多元函數(shù)的條件極值課件

1、4 條件極值一、問 題 引 入 例1 要設(shè)計一個容積為 V 的長方形無蓋水箱, 試 問長、寬、高各等于多少時, 可使得表面積達(dá)到 最小? 若設(shè)長、寬、高各等于 x, y, z, 則 目標(biāo)函數(shù): 約束條件: 例2 設(shè)曲線 求此曲線上 的點到原點距離之最大、最小值. 對此問題有 目標(biāo)函數(shù): 約束條件: 定義 設(shè)目標(biāo)函數(shù)為 約束條件為如下一組方程: 為簡便起見, 記 并設(shè) 若存在 則稱 是 在約束條件 之下的極小值 稱 是相應(yīng)的極小值點二、拉格朗日乘數(shù)法 先從 n = 2, m =1 的最簡情形說起,即設(shè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為 若由 確定了隱函數(shù) 則使得目 標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù) 再由 求出穩(wěn)定點 在

2、此點處滿足 極值點必滿足在點 處恰好滿足: 通過引入輔助函數(shù) 把條件極值問題 (1) 轉(zhuǎn)化成為關(guān)于這個輔助函數(shù)的普通極值問題. 拉格朗日乘數(shù)法引入輔助函數(shù) 稱此函數(shù)為拉格朗日函數(shù), 其中 稱 為拉格朗日乘數(shù). 定理 18.6 設(shè)上述條件極值問題中的函數(shù) 在區(qū)域 D上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù). 若 D 的內(nèi)點 是該條件極值問 題的極值點, 且則存在 m 個常數(shù) 使得 個方程的解: 為拉格朗日函數(shù) (3) 的穩(wěn)定點, 即它是如下 當(dāng)n = 2, m = 1 時引入輔助函數(shù)極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域內(nèi)限制.對自變量除定

3、義域內(nèi)限制外,還有其它條件限制.例如 ,轉(zhuǎn)化求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 方法2 拉格朗日乘數(shù)法.推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束 條件的情形. 例如, 求函數(shù)下的極值.解方程組解:如圖,解2 用拉格朗日乘數(shù)法解解方程組得：例2.求曲面與平面解：設(shè)為拋物面上任一點，則 P 的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):到平面之間的最短距離.令得唯一駐點：根據(jù)問題的實際意義,知例3.要設(shè)計一個容量為則問題為求x , y ,令解方程組解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 得唯一駐點因此 ,當(dāng)高為所用材料最省.P169:1(1)(3)(10數(shù)學(xué)一,二) 習(xí) 題提示：( )提示: 由題設(shè) 解切線方程：法平面方程：設(shè)函數(shù) 與 均可微且則下列結(jié)論正確的是( )（A）若 則2006研已知 是在約束條件