圓柱和球的表面積公式求得，再根據(jù)圓柱和球的體積公式求出酒杯和半球的體積，結(jié)合題意求得的范圍，即可得解.【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，則，所以,酒杯的體積，半球的體積，因?yàn)榫票娜莘e不大于半球體積的2倍，

36、所以，解得，又因，所以，所以.故選：D.13C【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面平面，從而的軌跡是線(xiàn)段，建立空間之間坐標(biāo)系后，利用空間向量求解異面直線(xiàn)夾角的余弦值，即可得角度范圍.【詳解】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，平面平面，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，的軌跡是線(xiàn)段，如圖，以D為原點(diǎn)，為軸建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2則，由于在線(xiàn)段上，設(shè)，且所以 則 ，又 所以由于，所以所以異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍.故選：C.14D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用向

37、量法來(lái)判斷出命題的正誤.【詳解】取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn).在正方體中，平面，平面，又，平面，即，同理可證，則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.對(duì)于命題，則，則，所以，命題正確；對(duì)于命題，則平面的一個(gè)法向量為，令，解得，所以，存在點(diǎn)使得平面，命題正確；對(duì)于命題，令，整理得，該方程無(wú)解，所以，不存在點(diǎn)使得，命題錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系的判斷，同時(shí)也涉及了立體幾何中的新定義，利用空間向量法來(lái)處理是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.15B【分析】取中點(diǎn)，證明平面，得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A，建立如圖所示

38、的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由與此法向量平行確定點(diǎn)位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點(diǎn)位置判斷C，利用勾股定理確定點(diǎn)軌跡，得軌跡長(zhǎng)度判斷D【詳解】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，所以，同理平面，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，據(jù)直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)（），設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，同，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三

39、棱錐的體積最大，到平面的距離為，時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值1，時(shí)，時(shí)，有最大值，綜上，時(shí)，取得最大值1，故與重合時(shí)，取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長(zhǎng)度為，D正確故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，解題關(guān)鍵是勾畫(huà)出過(guò)且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離最大，則三棱錐體積最大16D【分析】根據(jù)題意，找去過(guò)與平面平行的平面，則可得到所在的平面，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，作圖如下：在正方體中，易知，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，平面平面，當(dāng)平面時(shí)，

40、平面，正方體的棱長(zhǎng)為，在中，解得，同理，在中，解得，則中邊上的高，即，故選：D.17B【解析】設(shè)底面圓的半徑為,以所在直線(xiàn)為軸,以垂直于所在直線(xiàn)為軸,以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角與夾角的余弦值.結(jié)合即可求得的取值范圍,即可得的最大值.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為,以所在直線(xiàn)為軸,以垂直于所在直線(xiàn)為軸,以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則由可得,是的兩個(gè)三等分點(diǎn)則 所以設(shè)平面的法向量為 則,代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的法向量為由圖可知, 二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿(mǎn)足設(shè)二面角的法向量為則代入可得化簡(jiǎn)可得令,解得所以平面的

41、法向量為 由圖可知, 二面角的平面角為銳二面角,所以二面角的平面角滿(mǎn)足由二面角的范圍可知結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知即化簡(jiǎn)可得,且所以所以的最大值是故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜,屬于難題.18A【分析】作出過(guò)且與平面和平面所成角相等的截面，則P位于截面與平面的交線(xiàn)上，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N,M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等

42、，于是點(diǎn)P在線(xiàn)段FN上.如圖2，過(guò)點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時(shí)，最小.如圖3，由勾股定理可以求得，由等面積法，.故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通常做法是先找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，以本題為例就是先作出與平面和平面所成角相等的截面，從而找到截面與的交線(xiàn)，做題時(shí)要充分利用圖形的特征，平常注意總結(jié)截面的做法.19B【分析】將三棱柱補(bǔ)形為正方體，容易找到BC的中垂面，因?yàn)椋源_定點(diǎn)P在中垂面內(nèi)，通過(guò)幾何關(guān)系求解中垂面與三棱柱相交的軌跡長(zhǎng)度即可.【詳解】因?yàn)椋钥蓪⒅比庵a(bǔ)形為邊長(zhǎng)為2的正方體，取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，K，L按順序連接.，如圖所示，正方體中，所以面，所以，因?yàn)?，所?同理可得，因?yàn)?/p>

