2022年成人高考專升本《高等數(shù)學(xué)》考試復(fù)習(xí)教程及重點(diǎn)分析資料匯編

1、PAGE 55PAGE 2022年成人高考專升本高等數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)教程及重點(diǎn)分析資料匯編函數(shù)、極限和連續(xù)1.1 函數(shù)主要內(nèi)容 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義: y=f(x), xD定義域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函數(shù): 3.隱函數(shù): F(x,y)= 04.反函數(shù): y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的； 則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。 函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),xD,x1

2、、x2D 當(dāng)x1x2時(shí),若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少( )； 若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加( )；若f(x1)f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少( )。 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)：f(-x)=f(x) 奇函數(shù)：f(-x)=-f(x) 3.函數(shù)的周期性： 周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x(-，+) 周期：T最小的正數(shù) 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)： y=c ， (c為常數(shù))2.冪函數(shù)： y=xn , (n為

3、實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a0、a1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函數(shù): 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)1.2 極 限主要內(nèi)容極限的概念數(shù)列的極限: 稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;或

4、稱數(shù)列收斂于A.定理: 若的極限存在必定有界.2.函數(shù)的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 當(dāng)時(shí)，的極限： 左極限： 右極限：函數(shù)極限存的充要條件：定理：無窮大量和無窮小量1.無窮大量： 稱在該變化過程中為無窮大量。 X再某個(gè)變化過程是指： 2.無窮小量： 稱在該變化過程中為無窮小量。3.無窮大量與無窮小量的關(guān)系： 定理：4.無窮小量的比較： 若,則稱是比較高階的無窮小量； 若 （c為常數(shù)），則稱與同階的無窮小量； 若，則稱與是等價(jià)的無窮小量，記作：； 若,則稱是比較低階的無窮小量。定理：若： 則：兩面夾定理數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)： （n=1、2、3） 且： 則： 函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則： 設(shè)：對(duì)于

5、點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn) （點(diǎn)x0除外）有： 且： 則：極限的運(yùn)算規(guī)則 若： 則： 推論： 兩個(gè)重要極限 1 或 2 1.3 連續(xù)主要內(nèi)容 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義， 1o 2o 左連續(xù)： 右連續(xù)：函數(shù)在處連續(xù)的必要條件： 定理：在處連續(xù)在處極限存在 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件： 定理：函數(shù)在上連續(xù)： 在上每一點(diǎn)都連續(xù)。 在端點(diǎn)和連續(xù)是指： 左端點(diǎn)右連續(xù)； 右端點(diǎn)左連續(xù)。 a+ 0 b- x函數(shù)的間斷點(diǎn)：若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況： 1o在處無定義； 2o不存在；3o在處有定義，且存在， 但。 兩類間斷點(diǎn)的判斷： 1o第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和都存在?？扇ラg斷點(diǎn)：

6、存在，但，或在處無定義。 2o第二類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為， 或振蕩不存在。無窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算： 設(shè)， 1o 2o 3o 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性： 則：反函數(shù)的連續(xù)性： 函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì) 1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x有界定理： 在上連續(xù)在上一定有界。 3.介值定理： 在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得：， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推論： 。初等函數(shù)的連續(xù)性： 初等函數(shù)在其定域區(qū)

7、間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)2.1 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念 1導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 2左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在； 則： （或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件： 定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù) 4. 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件： 定理：存在， 且存在。 5.導(dǎo)函數(shù)： 在內(nèi)處處可導(dǎo)。 y 6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點(diǎn) 處切線的斜率。 o x0 x求導(dǎo)法則 1.基本求導(dǎo)公式： 2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算： 1o 2o 3o 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ，或 注意與的區(qū)別： 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)； 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)： 函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

8、等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。微分的概念 1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 其中：與無關(guān)，是比較高 階的無窮小量，即： 則稱在處可微，記作： 2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系： 定理：在處可微在處可導(dǎo)，且： 3.微分形式不變性： 不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容中值定理 1.羅爾定理: 滿足條件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：滿足條件: 羅必塔法則：（ 型未定式）定理：和滿足條件：1o；2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o 則：注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。 2o若不滿足法則的條件，

