信號(hào)處理傅里葉變換課件

1、數(shù)字信號(hào)處理Digital Signal Processing(DSP)信息學(xué)院電子系數(shù)字信號(hào)處理Digital Signal Processi第2章 離散傅里葉變換 2.1 引言2.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）2.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 2.4 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT） 2.5 離散傅里葉變換（DFT）的性質(zhì) 2.6 頻域采樣理論 第2章 離散傅里葉變換 2.1 引言2.1 引言計(jì)算機(jī)只能處理有限長(zhǎng)離散序列，因而無(wú)法直接利用ZT與FT進(jìn)行數(shù)值計(jì)算針對(duì)有限長(zhǎng)序列, 還有一種更有用的數(shù)學(xué)變換, 即離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform

2、），使數(shù)字信號(hào)處理可以在頻域采用數(shù)字運(yùn)算的方法進(jìn)行DFT的實(shí)質(zhì)：有限長(zhǎng)序列傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣，即頻域離散化DFT有多種快速算法(Fast Fourier Transform), 因此不僅在理論上有重要意義, 在各種數(shù)字信號(hào)處理算法中亦起著核心作用2.1 引言計(jì)算機(jī)只能處理有限長(zhǎng)離散序列，因而無(wú)法直接利用Z 傅里葉變換的幾種可能形式連續(xù)和非周期 連續(xù)和周期離散和非周期離散和周期非周期和連續(xù)非周期和離散周期和連續(xù)周期和離散 傅里葉變換的幾種可能形式連續(xù)和非周期 連續(xù)和周期離散和非周結(jié)論 一個(gè)域的離散對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的周期延括 一個(gè)域的連續(xù)對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的非周期數(shù)字信號(hào)處理涉及的變量和運(yùn)算都是離散

3、(數(shù)字)的，因此在作傅里葉變換時(shí)，時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)都應(yīng)該是離散的前三種傅里葉變換對(duì)中，時(shí)域或頻域中至少有一種是連續(xù)函數(shù)，所以都不可能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算和實(shí)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域上采樣形成頻率的周期函數(shù)，而在頻域上采樣則導(dǎo)致時(shí)域的周期函數(shù)前三種形式最后都能成為第四種形式我們先討論周期序列的DFS，在此基礎(chǔ)上討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的DFT結(jié)論 數(shù)字信號(hào)處理涉及的變量和運(yùn)算都是離散(數(shù)字)的，因此在2.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 周期序列不是絕對(duì)可和的，因此FT是不存在的，但由于是周期性的，可以展成DFS r為任意整數(shù) 設(shè) 是一個(gè)周期為N的周期序列， 即 周期序列中應(yīng)用最廣泛的序

4、列為：2.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 周期序列不是絕對(duì)周期性對(duì)稱(chēng)性n=mN, m為整數(shù) 其他n 正交性 上述特性為離散傅里葉變換的分析與計(jì)算提供了方便 周期序列(N)可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，即用周期為N的復(fù)指數(shù)序列 來(lái)表達(dá)周期性對(duì)稱(chēng)性n=mN, m為整數(shù) 其他n 正交性 上述特性為 一個(gè)周期為N的周期序列有N個(gè)獨(dú)立值， 其離散傅里葉級(jí)數(shù)也只有N個(gè)獨(dú)立分量。 其離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)可表示為 一個(gè)周期為N的周期序列有N個(gè)獨(dú)立值， 其離散傅里葉級(jí)數(shù)也只 例已知周期序列 其周期N=8, 試求解DFS 例已知周期序列 其周期N=的幅度特性如下圖所示 的幅度特性如下圖所示 可看成是對(duì) 的第

5、一個(gè)周期x(n)傅里葉變換的等間隔采樣通常稱(chēng)x(n)為 的主值區(qū)序列 DFS的物理意義0nN-1 其他n 令x(n)的Z變換為 可看成是對(duì) 的第一個(gè)周期x(比較上面兩式，可以得到比較上面兩式，可以得到 結(jié)論： 當(dāng)0kN-1 時(shí)， 是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化 結(jié)論： 當(dāng)0kN-1 時(shí)， 是對(duì)X(z)在 結(jié)論： 也可解釋為 的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 采樣頻率為2/N 結(jié)論： 也可解釋為 的一個(gè)周期x(n)的傅里2.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 離散博里葉級(jí)數(shù)的某些性質(zhì)已成功地應(yīng)用于信號(hào)處理問(wèn)題2.3.1 線性