43、，所以面，其中為正六邊形.因?yàn)镋，G，H，L為的中點(diǎn)，所以M，N為的四等分點(diǎn)，根據(jù)正方體對(duì)稱(chēng)性，知O為MN中點(diǎn)也是BC中點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O垂直于BC的平面內(nèi)，即點(diǎn)P在面內(nèi).又因?yàn)辄c(diǎn)P在三棱柱表面上，所以P點(diǎn)的軌跡為五邊形MNEFG，由正六邊形及正方體對(duì)稱(chēng)性可知，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故選：B【點(diǎn)睛】處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握立體幾何中的點(diǎn)線(xiàn)面垂直平行異面的關(guān)系，找到與包含未知點(diǎn)的量和已知量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系即可.本題把到兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為找中垂面，再通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明垂面位置，由此確定點(diǎn)P的軌跡為五邊形，求出長(zhǎng)度即可.20ACD【分析】對(duì)于A，結(jié)合直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，即可

44、求解，對(duì)于B，結(jié)合直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解，對(duì)于C，結(jié)合直線(xiàn)平行的性質(zhì)，即可求解，對(duì)于D，根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可求解【詳解】對(duì)于A，設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為：，把點(diǎn)代入，解得，過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是，故正確；對(duì)于B，且，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)傾斜角的取值范圍是，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線(xiàn)與平行，則，解得，故與的距離是：，故正確；對(duì)于D，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故正確故選：ACD21ABC【分析】根據(jù)已知“等均值函數(shù)”的定義，逐項(xiàng)分析驗(yàn)證所給函數(shù)是否滿(mǎn)足所給的兩個(gè)條件，即可判斷答案.【詳解】對(duì)于定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足，對(duì)任意的，存在，使得,故A正確；對(duì)于，若，則，則 ，

45、若，則，則 ，即滿(mǎn)足；對(duì)任意的，存在，使得，對(duì)任意的，存在，使得，即滿(mǎn)足，故B正確；對(duì)于，定義域?yàn)?，?duì)任意的，都有成立，滿(mǎn)足；對(duì)任意的，存在，使得，即滿(mǎn)足，故C正確；對(duì)于，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，故對(duì)任意的，不成立，故D錯(cuò)誤，故選：ABC22BCD【分析】根據(jù)的單調(diào)性以及，可得的零點(diǎn)為1，由“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”的定義可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 在區(qū)間上存在零點(diǎn)，分離參數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結(jié)合“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù) 在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程 在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根，整理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào),又，則在區(qū)間上，故當(dāng)時(shí)，故選：BCD23ABD【分析】根據(jù)三角形面

46、積公式即可判斷A，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切可判斷B,根據(jù)向量的加法法則可判斷C,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可判斷D.【詳解】，（如圖1）由于，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值為1，故 的面積最大值為1，A正確；設(shè)當(dāng)直線(xiàn)分別與圓相切時(shí)，此時(shí)最大，（如圖2）由于，所以在中， ，因此，故B正確；當(dāng)是直徑時(shí)，是的中點(diǎn)，則,故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離最大，且最大值為 ,（如圖3）故點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大值為，故D正確；故選：ABD24AD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，求最值，判斷直線(xiàn)EH、EG和FG的位置關(guān)系，由面積公式判斷B1EG面積的范圍.【詳解】A：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最小為2，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最大為，正確；B