9、不能使用法則。 即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。 3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母 求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。 4o若和還滿足法則的條件， 可以繼續(xù)使用法則，即： 5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變 形，化成或型；若是型可 采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線方程：曲線的單調(diào)性： 3.函數(shù)的極值：極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)；若對(duì)于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有：則稱是的一個(gè)極大值（或極小值），稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 極值存在的必要條件：定理：稱為的駐點(diǎn) 極值存在的充分條件： 定理一：當(dāng)漸增通過時(shí)，由（+）變（-）；則為極大值； 當(dāng)漸增通過時(shí)，由（-

10、）變（+）；則為極小值。定理二： 若，則為極大值； 若，則為極小值。注意：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。 4曲線的凹向及拐點(diǎn)：若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（）；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（）； 5。曲線的漸近線： 水平漸近線： 鉛直漸近線：第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 3.1 不定積分主要內(nèi)容重要的概念及性質(zhì)：1原函數(shù)：設(shè)： 若： 則稱是的一個(gè)原函數(shù)， 并稱是的所有原函數(shù), 其中C是任意常數(shù)。2不定積分： 函數(shù)的所有原函數(shù)的全體， 稱為函數(shù)的不定積分；記作： 其中：稱為被積函數(shù)； 稱為被積表達(dá)式；稱為積分變量。 3. 不定積分的性質(zhì)： 或： 或： 分項(xiàng)積分法 (k為非零常數(shù)) 4.基本

11、積分公式：換元積分法： 第一換元法：（又稱“湊微元”法） 常用的湊微元函數(shù)有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二換元法： 第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)， 其作用是將根式有理化。 一般有以下幾種代換： 1o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 2o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 3o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí)) 4o (當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))分部積分法： 1. 分部積分公式： 2.分部積分法主要針對(duì)的類型： 其中： （多項(xiàng)式） 3.選u規(guī)律： 在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱“三多選多”。 在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令， 其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指多選多”。 在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令， 其余記作dv

12、;簡(jiǎn)稱“多對(duì)選對(duì)”。 在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù) 為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“多反選反”。 在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù) 為u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱“指三任選”。簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分： 1. 有理函數(shù)： 其中是多項(xiàng)式。 2. 簡(jiǎn)單有理函數(shù)： 3.2定積分 f(x)主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)定積分的定義： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)， yx 軸下方的面積取負(fù)號(hào)。 + + a 0 - b x定積分存在定理：

13、 若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)： 牛頓萊布尼茲公式：牛頓萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。原函數(shù)存在定理： 定積分的性質(zhì)： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x（二）定積分的計(jì)算：換元積分 分部積分 廣義積分 定積分的導(dǎo)數(shù)公式 (三)定積分的應(yīng)用平面圖形的面積: 與x軸所圍成的圖形的面積 y f(x) 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖； 確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；應(yīng)

14、用公式寫出積分式，并進(jìn)行計(jì)算。旋轉(zhuǎn)體的體積及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 0 a b x及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 第四章 多元函數(shù)微積分初步4.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分主要內(nèi)容：多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義： 二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）二元函數(shù)的極限和連續(xù)：極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件： 連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿足條件： .偏導(dǎo)數(shù)：.全微分：1.定義：z=f(x,y) 在點(diǎn)(x,y)處的全微分。全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1. 2. .隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.2. .二階偏導(dǎo)數(shù)： .二元函數(shù)的無條件極

15、值二元函數(shù)極值定義： 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 2.極值的必要條件：兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則： 而非充分條件。例： 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。極值的充分條件： 求二元極值的方法： 極值點(diǎn)。 二倍角公式：(含萬能公式) = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB3 = 5 * GB3 第五章排列與組合（1）加法原理：完成一件事情與分類有關(guān)，即每一類各自獨(dú)立完成，此事即可完成。（2）乘法原理：完成一件事情與步驟有關(guān)，即一次完成每一步驟，此事才能完成。排列：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素，按照一定的順序排列成一列，稱為從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)