6、兩個(gè)離散周期序列線性組合成一個(gè)新周期序列的DFS(頻域序列)也是周期為N的離散周期序列2.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 離散博里葉級(jí)數(shù)的某些令 i=n+m 2.3.2 序列的移位 或(時(shí)域移位 )(頻域移位 )已知 時(shí)域移位證明令 i=n+m 2.3.2 序列的移位 或(時(shí)域移位 )(頻由于 都是以N為周期的周期函數(shù), 因此頻域移位證明由于 都是以N為周期的2.3.3 周期卷積 證 如果 則 或 時(shí)域周期卷積2.3.3 周期卷積 證 如果 則 或 時(shí)域周期卷積得 交換求和次序 將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式 得 交換求和次序 將變量進(jìn)行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式 說(shuō)明:上述周期

7、序列的卷積公式，與非周期序列的線性卷積不同 乘積 也是周期為N的周期序列 求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，所以稱(chēng)為周期卷積 周期卷積的計(jì)算過(guò)程反轉(zhuǎn)、相乘、求和 計(jì)算出一個(gè)周期n=0, 1, , N-1的結(jié)果后，進(jìn)行周期延拓 說(shuō)明:上述周期序列的卷積公式，與非周期序列的線性卷積不同 周期卷積的過(guò)程圖示* 周期卷積的過(guò)程圖示*信號(hào)處理傅里葉變換課件 時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)頻域周期序列的周期卷積 頻域周期卷積則 如果 時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)頻域周期序列的周期卷積 頻域周期卷積2.4 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）2.4.1 DFT的定義周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系,有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示(DFT

8、) 可由周期序列的DFS導(dǎo)出 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N 為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓2.4 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）2.4.1 DFT 主值區(qū)間: 的第一個(gè)周期n=0 到n=N-1 當(dāng)r為不同值時(shí), x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式也可寫(xiě)成 mod表示取余數(shù) 0n1N-1, m為整數(shù) 主值區(qū)間: 的第一個(gè)周期n=0 到n=N例如， 是周期為N=9的序列，則有： 也可寫(xiě)成例如， 是周期為N=9的序列，則有： 也可寫(xiě)成同樣，頻域的周期序列 與有限長(zhǎng)序列X(k)也有類(lèi)似的表示重寫(xiě)時(shí)域周期序列與有限

9、長(zhǎng)序列的表示同樣，頻域的周期序列 與有限長(zhǎng)序列X(k)也有DFT與IDFT產(chǎn)生思路X(k)x(n)X(k)x(n)DFSIDFS0kN-1 0nN-1 DFT與IDFT產(chǎn)生思路X(k)x(n)X(k)x(n)DF 離散離散傅里葉(DFT)實(shí)際上來(lái)自于離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS),只不過(guò)僅在時(shí)域與頻域?qū)χ芷谛蛄懈魅∫粋€(gè)周期而已 說(shuō)明 在進(jìn)行DFT時(shí)，有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)考慮的。因此，凡是涉及DFT關(guān)系，都隱含有周期性意義 長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)與周期序列 ，都有N個(gè)獨(dú)立值， 因此其信息量相等 離散離散傅里葉(DFT)實(shí)際上來(lái)自于離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS 例 已知序列x(n)=(

10、n)，求它的N點(diǎn)DFT 不論對(duì)(n)進(jìn)行多少點(diǎn)DFT，結(jié)果都是矩形序列 單位脈沖序列的DFT： k=0, 1, , N-1 例 已知序列x(n)=(n)，求它的N點(diǎn) 例 x(n)=cos(n/6)是長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列，求它的N點(diǎn)DFT由DFT的定義式 例 x(n)=cos(n/6)是長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序2.4.2 DFT與序列FT、ZT間的關(guān)系（ DFT的物理意義）設(shè)序列x(n) 的長(zhǎng)度為N， 其Z變換和DFT分別為比較上面二式可得關(guān)系式2.4.2 DFT與序列FT、ZT間的關(guān)系（ DFT的物理2.4.2 DFT與序列FT、ZT間的關(guān)系（ DFT的物理意義） 結(jié)論（頻域離散化） 序列x

11、(n) 的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣 X(k)為x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣 DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同，表示對(duì)X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔與采樣點(diǎn)數(shù)不同，因此DFT的變換結(jié)果不同2.4.2 DFT與序列FT、ZT間的關(guān)系（ DFT的物理 圖示DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 時(shí)域采樣理論實(shí)現(xiàn)了時(shí)域離散化，使得可在時(shí)域上進(jìn)行數(shù)字處理DFT理論實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，因而開(kāi)辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號(hào)的新途徑 圖示DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 時(shí)域采樣理論實(shí)現(xiàn)例 有限長(zhǎng)序列x(n)為 0n4 其余n 求N=5,10 點(diǎn)的

