圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問題

1、定點(diǎn)、定直線、定值專題1、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1. (I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)若直線l：y = kx + m與橢圓C相交于A , B兩點(diǎn)(A B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).一 .一X 2 V 2【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+ j = 13 b 0)a 2 b 2_rc - c X 2 V 2a + c = 3,a c = 1, a = 2, c = 1,b2 = 3 /.+ = 1.43y = kx + m(II)設(shè) A(x , y ),B(

2、x , y )，由 x2V2 得(3 + 4k2)x2 + 8mkx + 4(m2 3) = 0 ,12 2 一 + 匕=143A = 64m2k2 16(3 + 4k2)(m2 3) 0 , 3 + 4k2 m2 0 .8 mk4( m 2 3)n x + x =, x - x =3( m 2 4 k 2)3 + 4 k 23( m 2 4 k 2)3 + 4 k 2y y = (kx + m) (kx + m) = k 2 x x + mk (x + x ) + m 2 =;以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0), k - k=-1, 上式=1,AD BDx 2 x 2(最好是用向量點(diǎn)

3、乘來)y1 y 2 + x1 x2 2( x1 + x2) + 4 = 0,3(m2 4k2) 4(m2 3)16mk3 + 4 k 23 + 4 k 23 + 4 k 27m7m2 +16mk + 4k 2 = 0，解得 m - 2k, m =-學(xué)，且滿足3 + 4k2 m2 0.當(dāng)m = 2k時，l: y = k(x 2)，直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;2k22當(dāng)m - - 7時，1:y = k(x亍)，直線過定點(diǎn)(于。).綜上可知，直線i過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0). g2、已知橢圓C的離心率e =-，長軸的左右端點(diǎn)分別為A (-2,0) , A(2,0 )。(I)求橢圓C的方程;

4、212(II)設(shè)直線x - my +1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)S 是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。 TOC o 1-5 h z 解法一：(1)設(shè)橢圓C的方程為三+=1(ab0)。 1分a2 b2a = 2 , e =-，.二 c = 3 , b2 = a2 c2 = 1。 4 分a 2橢圓C的方程為x2 + y2= 1。 5分42一 .一 ( 73 )一 .一 ( 73 )(II)取 m = 0,得 P 1, ,Q 1, I 2 J I，直線A P的方程是y = -6 x + -3直線a2q的方

5、程是y=Tx 一疝交點(diǎn)為S1(4,巨),Q (,Q (0,-1),直線A1P的方程是y=6x 4直線a2q的方程是y=2x1,交點(diǎn)為r五,r五,Q 1,yJ V 2由對稱性可知交點(diǎn)為S2若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為:x = 4。以下證明對于任意的m,直線以下證明對于任意的m,直線AP與直線AQ的交點(diǎn)S均在直線N:x = 4上。事實(shí)上，由T+尸=1得 x = my +1(my +1)2 + 4y 2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my 3 = 0 ,記 P(x1,y1 ),Q (x2,y2)，則 y2m3+ y =,y y =12 m2 + 4 1 2 m2 + 4設(shè)AP與.交于點(diǎn)

6、S (4,y ),由4 + 2x1 + 2設(shè)A Q與：交于點(diǎn)S (4,y ),由2y2x 210y-y02y12m12mm2 + 4 m2 + 4=(x + 2)(x - 2) y0 = y02-x2 26y (my 1) 2y (my + 3) 4my y 6(y-i二-i -, 1G .,12分(x + 2)(x - 2)+y ) (x1 +2)(x -2)2即S0與S；重合，這說明，當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線:x = 4上。13分解法二：(II)取m=0,得 P 1,y ,Q 1,，直線AP的方程是y =1衛(wèi)x + ,直線A Q的方程是632yy=x 3,交點(diǎn)為 S Qj3)7分(8 3

7、、=1,得 Pl 5,5若交點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為:x = 4。8分以下證明對于任意的m,直線AP與直線A Q的交點(diǎn)S均在直線Q:x = 4上。事實(shí)上，X2r + y2 = 1 /日由彳4 y 得x = my +1+1 + 4y2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my - 3 = 0記p (x-yjq(x2，y2)， 則 TOC o 1-5 h z 2m3y + y =,y y =12 m2 + 4 1 2 m2 + 4AP的方程是y = -y- (x + 2), A Q的方程是y =(x 2),消去y,得(x + 2 )=(x 2 )1x + 22yx 2x + 2x 212

8、12以下用分析法證明x = 4時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明-6yL =二V,即證x +2 x 23y (my 1)= y (my + 3),即證 2my y = 3(y + y ). ：122112122myy 3 (y + y ”二6m-二” =0, J式恒成立。這說明，當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線1 :x = 4上。1 212 m2 + 4 m2 + 4解法三：(II)由工+ y2=1得(my +1 + 4y2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my 3 = 0。x = my +1記 P (x1,y記 P (x1,y1 ),Q X%)，則 y1 + y2 =屋,小二 EAP的方

9、程是y =1x1 + 2(x + 2)，A2Q 的方程是 y =七(x 一 2),2y= (x + 2 ), + 2 得 (x - 2),x 2上(x + 2 )= J (x - 2), x +2x 2126分7分9分2my y + 3y yy (x + 2)+ y (x 2)y (my + 3)+ y (my 2my y + 3y y即 x =2乙 1 x J1 = 2Z1 x J12= 2-y (x + 2) y (x 2)y (my + 3) y (my 1)2m=2-3- + 3m2m=2-3- + 3m2 + 4(2m)I 一 yJy1=4.12分這說明，當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線彳