16、元素的一個(gè)排列，計(jì)算公式：組合：從n個(gè)不同元素里，任取個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素里取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合總數(shù)記為，計(jì)算公式：第六章概率論符號(hào)概率論集合論樣本空間全集不可能事件空集基本事件集合的元素 A事件子集A的對(duì)立事件A的余集事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=BA與B兩事件相等集合A與B相等事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A與B的差集事件A與事件B互不相容A與B沒有相同元素由于隨機(jī)事件都可以用樣本空間中的某個(gè)集合來表示，于是事件間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的知識(shí)來討論和表示，為了直觀，可以用集合的韋恩

17、圖來表示事件的各種關(guān)系和運(yùn)算法則，一般用某個(gè)矩形區(qū)域表示樣本空間，該區(qū)域的一個(gè)子區(qū)域表示某個(gè)事件。于是各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖中的圖示所示。各事件的關(guān)系運(yùn)算如圖示： 9.完備事件組 n個(gè)事件，如果滿足下列條件：（1）；（2），則稱其為完備事件組。顯然任何一個(gè)事件A與其對(duì)立事件構(gòu)成完備事件組。10.事件運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則：（1）交換律（2）結(jié)合律 （3）分配律 （4）對(duì)偶律率的古典定義定義：在古典概型中，若樣本空間所包含的基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為。概率的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則性質(zhì)1.0P(A)1特別地，P()=0，P()=1性質(zhì)2.若，則P(B-A)=P(B)-P(

18、A)性質(zhì)3.（加法公式）對(duì)任意事件A，B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 。推論1.若事件A，B互不相容（互斥），則P(A+B)=P(A)+P(B) 推論2.對(duì)任一事件A,有推論3.對(duì)任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)條件概率、乘法公式、事件的獨(dú)立性條件概率定義1：設(shè)有事件A，B，且P(B)0,稱類似地，如果P(A)0，則事件B對(duì)事件A的條件概率為概率的乘法公式乘法公式可推廣到有限多個(gè)事件的情況，例如對(duì)事件A,B,C,有事件的獨(dú)立性一般地說, P(AB)P(A)，即說明事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生

19、的概率。若P(AB)P(A)，則說明事件B的發(fā)生在概率意義下對(duì)事件A的發(fā)生無關(guān),這時(shí)稱事件A，B相互獨(dú)立。定義：對(duì)于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。獨(dú)立試驗(yàn)序列概型在相同的條件下，獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A可能發(fā)生或可能不發(fā)生，且事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為一維隨機(jī)變量及其概率分布（一）隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量定義：設(shè)為樣本空間，如果對(duì)每一個(gè)可能結(jié)果，變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱X為定義在上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記作。2.離散型隨機(jī)變量定義：如果隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或無限可列個(gè)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量

20、。（二）分布函數(shù)與概率分布1.分布函數(shù)定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。分布函數(shù)F(x)有以下性質(zhì)：（2）F(x)是x的不減函數(shù)，即對(duì)任意（4）F(x)是右連續(xù)的，即（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,有PaXb=F(b)-F(a)2.離散型隨機(jī)變量的概率分布則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布（或概率函數(shù)或分布列）。離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用下列列表形式來表示：3.分布函數(shù)與概率分布之間的關(guān)系若X為離散型隨機(jī)變量，則。隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.數(shù)學(xué)期望（1）數(shù)學(xué)期望的概念定義：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記

21、作EX，即（2）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)若C為常數(shù)，則E(C)=C若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X)若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b若X,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差（1）方差的概念定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，如果存在，則稱為X的方差，記作DX，即方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，如果X的概率函數(shù)為，則X的方差為（2）方差的性質(zhì)若C為常數(shù)，則D(C)=0若a為常數(shù)，則若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)基本公式由（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；1的對(duì)數(shù)是零；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1。（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：3、對(duì)數(shù)換底公式：由換底公式推出一些常用的結(jié)論：