12、DFTX(k)是頻譜的等間隔采樣。問(wèn)題：采樣點(diǎn)之間的頻譜如何得到？采樣點(diǎn)K、數(shù)字角頻率、模擬頻率f的關(guān)系？例 有限長(zhǎng)序列x(n)為 0n4 其余n 求N=5,102.5 離散傅里葉變換的性質(zhì) 以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT表示N點(diǎn)DFTDFTx1(n)=X1(k)DFTx2(n)=X2(k)2.5.1 線性 a, b為任意常數(shù)2.5 離散傅里葉變換的性質(zhì) 以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序2.5.2 圓周移位（循環(huán)移位）y(n)=x(n+m)NRN(n) 長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為 1. 定義2.5.2 圓周移位（循環(huán)移位）y(n)=x(n+m)N 圖示圓周（循環(huán)）移

13、位過(guò)程比較移位前后：x(n)排列前面的按照順序移到后面即得到。 圖示圓周（循環(huán)）移位過(guò)程比較移位前后：x(n)排列前面的按2. 時(shí)域圓周移位定理證則圓周移位后的DFT為 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明 有限長(zhǎng)序列的DFT就是周期序列DFS在頻域中的主值序列, 即2. 時(shí)域圓周移位定理證則圓周移位后的DFT為 設(shè)x(n)是信號(hào)處理傅里葉變換課件3. 頻域圓周移位定理頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，長(zhǎng)度N由于頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，有如下性質(zhì)則 若3. 頻域圓周移位定理頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，長(zhǎng)度N由于頻2.5.3 圓周卷積若 則 設(shè)x1(n)和x

14、2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列（0nN-1），且有：上式所表示的運(yùn)算稱(chēng)為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積2.5.3 圓周卷積若 則 設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù) 圓周卷積矩陣計(jì)算公式N 圓周卷積矩陣計(jì)算公式N頻域圓周卷積定理x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列若N則 例題 已知x(n)=4,3,2,1,y(n)=4,3,0,1,1;分別用圖解法和矩陣法計(jì)算兩序列的5點(diǎn)圓周卷積。21，27，18，14，10頻域圓周卷積定理x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列若N2.5.4 有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積 有限長(zhǎng)序列存在兩種形式的卷積：線性卷積和圓周卷積圓周卷積:計(jì)算速度快。在頻

15、域上相當(dāng)于兩序列的DFT乘積，DFT有快速算法FFT線性卷積：實(shí)際需要（LTI系統(tǒng)）能否實(shí)現(xiàn)線性卷積的快速計(jì)算？因此下面討論兩種卷積間的關(guān)系以及相等的條件2.5.4 有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積 有限長(zhǎng)序列存在兩 兩序列的線性卷積 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列例 N1=4的矩形序列x1(n)與N2=5的矩形序列x2(n)L1=N1+N2-1 兩序列的線性卷積 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，x2( 兩序列的圓周卷積 假設(shè)進(jìn)行L 點(diǎn)圓周卷積，(L maxN1, N2)將x1(n)與x2(n)補(bǔ)零，使之均成為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列 兩序列可做長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓周卷積L 兩

16、序列的圓周卷積 假設(shè)進(jìn)行L 點(diǎn)圓周卷積，(L max 不同L 點(diǎn)的圓周卷積兩種卷積有相同結(jié)果的條件LN1+N2-1 不同L 點(diǎn)的圓周卷積兩種卷積有相同結(jié)果的條件LN1+N2 兩種卷積間的關(guān)系L 兩種卷積間的關(guān)系L圓周卷積與線性卷積關(guān)系 當(dāng)LN1+N2-1時(shí),有 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 即圓周卷積等于線性卷積圓周卷積為線性卷積以L為周期延拓后求和而得。y1(n)長(zhǎng)度為N1+N2-1，只有當(dāng)LN1+N2-1時(shí)，y1(n)的周期延拓才無(wú)混疊現(xiàn)象。圓周卷積與線性卷積關(guān)系 當(dāng)LN1+N2-1時(shí),有 兩種卷積的DFT計(jì)算法(頻域計(jì)算)兩種卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算, 也可在頻域中計(jì)

17、算, 當(dāng)N很大時(shí), 在頻域計(jì)算的速度快得多 DFT計(jì)算圓周卷積 兩種卷積的DFT計(jì)算法(頻域計(jì)算)兩種卷積既可在時(shí)域直接 兩種卷積的DFT計(jì)算法(頻域計(jì)算) DFT計(jì)算線性卷積 兩種卷積的DFT計(jì)算法(頻域計(jì)算) DFT計(jì)算線性卷積例 一個(gè)有限長(zhǎng)序列為 （2） 若序列y(n)的DFT為 式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。 （1） 計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換圓周移位性質(zhì)定義例 一個(gè)有限長(zhǎng)序列為 （2） 若序列y(n)的DFT為 （3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)DFT是 X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT 0n6

