常德市重點2023年高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

1、2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）ABCD2趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約公元222年，

2、趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（ ）ABCD3已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD4已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為ABCD5已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在

3、軸的上方，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD6已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（ ）ABCD7設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則ABCD8港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查畫出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A300，B300，C60，D60，9在中，是的中點，點在上且滿足，則等于（ ）ABCD10已知圓M:x2

4、+y2-2ay=0a0截直線x+y=0A內(nèi)切B相交C外切D相離11過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（ ）ABCD12若sin(+32A-12B-13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知多項式滿足，則_，_14某校為了解家長對學校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布表如下：滿意度評分分組合計高一1366420高二2655220根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分評分70分70評分90評分90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設兩個年級家長的評

5、價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二年級各隨機抽取1名家長，記事件：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件發(fā)生的概率為_.15已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則_16如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應的向量分別是，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合18（12分）已知函數(shù).（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，

6、求實數(shù)的取值范圍.19（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的坐標.20（12分）已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）的三個內(nèi)角、所對邊分別為、，若且，求面積的取值范圍.21（12分）在中，角的對邊分別為，且，（1）求的值；（2）若求的面積22（10分）如圖，四棱錐中，平面，.（）證明：；（）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

7、項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)， 兩邊平方，化簡得，再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運算，屬于基礎題.2D【解析】設，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設，則，即小正六邊形的邊長為，所以，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基

8、礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題3D【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率【詳解】由題意，又，在中，即，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式4D【解析】如圖所示，設依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D5B【解析】函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據(jù)變化時，函數(shù)的變化趨勢，從而得的范圍【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設與的切點，則

9、，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍6B【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎題.7D【解析】畫出，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，

10、即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.8B【解析】由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過的頻率為：故選：B【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題9B【解析】由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿

11、足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足P是三角形ABC的重心 又AM1故選B【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：定義：三條中線的交點性質(zhì)：或取得最小值坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù)10B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r11C【解析】需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關系分別表示轉(zhuǎn)化出，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，所以.故選：C【點

12、睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題12B【解析】由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sin+32=3故選B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 【解析】多項式 滿足令，得，則該多項式的一次項系數(shù)為令，得故答案為5，72140.42【解析】高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.【詳解】由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高二家長滿意等級

13、為不滿意的概率為，滿意的概率為，非常滿意的概率為，高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況：1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為；2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為；3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為.由加法公式，知事件發(fā)生的概率為.故答案為：【點睛】本題考查獨立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.15【解析】先對函數(shù)f（x）求導，再根據(jù)圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，得f（0）4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的

14、問題，屬于基礎題16【解析】試題分析：由坐標系可知考點：復數(shù)運算三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）1，2【解析】（1）求解導數(shù)，表示出，再利用的導數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合【詳解】（1）因為，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，所以因為整理得，設，則，所以單調(diào)遞增，又因為， 所以存在，使得，設，是關于開口向上的二次函數(shù)，則，設，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，即，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所

15、以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為1，2【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題，恒成立問題要逐步消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關鍵，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18（1）（2）【解析】（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由此可知，的解集為（2）當時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當時，且，不恒成立，不符合題意.當時，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成

16、立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19（1）；（2）最小值為，此時【解析】（1）消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程.利用極坐標和直角坐標相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線的直角坐標方程.（2）設出的坐標，結(jié)合點到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時點的坐標.【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標方程是（2）設，的最小值就是點到直線的最小距離.設在時，是最小值，此時，所以，所求最小值為，此時【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考

17、查極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬于中檔題.20（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題意，則，解得.由余弦定理得，又，當且僅當時取等號，所以，的面積.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計算，涉及余弦定理和基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.21（1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關系得到，進而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個角的關系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以， 所以. （2）在三角形中,由，所以， 由， 由正弦定理,得，所以的面積. 22（）見解析；（）【解析】（）取的中點，連接，由，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定