22、（1）（2）（3）（4） 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是HYPERLINK / ；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，1、數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：（1）， （2）， 則定理1.4 若數(shù)列xn單調(diào)有界，則它必有極限。2、數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。 （1）（2） ，（3）當(dāng)時(shí)，3、當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是 這就是說：如果當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。反之，如果左、右極限都等于A，則必有。4、函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8

23、（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2），則有。推論 ：（1）（2） ，（3） 5、無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。6、等價(jià)無窮小量代換定理：如果當(dāng)時(shí)，均為無窮小量，又有且存在，則。7、重要極限 8、重要極限是指下面的公式：9、 （2） （3） （4） 10、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)

24、的性質(zhì)。定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）g（x） 在x0處連續(xù) ，（2）f（x）g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）0，則在x0處連續(xù)。定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x= x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在x= x0處連續(xù)。定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性

25、質(zhì)以后都要用到。定理1.15（有界性定理） 如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在a，b上至少存在一個(gè)，使得f（）=C11、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.15（有界性定理） 如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。定理1.16（

26、最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在a，b上至少存在一個(gè)，使得f（）=C12、推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在a，b內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得f（）=013、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則f（x）在x0處連續(xù)也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值

27、，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。14、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2.1如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在x0處必定連續(xù)。15、由這個(gè)定理可知：若函數(shù)f（x）在x0不連續(xù)，則f（x）在x0處必定不可導(dǎo)。16、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C）=0 （2）（x）=x-1 （3）（4）（5）（ax）=axlna（a0,a1） （6）（ex）=ex （7）（8）（9）（sinx）=cosx （10）（cosx）= -sinx （11）（12）（13）（secx）=secxtanx （14）（cscx）= -cscxcotx（15）（16）（17）（18）2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)u=u

28、（x），v=v（x）均為x的可導(dǎo)函數(shù)，則有（1）（uv）=uv（2）（uv）=uv+uv（3）（cu）=cu（4）（5）（6）（uvw）=uvw+uvw+uvw3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則如果u=（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f（u）在相應(yīng)的點(diǎn)u=（x）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 同理，如果y=f（u），u=（v），v=（x），則復(fù)合函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為4.反函數(shù)求導(dǎo)法則如果x=（y）為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其反函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)17、微分的計(jì)算dy=f(x)dx求微分dy只要求出導(dǎo)數(shù)f(x)再乘以dx，所以我們前面學(xué)過的求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)法則完全適用于微分的計(jì)算。于是有下

29、列的微分公式及微分法則：（1）d（c）=0（c為常數(shù)）（2）（為任意實(shí)數(shù)） （6）d（ex）=exdx（7）d（sin x）=cos xdx（8）d（cos x）=-sin xdx （17）d（cu）=cdu 18、微分形式不變性設(shè)函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為dy=f(u)du19、常用的湊微分公式：1）、， ， ， ， ，20、常用的換元類型有：被積函數(shù)類型所用代換代換名稱正弦代換正切代換根式代換21、定積分的基本性質(zhì)（1）。（k為常數(shù)）。（2）。（3）。（4）如果f（x）在區(qū)間a, b上總有f（x）g（x），則。（5）（6）設(shè)M和m分別為f（x）

30、在區(qū)間a, b上的最大值和最小值，則有（7）積分中值定理如果f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在區(qū)間a, b上至少存在一點(diǎn)，使得22、變上限定積分求導(dǎo)定理1.變上限定積分定義 定義 積分上限x為變量時(shí)的定積分稱為變上限定積分。變上限定積分是積分上限x的函數(shù)，記作，一般有 2.變上限定積分求導(dǎo)定理定理 如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a, b上連續(xù)，則有推論，23、計(jì)算定積分1.牛頓萊布尼茨公式 如果f(x)在區(qū)間a,b上的連續(xù)，且，則有推論：(1)若f(x)為奇函數(shù)，則(2)若f(x)為偶函數(shù)，則2、定積分的分部積分法24、定積分的應(yīng)用1.計(jì)算平面圖形的面積(1)X型：曲線y=f(x)，y=g(x)(f(

