高三理科數(shù)學(xué)培養(yǎng)講義：第2部分 專題4 第7講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積

1、PAGE12第7講空間幾何體的三視圖、表面積和體積高考統(tǒng)計(jì)定方向熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：空間幾何體的三視圖與表面積或體積2022全國(guó)卷T16；2022全國(guó)卷T7；2022全國(guó)卷T4；2022全國(guó)卷T6；2022全國(guó)卷T6；2022全國(guó)卷T9；2022全國(guó)卷T6，T11；2022全國(guó)卷T6；2022全國(guó)卷T12分析近五年全國(guó)卷發(fā)現(xiàn)高考命題有以下規(guī)律：1以組合體的三視圖為背景，考查空間幾何體表面積、體積的計(jì)算，難度中檔較低；2對(duì)于球與幾何體的切接問(wèn)題、最值問(wèn)題，難度稍大，重在轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的空間想象及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力題型2：球與幾何體的切接問(wèn)題2022全國(guó)卷T8；2022全國(guó)卷T10；2022

2、全國(guó)卷T9；題型3：幾何體的表面積和體積的最值問(wèn)題2022全國(guó)卷T10；2022全國(guó)卷T16題型1空間幾何體的三視圖與表面積或體積核心知識(shí)儲(chǔ)備1畫幾何體的三視圖應(yīng)遵循：“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式1S柱側(cè)chc為底面周長(zhǎng)，h為高；2S錐側(cè)eqf1,2chc為底面周長(zhǎng)，h為斜高；3S臺(tái)側(cè)eqf1,2cchc，c分別為上、下底面的周長(zhǎng)，h為斜高3柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式1V柱體ShS為底面面積，h為高；2V錐體eqf1,3ShS為底面面積，h為高；3V臺(tái)eqf1,3SeqrSSSh不要求記憶4球體的體積、表面積公式Veqf4,3R3；S4R2其中R為球的半徑高考考法示

3、例【例1】12022洛陽(yáng)二模某幾何體的三視圖如圖241所示，則其表面積為圖241Aeqf17,2B9Ceqf19,2D102若正三棱錐ABCD中，ABAC，且BC1，則三棱錐ABCD的高為Aeqfr6,6Beqfr3,3Ceqfr2,2Deqfr6,31B2A1由三視圖可知幾何體為圓柱與eqf1,4球的組合體圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1所以幾何體的表面積為12213412eqf1,4eqf1,212eqf1,2129，故選B2設(shè)三棱錐A，AC，AD兩兩垂直，且ABACADeqfr2,2BCeqfr2,2，BCD的面積為eqfr3,412eqfr3,4由VABCDVBACD得eqf1

4、,3SBCDheqf1,3SACDAB，即eqf1,3eqfr3,4heqf1,3eqf1,2eqblcrcavs4alco1fr2,2eqsu，底面邊長(zhǎng)為12cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的表面積為圖245A36cm2B64cm2C80cm2D100cm2B根據(jù)題意，球的截面圓是邊長(zhǎng)為12的正三角形的內(nèi)切圓，易知內(nèi)切圓的半徑為2eqr3，球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，d862cm，設(shè)球的半徑為Rcm，則R2R222eqr32，解得R4，則球的表面積為4R264cm2故選B2已知一個(gè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為eqr2，

5、則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為_(kāi)eqfr3,54由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示AEABsin60eqfr6,2，AOeqf2,3AEeqfr6,3，DOeqrAD2AO2eqf2r3,3，三棱錐的體積VDABCeqf1,3SABCDOeqf1,3，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則VDABCeqf1,3rSABCSABDSBCDSACDeqf1,3，reqfr3,6，V內(nèi)切球eqf4,3r3eqfr3,54題型3幾何體的表面積和體積的最值問(wèn)題與空間幾何體有關(guān)的最值問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)之一，其中與球切、接有關(guān)的幾何體的最值問(wèn)題常常涉及體積、截面面積的最值，重在考察學(xué)生的空間想象能力；而幾何體體積的最

6、值問(wèn)題常常與圖形折疊、展開(kāi)等知識(shí)相交匯，重在考察學(xué)生的空間想象及數(shù)學(xué)建模能力高考考法示例角度一與球切、接有關(guān)的幾何體的最值問(wèn)題【例31】2022全國(guó)卷在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是A4Beqf9,2C6Deqf32,3思路點(diǎn)撥eq球能否與直三棱柱各個(gè)面均相切eqo,suaeqf4,3eqblcrcavs4alco1f3,2eqsu，其余棱長(zhǎng)均為2，當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為Aeqf21,4Beqf20,3Ceqf5,4Deqf5,322022全國(guó)卷如圖246，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該

7、紙片上的等邊三角形ABC的中心為，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積單位：cm3的最大值為_(kāi)圖2461B24eqr15cm31由題意畫出三棱錐的圖形，其中ABBCCDBDAC2，ADm取BC，AD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，可知AEBC，DEBC，且AEDEE，BC平面AED，平面ABC平面BCD時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大，此時(shí)ADmeqr2AEeqr2eqr3eqr6設(shè)三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，由球體的對(duì)稱

8、性知，球心O在線段EF上，OAOCR，又EFeqrAE2AF2eqrr32blcrcavs4alco1fr6,2eqsu3方法歸納解答立體幾何最值問(wèn)題的三種思考方向1根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；2將幾何體平面化，如利用展開(kāi)圖，在平面幾何圖中直觀求解；3建立函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)求解對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練12022全國(guó)卷設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9eqr3，則三棱錐DABC體積的最大值為A12eqr3B18eqr3C24eqr3D54eqr3B設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，則eqf1,22sin609eqr3，得6設(shè)

9、ABC的外接圓半徑為r，則2reqf6,sin60，解得r2eqr3，所以球心到ABC所在平面的距離deqr422r322，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1d46，所以三棱錐DABC體積的最大值Vmaeqf1,3SABC6eqf1,39eqr3618eqr32正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為棱A1B1中點(diǎn)，到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為圖247A2eqr17B2eqr5C3D2B由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16畫出該圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示，連接MN，則MS2，SN4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為eqrMS2SN2eqr22422e

10、qr5故選B圖1圖222022全國(guó)卷某多面體的三視圖如圖248所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為圖248A10B12C14D16B觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示因此該多面體各個(gè)面中有2個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2eqf1,224212故選B32022全國(guó)卷如圖249，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是eqf28,3，則它的表面積是圖249A17B18C20D28A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的eqf1,4，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則eqf4,3R3eqf1,8eqf4,3R3eqf28,3，解得Rf7,84R2eqf3,4R2最新模擬42022吉安一中等八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考如圖2410，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為圖2410A4B3eqr2C2eqr2D2eqr3D如圖所示，由三視圖可知該幾何體為四棱錐ABCDE其中，AC平面BCDE，