第17講 圖形變換性問題-2022中考數學巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE182022年中考數學總復習巔峰沖刺專題17圖形變換性問題【難點突破】著眼思路，方法點撥,疑難突破；平移解題要領：關鍵是確定圖形平移的方向和距離，從一個點或一條線段的平移前后的變化，歸納出平移的規(guī)律，進而得出圖形其他部分的平移變化折疊解題要領：圖形的折疊本質上就是軸對稱問題，根據軸對稱的性質，可探求出圖形變換前后的等量關系；求解線段和最小值問題，本質上就是兩點間線段最短間接運用三角形三邊大小關系，通過點的軸對稱變換，把線段和轉化為某一條線段求解，選擇作適當的點的軸對稱點往往是解題的突破口旋轉解題要領：由旋轉角相等，可以得到等角，由對應點到旋轉中心的距離相等，可以得到線段相等和等腰三角形

2、；由圖形的旋轉求線段長時，常常用到勾股定理、銳角三角函數，全等三角形及相似三角形的判定與性質；圖形的旋轉常常與求解弧長或扇形的面積整合在一起，注意學習運用相似解題要領：證明兩個三角形相似，最常用的方法：一是利用平行線構造相似三角形，二是兩個角對應相等證明兩三角形相似；探求兩個三角形相似的條件時，根據確定的已知條件，不拘泥于現成的圖形，充分考慮三角形相似的情形具體性質有：相似三角形對應線段的比等于相似比，其中只要說明兩線段是對應線段，就可以直接運用性質定理；利用相似三角形的性質求面積時，不要忽視“相似比的平方”位似解題要領：利用點的坐標表示位似變換時，一般地是以原點為位似中心，但是，要注意位似中

3、心不是原點的情況；求位似圖形相應點的坐標時，要注意是縮小還是擴大，是一種還是兩種情形【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測，關注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)】在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A0，6，與軸的正半軸交于點B8，0，連接AB，將線段AB繞著點A順時針旋轉，點B恰好落在y軸C點處，試解答下列問題：1這條拋物線的解析式；2求的值；3在拋物線上存在點H，使得點H到A、B兩點的距離相等，求點H的橫坐標。解析：（1）因為已知條件中A、B兩點坐標，故可代入拋物線解析式，列二元一次方程組解得即可得到拋物線解析式；（2）求三角函數值，首先要把角放在某一直角三角形內，故作AB邊上的高CD，如何求CD的值，借用面積法，

4、從不同方法求解三角形ABC的面積，一是包圍法：三角形ABC的面積=，二是直接利用面積公式：三角形ABC的面積=，解得CD的值即可得到答案；（3）求點H到兩端點的距離，考慮到其一定在AB的垂直平分線上，故先求垂直平分線的解析式，需要兩個點的條件，可先利用勾股定理求得軸上的一點，從而確定兩點求得解析式，代入拋物線解析式解得的值，即可得到H的橫坐標。解：（1）拋物線過點A（0，,6）、B（8，0）故有解得：此拋物線的解析式為：（2）因為AB=10，故AC=10，=3，AE=作CDAB，利用等面積法，作如圖輔助線可得：三角形ABC的面積=EC=3，CF=5，BF=-6，GB=6，AG=8可解得CD=3

5、因為點A的坐標為0，6，點B的坐標為8，0，點H到A、B兩點的距離相等，則點H一定在線段AB的垂直平分線上，平分線一定過點（4,3）設垂直平分線交軸于點（,0）,則有622=（8-）2解得：=，則AB的垂直平分線過點（，0），（4,3），令其解析式為y=b,將點的坐標代入得：，解得：=,b=即：y=，代入拋物線解析式有=，化簡為：解得：，故點H的橫坐標為或。【典題精練】典例精講，運籌帷幄，舉一反三；【例題1】如圖，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點分別為A（1，1）、B（3，3）、C（4，1）（1）畫出ABC關于y軸對稱的A1B1C1，并寫出點B的對應點B1（2）畫出ABC繞點A按順時針旋轉

6、90后的AB2C2，并寫出點C的對應點C2的坐標【分析】（1）分別作出點A，B，C關于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可得；（2）分別作出點B，C繞點A按順時針旋轉90后所得對應點，再首尾順次連接可得【解答】解：（1）如圖（1）所示，A1B1C1即為所求，其中B1的坐標為（3，3）（2）如圖（2）所示，AB2C2即為所求，C2的坐標為（1，2）【點評】本題主要考查作圖旋轉變換和軸對稱變換，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱變換與旋轉變換的定義和性質，并據此得出變換后的對應點【例題2】已知AOB=90，在AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB（或它們的

7、反向延長線）相交于點D、E（1）當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），易證：ODOE=OC；（2）當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系請寫出你的猜想，不需證明【考點】旋轉的性質；全等三角形的性質；全等三角形的判定；勾股定理【專題】探究型【分析】（1）CD與OA垂直時，根據勾股定理易得OC與OD、OE的關系，將所得的關系式相加即可得到答案（2）當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，易得CKDCHE，進而可得出證明；判斷出結果解此題的關鍵是根據題意找到全等三角形或等價