31、x)g(x)和直線x=a,x=b(ab)所圍成的平面圖形的面積A為。(2)Y型：曲線和直線y=c,y=d(cd)，所圍成的平面圖形的面積A為。2.旋轉(zhuǎn)體的體積(1)X型 由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)和直線x=a,x=b(ab)及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積(2)Y型 由連續(xù)曲線和直線y=c,y=d(c0,稱 29、概率的乘法公式，30、（1）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 若C為常數(shù)，則E(C)=C，若a為常數(shù)，則E(aX)=aE(X) 若b為常數(shù)，則E(X+b)=E(X)+b若X,Y為隨機(jī)變量，則E(X+Y)=E(X)+E(Y) （2）方差的性質(zhì)若C為常數(shù)，則D(C)=0；

32、若a為常數(shù)，則若b為常數(shù)，則D(X+b)=D(X)； 高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)教程第一講 函數(shù)、連續(xù)與極限一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會(huì)用等價(jià)無窮小和羅必達(dá)法則求極限3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A.極限的求法（1）用定義求（2）代入法（對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則

33、與Taylor級(jí)數(shù)法（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)）1.（等價(jià)小量與洛必達(dá)）2.已知解： （洛必達(dá)）3. （重要極限）4.已知a、b為正常數(shù)，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設(shè)連續(xù)，求 （洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知在x=0連續(xù)，求a解：令 （連續(xù)性的概念）三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)） 1. （洛必達(dá)）2. （洛必達(dá)或Taylor）3. （洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）第二講 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會(huì)求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、C

34、auchy、Taylor定理會(huì)用定理證明相關(guān)問題3.應(yīng)用會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問題，能畫簡(jiǎn)圖會(huì)計(jì)算曲率（半徑）二、題型與解法A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.決定，求2.決定，求解：兩邊微分得x=0時(shí)，將x=0代入等式得y=13.決定，則 B.曲線切法線問題4.求對(duì)數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。解：5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x-0的極限有：f(1)=0C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題6.已知，求點(diǎn)的

35、性質(zhì)。解：令，故為極小值點(diǎn)。7.，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。解：定義域8.求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，D.冪級(jí)數(shù)展開問題9.或：10.求解：= E.不等式的證明11.設(shè)，證：1）令 2）令F.中值定理問題12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在（-1，1）上存在一點(diǎn)證：其中將x=1，x=-1代入有兩式相減：13.，求證： 證：令令 （關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.曲線3.4.證明x0時(shí) 證：令 第三講 不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解

36、定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會(huì)求定積分、廣義積分會(huì)用定積分求幾何問題（長、面、體）會(huì)用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計(jì)算1.2.3.設(shè)，求解：4.B.積分性質(zhì)5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解： 6. C.積分的應(yīng)用7.設(shè)在0，1連續(xù)，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解： 8.曲線，過原點(diǎn)作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為 曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為 總表面積為三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第四講 向量代數(shù)、多

37、元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1.向量代數(shù)理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法3.多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值4.空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離二、題型與解法A.求偏導(dǎo)、全微分1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求解：2.3.，求B.空間幾何問題4.求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。解：5

38、.曲面在點(diǎn)處的法線方程。C.極值問題6.設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)與極值。三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3. 第五講 多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件3.曲面積分理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分二、題型與解法A.重積分計(jì)算1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：2.為與圍域。（3.，求 (

39、49/20)B.曲線、曲面積分4. 解：令 5.,。解：取包含(0,0)的正向， 6.對(duì)空間x0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S， ，且在x0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解： 第六講 常微分方程一、理論要求1.一階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法2.高階方程會(huì)求3.二階線性常系數(shù)(齊次)(非齊次)(非齊次)二、題型與解法A.微分方程求解1.求通解。（2.利用代換化簡(jiǎn)并求通解。（）3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講 無窮級(jí)數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法2.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）Taylor與Maclaulin展開3.Fourier級(jí)數(shù)了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理會(huì)求的Fourier級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù)第八講 線性代數(shù)一、理論要求1.行列式會(huì)用按行（列）展開計(jì)算行列式2.矩陣幾種矩陣（單位、數(shù)量、對(duì)角、三角、對(duì)稱、反對(duì)稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