18、其他 求序列y(n)頻域相乘，時(shí)域圓周卷積計(jì)算w(n)與 x(n)10點(diǎn)的圓周卷積計(jì)算方法： 利用與線性卷積關(guān)系 圓周卷積的矩陣計(jì)算 圓周卷積的圖解法題中線性卷積長(zhǎng)度為67-1，所以10點(diǎn)的圓周卷積有混疊現(xiàn)象（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)DFT是 2.5.5 復(fù)共軛序列的DFT證 DFTx*(n)=X*(N-k) 0kN-1 且 X(N)=X(0) 設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，已知X(k)= DFTx(n)則 由于 因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明 2.5.5 復(fù)共軛序列的DFT證 DFTx*(n)=X*2.5.6 共軛對(duì)稱(chēng)性序列FT的對(duì)稱(chēng)性是

19、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)的對(duì)稱(chēng)性; 有限長(zhǎng)序列DFT也有類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)性，但是關(guān)于N/2 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性 有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱(chēng)序列xep(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)序列xop(n)定義(圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量)(圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量)nN-1 nN-1 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的n換成N/2-n ，得到2.5.6 共軛對(duì)稱(chēng)性序列FT的對(duì)稱(chēng)性是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo) 上式更清楚表明有限長(zhǎng)序列的對(duì)稱(chēng)性是關(guān)于N/2 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性共軛對(duì)稱(chēng)與共軛反對(duì)稱(chēng)序列示意圖 上式更清楚表明有限長(zhǎng)序列的對(duì)稱(chēng)性是關(guān)于N/2 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性共 任何有限長(zhǎng)序列x(n)可表示成xep(n)和xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 式中

20、DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性如果序列x(n)的DFT為X(k)，則 x(n)的實(shí)部與虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量 x(n)共軛對(duì)稱(chēng)分量與共軛反對(duì)稱(chēng)分量的DFT分別為X(k)的實(shí)部與虛部乘以j 任何有限長(zhǎng)序列x(n)可表示成xep(n)和xop(n)之 用公式表示為： 證明 (復(fù)共軛序列的性質(zhì) )同理可證 用公式表示為： 證明 (復(fù)共軛序列的性質(zhì) )同理可證 有限長(zhǎng)實(shí)序列DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFT x(n) , 有如下結(jié)論 X(k)共軛對(duì)稱(chēng), 即 X(k) = X*(N-k) ,0kN-1 如果 x(n) = x(N-n), 則

21、X(k)實(shí)偶對(duì)稱(chēng)， 即X(k) = X(N-k) 如果 x(n) = -x(N-n), 則X(k)純虛奇對(duì)稱(chēng), 即X(k) = -X(N-k)實(shí)際中經(jīng)常要對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，可減少DFT運(yùn)算量(只需計(jì)算一半數(shù)目的X(k) )，從而提高運(yùn)算效率 有限長(zhǎng)實(shí)序列DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的實(shí)序列 利用共軛對(duì)稱(chēng)性，一個(gè)N點(diǎn)DFT同時(shí)運(yùn)算兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFTStep1: x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列，新序列 x(n) = x1(n) + jx2(n) Step2: X(k)=DFT x(n) =Xep(k)+Xop(k)X1(k)= DFT x1(n) = 1/

22、2 X(k) +X*(N-k) X2(k)= DFT x2(n) =- j1/2 X(k) -X*(N-k) Step3: Xep(k) =DFT x1(n) =1/2 X(k) +X*(N-k) Xop(k)=DFT jx2(n) =1/2 X(k) -X*(N-k) 2.6 實(shí)序列的DFT 利用共軛對(duì)稱(chēng)性，一個(gè)N點(diǎn)DFT同時(shí)運(yùn)算兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)2.5.6 DFT形式下的帕塞伐定理 序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的或 證2.5.6 DFT形式下的帕塞伐定理 序列在時(shí)域計(jì)算的能 已知序列例題： X(k)是x(n)的6點(diǎn)DFT。（1）若有限長(zhǎng)序列y(n)的6點(diǎn)DFT是 求y(n)（2）若有限長(zhǎng)序列w(n)的6點(diǎn)DFT等于X(k)的實(shí)部，求w(n)（3）若有限長(zhǎng)序列q(n)的3點(diǎn)DFT滿(mǎn)足： 求q(n)。 已知序列例題： X(k)是x(n)的6點(diǎn)DFT。2.6 頻域采樣理論 時(shí)域采樣定理表示：一定條件下，可由時(shí)域