R語(yǔ)言中的概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、語(yǔ)中的概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)錄1. 隨機(jī)變量2. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征3. 極限定理、隨機(jī)變量隨機(jī)變量（random variable）表隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的實(shí)值函數(shù)。隨機(jī)變量是定義在樣本空間S上，取值在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)，由于它的變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，因此，隨機(jī)變量的取值具有定的隨機(jī)性。#sample(x=x,size=5,replace=T)size“replace”就是重復(fù)的意思。即可以重復(fù)對(duì)元素進(jìn)抽樣，也就是所謂的有放回抽樣。如果隨機(jī)變量X的全部可能的取值只有有限多個(gè)或可列窮多個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。 S X S names(which.max(table(S)1

2、7#table()names()as.numeric()分別得到名稱和頻數(shù)x Freq1 a 422 b 253 c 33 table(S)S1 2 3 7 9 10 211 1 3 4 1 1 1在給定情形下可以達(dá)到的最數(shù)量或最數(shù)值在給定情形下可以達(dá)到的最數(shù)量或最數(shù)值是指將統(tǒng)計(jì)總體當(dāng)中的各個(gè)變量值按順序排列起來(lái)，形成個(gè)數(shù)列，處于變量數(shù)列中間位置的變量值就稱為中位數(shù)于描述任何類型的數(shù)據(jù)，尤其是偏態(tài)數(shù)據(jù)的離散程度,即將全部數(shù)據(jù)從到排列，正好排列在上1/4位置叫上四分位數(shù)，下1/4位置上的數(shù)就叫做下四分位數(shù)R程序：計(jì)算樣本(1,2,3,4,5,6,7,8,9)的四分位數(shù)0% 25% 50% 75%

3、 100%13579fivenum(S)1 1 3 5 7 9R程序：計(jì)算樣本(1,2,3,4,5,6,7,8,9)的統(tǒng)計(jì)函數(shù)135579協(xié)差于衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差。差是協(xié)差的種特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。設(shè)X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，稱EX-E(X)Y-E(Y)為X和Y的協(xié)差，記錄Cov(X,Y)。R程序：計(jì)算X(1,2,3,4)和Y(5,6,7,8)的協(xié)差1 1.666667(Correlationcoefficient)相關(guān)系數(shù)是以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)是按積差法計(jì)算，同樣以兩變量與各平均值的離差為基礎(chǔ)，通過(guò)兩個(gè)離差相乘來(lái)反映兩變量之間相關(guān)程度。當(dāng)Var(X

4、)0,Var(Y)0時(shí)，稱Cov(X,Y)/sqrt(Var(X)*Var(Y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)。R程序：計(jì)算X(1,2,3,4)和Y(5,7,8,9)的相關(guān)系數(shù)1 0.9827076 均值和差分別就是階原點(diǎn)矩和階中矩，具體定義和概念，可詳見(jiàn)陳希孺概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)P132-133是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏斜向和程度的度量，是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱程度的數(shù)字特征。設(shè)分布函數(shù)F(x)有中矩2=E(XE(X)2, 3 = E(XE(X)3，則Cs=3/2(3/2)為偏度系數(shù)。當(dāng)Cs0時(shí)，概率分布偏向均值右則,Cs library(PerformanceAnalytics) S skewness(S)#hist()

5、 函數(shù)：繪制直圖 表征概率密度分布曲線在平均值處峰值低的特征數(shù)。峰度刻劃不同類型的分布的集中和分散程序。設(shè)分布函數(shù)F(x)有中矩2=E(XE(X)2, 4=E(X E(X)4，則Ck=4/(u22-3)為峰度系數(shù)。R語(yǔ)：計(jì)算10000個(gè)正態(tài)分布的樣本的峰度，(同偏度的樣本數(shù)據(jù))1 -0.02443549hist(S,breaks=100) matrix)可以理解成不同維度上的協(xié)差V1V2V1V2V1 1.13470650 -0.09292042V2 -0.09292042 1.03172261V1V2V1 1.13470650 -0.09292042V2 -0.09292042 1.03172

6、261三、極限定理引：我們知道，隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律是在相同條件下進(jìn)量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)呈現(xiàn)出來(lái)的，常見(jiàn)的兩種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為：頻率的穩(wěn)定性，即在量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)的頻率總是在它的概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，該頻率總是越來(lái)越明顯地穩(wěn)定在其概率附近；平均值的穩(wěn)定性，即在多次重復(fù)測(cè)量中，測(cè)量平均值總是在它的真實(shí)值附近擺動(dòng)，且隨著測(cè)量次數(shù)的增加，測(cè)量平均值總是越來(lái)越明顯地穩(wěn)定在其真實(shí)值附近。對(duì)以上兩種規(guī)律，們不僅研究觀測(cè)值趨向于哪個(gè)穩(wěn)定值，且還分析了觀測(cè)值在穩(wěn)定值周圍的擺動(dòng)形式(分布情況)。針對(duì)觀測(cè)值趨向于哪個(gè)穩(wěn)定值，數(shù)學(xué)語(yǔ)及理論來(lái)分析研究，就引出了數(shù)定律。其中關(guān)于頻率穩(wěn)定性的數(shù)定律稱為伯努利數(shù)定律，

7、關(guān)于均值穩(wěn)定性的數(shù)定律稱為欽數(shù)定律。針對(duì)觀測(cè)值在穩(wěn)定值周圍的擺動(dòng)形式，數(shù)學(xué)理論進(jìn)研究，就得出了中極限定理所謂的中極限定理，就是把和的分布收斂于正態(tài)分布的那些定理的個(gè)統(tǒng)稱。注在概率論中，“定律”與“定理”是樣的意思“定理”般于指那些能數(shù)學(xué)具嚴(yán)格證明的結(jié)論；“定律”是指?jìng)兺ㄟ^(guò)觀察分析得出來(lái)種經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，如頓三定律，熱學(xué)定律等因?yàn)楦怕收撝械摹皵?shù)定律”不僅是在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，且也可以數(shù)學(xué)具嚴(yán)格地去證明，所以叫“數(shù)定律”或叫“數(shù)定理”都可以。R語(yǔ)：假設(shè)投硬幣，正概率是0.5，投4次時(shí)，計(jì)算得到2次正的概率？根據(jù)數(shù)定律，如果投是10000次，計(jì)算5000次正的概率？#2次正的的概率 choose(

8、4,2)/24 #choose42個(gè)1 0.375#pbinom5000100000.5(central 中極限定理是概率論中的組定理。中極限定理說(shuō)明，量相互獨(dú)的隨機(jī)變量，其均值的分布以正態(tài)分布為極限。是棣莫佛拉普拉斯定理的擴(kuò)展，討論獨(dú)同分布隨機(jī)變量序列的中央極限定理。它表明，獨(dú)同分布、且數(shù)學(xué)期望和差有限的隨機(jī)變量序列的標(biāo)準(zhǔn)化和以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限：-棣莫佛-拉普拉斯（de Moivre - Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從項(xiàng)分布的隨機(jī)變量序列。它指出，參數(shù)為n,p的項(xiàng)分布以n為均值、n(1-)為差的正態(tài)分布為極限。R語(yǔ)：中極限定理模擬，從指數(shù)分布到正態(tài)分布clt.ani()#1.libraryrequirelibraryrequire則會(huì)繼續(xù)執(zhí)。ervala positive number to set the time interval of the animation (unit in seconds); default to be 1.3.nmaxmaximum number of steps in a loop (e.g. iterations) to create animation frames. Note: the actual number of fra