10、:x = 4上。 13分3、已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2 1，離心率為e = ：.2(I)求橢圓E的方程；(II)過點(diǎn)(1,0)作直線交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個定點(diǎn)M，MP MQ為定值? 若存在，求出這個定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.a c = V2 1解：(I)設(shè)橢圓E的方程為+ y2=1,由已知得：L J2。2分 TOC o 1-5 h z a2 b2c =衛(wèi)a 2:- 五:.b2 = a2c2 = 1 橢圓 E 的方程為 x2 + y2 = 1。3 分I c = 12 (II)法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，又設(shè)

11、P(X1，y1),Q(X2，y2)，則：MP = (x m, y ),MQ = (x m, y ),MP MQ = (x m) (x m) + y y=x x m(x + x ) + m2 + y y。5 分當(dāng)直線l的斜率存在時，1設(shè)直線l的方程為：y = k(x 1)，則x2由 7所以 M(-,0),MP MQ = ；11 分416當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l: x = 1,x + x = 2,x x = 1,y y =-1 121 21 2215 - - 7由 m = 一得MP MQ =416綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，起坐標(biāo)為(5,0) .13分4法二：假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P

12、WjyJQxyyJ則:MP = (xm,yJ,MQ = (x2 m,y2)5分MP MQ = (x m) (x m) + y y =x x m(x + x ) + m2 + y y . 當(dāng)直線l的斜率不為20時，設(shè)直線l的方程為x = ty +1, 5分x2由歸+ A 1x = ty +1得(t2 + 2)y x2由歸+ A 1x = ty +1得(t2 + 2)y + 2ty 1 = 0 /. y + y2t1,y y =t2 + 21 2t2 + 27分=(ty +1) (ty +1) = t y y + t(y + y ) +1 =12 2t2 +12 + 2 _ -2t2 + 2x +

13、 x = t(y + y ) + 2 =212122t2 + 2t2 + 44t2 + 2t2 + 2MP MQ =22t2 + 2t2 + 24m1+ m2 t2 + 2 t2 + 2 t2 + 2t2 + 2(m2 2)t2 + 2m2 4m +1t2 + 29分設(shè) MP 設(shè) MP MQ = X 則(m2 2)t2 + 2m2 4m +1 .=Xt2 + 2. (m2 2)t2 + . (m2 2)t2 + 2m2 4m +1 = X(t2 + 2). (m2 2 X)t2 + 2m2 4m +1 2X = 02m 2 4m +1 2X = 05 m =4x =L16二. M(5,0) 1

14、1 分4當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l:y = 0 ,由Mg)得:MP. MQ =(f 2- 5)= 25- 2 二- 44161613分綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(5,0)13分4 .一2.4、已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線元2= 4y的焦點(diǎn)，離心率e =Z5，過橢圓的右 焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)。(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；一一一(II)設(shè)點(diǎn)M (m ,0)是線段OF上的一個動點(diǎn)，且(MA + MB) 1 AB，求m的取值范圍；(III)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N,使得C、B、N 三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的

15、坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。x 2 y 2解法一：(I)設(shè)橢圓方程為一 + 5- = 13 b 0)，由題意知b = 1a 2 b 2 TOC o 1-5 h z :a2 b22x2 y=n a 2 = 5 故橢圓方程為7-+ y 2 =1a a 255(II)由(I)得 F (2,0)，所以 0 m 0,. 0 m一 ,5 k 2 +15 k 2 +18 5 m58.當(dāng) 0 m -時，有(MA + MB) 1 AB 成立。5y x + y x:=1 22-1y 2 + y1(IID在x軸上存在定點(diǎn)N (2,0),使得Cy x + y x:=1 22-1y 2 + y1程為 y + y = y

16、2 + y1 (x x ), 令y = 0,則Ux = y1(x2 x1)+ x 1 x x 1y + y 121212 kxx 2 k (x + x )-l的方程為y = k(2 kxx 2 k (x + x ), y = k(x 2), y = k(x 2) , x =k (x, y = k(x 2), y = k(x 2) , x =2 k, 22klz5 2 k,空k (2 k, 22klz5 2 k,空5 在x軸上存在定點(diǎn)N(5,0)，使得C B N三點(diǎn)共線。5 k 2 +1解法二：(II)由(I)得F (2,0)，所以0 m 0. 0 m 5 k 2 +1 5 5(5 k 2 +1

17、5.當(dāng) 0 m 8 時，有(MA + MB) 1 AB 成立。5(III)在x軸上存在定點(diǎn)N(5,0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線。設(shè)存在N(t,0),使得C、B、N三點(diǎn)共線，則CB/ CN ,cC= = (xi -x2, y2 + yj,CN = (t-q, y), 即(x - x )k (x - 2) - (t - x )k (x + x - 4)=.(x - x ) y - (.(x - x ) y - (t - x )(y + y ) = 00. 2xx -(t + 2)(x + x ) + 41 = 0 2E-(t + 2)k + 4 t = 0 一=2 .存在 N (2,0),使得 C

18、BN 三點(diǎn)共線。x 2 .6、(福建卷)已知橢圓y + y2 = 1的左焦點(diǎn)為F, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)。(I)求過點(diǎn)0、凡并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；(II)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜 合解題能力。解：(I) a a2 = 2, b2 = 1. c = 1, F (-1,0), l: x = -2.,圓過點(diǎn) O、F, . M 在直線 x = -1 上。設(shè)M(- J,t),則圓半徑r由阿= TOC o 1-5 h z 丫,得(-j)2+ 12 = 3,解得 t = J2. 1 乙乙由阿=/1、/9二所求圓的方程為(x + -)2 + (y v2)2=- 24(II)設(shè)直線AB的方程為y = k(x +1)(k豐0),x 2代入一 + y2 =