03第三節(jié)微積分基本公式

1、第三節(jié)微積分基本公式積分學(xué)中要解決兩個(gè)問題：第一個(gè)問題是原函數(shù)的求法問題，我們?cè)诘谒恼轮幸呀?jīng)對(duì)它 做了討 論；第二個(gè)問題就是定積分的計(jì)算問題.如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分那將是十分困難的.因此尋求一種計(jì)算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.我們知道，不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個(gè)概念但是， 牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個(gè)概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系.即所謂的微積分基本定理，并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑 牛頓-萊布尼茨公式從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科一一微積分學(xué).牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學(xué)的奠基人而載入

2、史冊(cè).分布圖示引言引例積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 2-3例6原函數(shù)存在定理牛頓一萊布尼茨公式的幾何解釋例 8 -9例 10例13例14內(nèi)容小結(jié)習(xí)題5-3積分上限函數(shù)例1 TOC o 1-5 h z 例4例5例7牛頓一萊布尼茨公式例11例12例15例16課堂練習(xí)講解注意：一、引例變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系八x二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：中(x)二f(t)dta定理2若函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)n (x) = f(t)dta 就是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù).三、牛頓一萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf(x)dF(b)F(a

3、).(3.6)a公式(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式.例題選講:積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1 (E01)求右圖中陰影區(qū)域的面積解由題意，得到陰影區(qū)域的面積二(兀(2sec2xdx+,2 (1 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1 (E01)求右圖中陰影區(qū)域的面積解由題意，得到陰影區(qū)域的面積二(兀(2sec2xdx+,2 (1 x2)dx4-2dx - - sec2xdx，. dx，j x2dx.3工一x1R_|1 o =1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 32 3例 2 (E02)求一|fxcos2tdt .dx IL解 dcos2t d t = c o

4、 Sx.dx例 3 (E03)求一xet2dt.dx ILi這甲 . e AL 3,的函數(shù)，因而是 x的復(fù)合函數(shù)，令x3=u,則中(u) = etdt，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有2 =eu2 3*2 =3x2ex6例4設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，試求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) F (x) = j。 嚇 dt;(2) F (x)=xf (t) dt;cosx0解F (x) =efnxQg氣待此 F (x)=f(x t)dt.0(2)因?yàn)?F (x) =x f (t)dt,所以 F (x) =xf (x) + i f (t)dt.0, 0(3)因?yàn)?F (x)=f (x t)dt u =x t -f (u)du = J f (u)du.,所以，F(xiàn) (x) = f (x).例5設(shè)函數(shù)y =y(x)由方程edt +一2sint