8、關系，進而得出OC與OD、OE的關系；最后轉化得到結論【解答】解：（1）當CD與OA垂直時，CDO為Rt，OC=，由題意得四邊形ODCE是正方形，ODOE=ODOD=2OD，ODOE=（2）過點C分別作CKOA，垂足為K，CHOB，垂足為HOM為AOB的角平分線，且CKOA，CHOB，CK=CH，CKD=CHE=90，又1與2都為旋轉角，1=2，CKDCHE，DK=EH，ODOE=ODOHEH=ODOHDK=OHOK由（1）知：OHOK=，ODOE=（3）結論不成立過點C分別作CKOA，CHOB，OC為AOB的角平分線，且CKOA，CHOB，CK=CH，CKD=CHE=90，又KCD與HCE都

9、為旋轉角，KCD=HCE，CKDCHE，DK=EH，OEOD=OHEHOD=OHDKOD=OHOK，由（1）知：OHOK=，OD，OE，OC滿足【例題3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，A、B均為銳角。（1）當A=B時，則CD與AB的位置關系是CDAB，大小關系是CDAB；（2）當AB時，（1）中CD與AB的大小關系是否還成立，證明你的結論。分析：（1）如圖1，需要根據題意畫出圖，然后做DE平行于BC，推出B=AED，結合題意A=AED，推出四邊形CBED為平行四邊形，繼而推出DC平行且等于BE，由于BE小于AB，繼而推出（1）的結論；（2）根據要求證的結論，可以通過作輔助線的形式

10、把DC，AB等有關的線段引入到同一個三角形中，再通過三角形的三遍關系論證結論是否成立如圖2，分別過點D、B作BC、CD的平行線，兩線交于F點，作ADF的平分線交AB于G點，連接GF，推出四邊形BCDF為平行四邊形，可推出BC=DF=AD，繼而推出ADGFDG，可得出AG=FG，CD=FB，那么FGBGBFAGBGDCDCAB（1）如圖1，CDAB，CDAB。（2）CDAB還成立。證明如下：如圖2，分別過點D、B作BC、CD的平行線，兩線交于F點。四邊形DCBF為平行四邊形。AD=BC，AD=FD。作ADF的平分線交AB于G點，連接GF。ADG=FDG。在ADG和FDG中ADGFDG，AG=FG

11、。在BFG中，。DCAB。點評：本題主要考查了平行四邊形判定定理，平行四邊形性質，三角形三邊關系，全等三角形的性質及判定定理的綜合應用【例題4】在ABC中，ABC45，BC4，tanC3，AHBC于點H，點D在AH上，且DHCH，連接BD（1）如圖1，將BHD繞點H旋轉，得到EHF（點B、D分別與點E、F對應），連接AE，當點F落在AC上時（F不與C重合），求AE的長；（2）如圖2，EHF是由BHD繞點H逆時針旋轉30得到的，射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由【分析】（1）先根據tanC3，求出AH3，CH1，然后根據EHAFHC，得到H的取

12、值范圍是（C）ABCD解析:在y中，令y0，解得19,25，點A，B的坐標分別為（9，0），（5，0）C2是由C1向左平移得到的，點D的坐標為（1，0），C2對應的函數解析式為y（15）當直線y與C2相切時，可知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，即方程2752m0有兩個相等的實數根，（7）241（52m）0，解得m當直線y過點B時，可得0，解得m如圖，故當m，直線y與C1，C2共有3個不同的交點5如圖，1C2C1C2C，AC=10cm，然后提出一個問題：將ACD沿著射線DB方向平移acm，得到ACD，連接BD，CC，使四邊形BCCD恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；（4）請你參照以上

13、操作，將圖1中的ACD在同一平面內進行一次平移，得到ACD，在圖4中畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說明平移及構圖方法，寫出你發(fā)現的結論，不必證明【分析】（1）利用旋轉的性質結合菱形的性質得出：1=2，2=3，1=4，AC=AC，進而利用菱形的判定方法得出答案；（2）利用旋轉的性質結合菱形的性質得出，四邊形BCCD是平行四邊形，進而得出四邊形BCCD是矩形；（3）首先求出CC的長，分別利用點C在邊CC上，點C在CC的延長線上，求出a的值；（4）利用平移的性質以及平行四邊形的判定方法得出答案【解答】解：（1）如圖2，由題意可得：1=2，2=3，1=4，AC=AC，故ACEC，ACCE，則四邊形ACEC是平行四邊形，故四邊形ACEC的形狀是菱形；故答案為：菱形；（2）證明：如圖3，作AECC于點E，由旋轉得：AC=AC，則CAE=CAE=BAC，四邊形ABCD是菱形，BA=BC，BCA=BAC，CAE=BCA，AEBC，同理可得：AEDC，BCDC，則BCC=90，又BC=DC，四邊形BCCD是平行四邊形，BCC=90，四邊形BCCD是矩形；（3）如圖3，過點B作BFAC，垂足為F，BA=BC，CF=AF=AC=10=5，在RtBCF中，BF=12，在ACE和CBF中，CAE=BCF，CEA=B