47、：由，錯(cuò)誤；C：由圖，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，定直線(xiàn)EH和FG可能相交，故不一定為異面直線(xiàn)，錯(cuò)誤；D：由題設(shè)知面，而在圓上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中FH和面可能相交，故EG和FH可能相交，則EG和FH可能是共面直線(xiàn)，正確.故選：AD25AB【分析】作出過(guò)的截面判斷選項(xiàng)A；取中點(diǎn)為，證明其滿(mǎn)足選項(xiàng)B；當(dāng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定截面的形狀，引入?yún)?shù)(如)計(jì)算出面積后可得取值范圍，判斷選項(xiàng)C，過(guò)與底面平行的平面截正方體得出的下半部分為長(zhǎng)方體，其外接球也是過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球，由此求得球半徑，得表面積，判斷選項(xiàng)D【詳解】選項(xiàng)A，連接，正方體中易知，分別是中點(diǎn)，則，所以，即四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿(mǎn)足B，N，P，Q四點(diǎn)共面，A正確；

48、選項(xiàng)B，如圖，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，則與平行且相等，是平行四邊形，所以，又是中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正確；選項(xiàng)C，正方體中，分別是中點(diǎn)，則，在上，如圖，作交于，連接，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為所過(guò)三點(diǎn)的截面，由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知梯形與梯形全等，由面面平行的性質(zhì)定理，從而有，由正方體性質(zhì)，設(shè)，則，是中點(diǎn)，則，所以，同理， 梯形是等腰梯形，高為，截面面積，設(shè)，在上遞增，所以，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則是正四棱柱（也是長(zhǎng)方體），它的外接球就是過(guò)四點(diǎn)的球，所以球直徑為，半徑為，表面積為，D錯(cuò)故選：AB26ACD【分析】A利用面面

49、平行的性質(zhì)證面；B應(yīng)用等體積法，根據(jù)特殊點(diǎn)：與重合時(shí)求的體積； C先證明面，再利用面面垂直的判定定理證面面即可；D由，根據(jù)在線(xiàn)段的位置，即可確定異面直線(xiàn)與所成角的范圍.【詳解】A：連接，由于，由面面平行的判定定理，可證明面面，又面，所以面，正確；B：，因?yàn)榈矫娴木嚯x不變，且的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當(dāng)與重合時(shí)得，錯(cuò)誤；C：由三垂線(xiàn)定理，可證明，再由線(xiàn)面垂直的判定定理可得面，又面，則面面，正確；D：由，異面直線(xiàn)與所成角即為與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)與線(xiàn)段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取最小值，當(dāng)與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，正確.故選：ACD27BD【分析】讀懂題意

50、，求解曲率的關(guān)鍵，是求解線(xiàn)線(xiàn)夾角，再代入離散曲率公式處理.畫(huà)出對(duì)應(yīng)的立體圖形，根據(jù)邊角關(guān)系求出夾角的數(shù)值即可.當(dāng)然也可設(shè)出各棱長(zhǎng)的數(shù)值，建系求解，排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】A項(xiàng)，當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫?，所以，所以直四梭柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，選項(xiàng)B正確；C項(xiàng)，若，則，又，所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，在四面體中，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征可知

51、平面，選項(xiàng)D正確故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查離散曲率，考查考生的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力試題結(jié)合新定義離散曲率命制立體幾何試題，角度新穎，要求考生充分理解離散曲率的定義，結(jié)合立體幾何的結(jié)構(gòu)特征求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探素、理性思維學(xué)科素養(yǎng)28BC【分析】對(duì)于A，采用特殊值驗(yàn)證的方法，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)新函數(shù)的定義，給出的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)新函數(shù)的定義，設(shè)自變量為整數(shù)和小數(shù)部分組合的形式，根據(jù)小數(shù)部分不同取值，進(jìn)行驗(yàn)證，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)二次不等式的求解，結(jié)合新函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于A，則，故，故A不成立對(duì)于B，設(shè)，則，故，所以

52、，故B成立對(duì)于C，設(shè)，其中，則，若，則，故；若，則，故，故C成立對(duì)于D，由不等式，可得或，由題意，則或，故D不正確故選：BC.29BC【分析】對(duì)于A，幾何體的外接球與正方體的外接球相同，可求得其半徑；對(duì)于B，利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷；對(duì)于C，找到異面直線(xiàn)與所成角的正弦值取到最大以及最小值的位置，即可求解；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)可進(jìn)行求解.【詳解】幾何體關(guān)于正方體的中心對(duì)稱(chēng)，其外接球與正方體的外接球相同，半徑為，故A錯(cuò)誤.在正方體中， ,故為平行四邊形，所以,而平面平面，平面，故平面，同理可證平面,而平面,所以平面平面平面，則平面，B正確.由于

53、，則直線(xiàn)與所成最大角為（或），其正弦值為.直線(xiàn)與所成最小角為與平面所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，所成角即為，而平面平面,故 , ，故 ，故C正確.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 ,則,設(shè) ,則 ,設(shè)平面的法向量為，則，令，則 ，故 ，由題意知平面ABCD的法向量可取為 ，則 ，則面與底面所成角正弦值為，由于，故當(dāng)時(shí)，取到最小值8，則取到最小值為 ，當(dāng)或時(shí)，取最大值12，取最大值為，所以面與底面所成角正弦值的取值范圍為，D錯(cuò)誤.故選:BC.30ABD【分析】A選項(xiàng)，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，從而求出正方體的體積，減去8個(gè)三棱錐的體積，求出答案；B選項(xiàng)，求出補(bǔ)成的正方體的外接球的半徑即為該半正多

54、面體的半徑，從而求出外接球體積；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量共面定理進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用空間向量表達(dá)出直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AF所成角的余弦值，換元后，使用二次函數(shù)的取值范圍求出直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AF所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】將該半正多面體補(bǔ)成正方體因?yàn)樵摪胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2該半正多面體的體積，A正確該半正多面體的外接球球心即正方體的外接球球心設(shè)正方體的外接球球心為M，則該半正多面體的外接球半徑，故該半正多面體外接球的表面積為，C錯(cuò)誤建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可解得，則，共面，即A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面，B正確又，設(shè)，所以，則令，則因?yàn)?，所?/p>

55、，故直線(xiàn)DE與直線(xiàn)AF所成角的余弦值的取值范圍為D正確故選：ABD31AD【分析】利用反證法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分別取、的中點(diǎn)、，連接、，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在梯形中，且，則，因?yàn)?，由余弦定理可得，若，且，平面，平面，事?shí)上，矛盾，故不論何時(shí)，與都不可能垂直，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若平面，平面，則，所以，而，即，則、無(wú)法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，則，則，為的中點(diǎn)，則，故平面，以點(diǎn)為坐

56、標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、，設(shè)三棱錐的球心為，由可得，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，易知平面的一個(gè)法向量為，而，即當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，進(jìn)而可知直線(xiàn)與平面所成角無(wú)最大值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡

57、可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.32BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出三棱錐的外接球半徑，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，連接，由已知可得，故，則，即，且，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，易得

58、，則點(diǎn)、，若存在點(diǎn)，使得，化簡(jiǎn)可得，即，則，這與矛盾，故不存在點(diǎn)，使得，錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)，連接、，則，且，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，平面，同理可證平面，所以，三棱錐的外接球球心在直線(xiàn)上，設(shè)球的半徑為，由勾股定理得，即，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面，因?yàn)?，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，令，可得，即，所以，令，令，易知函?shù)在上連續(xù)，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得，因此，存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的大小為，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

59、解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.33ACD【分析】A選項(xiàng)，使用等體積法，面面平行進(jìn)行證明；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，求出平面的法向量，先求出正弦值的最值，進(jìn)而求出余弦值的最值；D選

60、項(xiàng)，找到外接球的球心，表達(dá)出半徑，求出最大值.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，而平面，故平面，因?yàn)辄c(diǎn)為面對(duì)角線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故G點(diǎn)到面距離不變，為2，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，故面積不變，故三棱錐不變，三棱錐的體積，故A正確；如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)（），平面的法向量為，則，令，則，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則設(shè)，即，解得：，因?yàn)?，故不合題意，所以線(xiàn)段上不存在點(diǎn)，使平面平面，B錯(cuò)誤；，平面的法向量為，則，其中，則的最大值為，因?yàn)?，所以的最小值為，C正確；如圖2，連接，交EF于點(diǎn)J，則為EF的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球球心的投