(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第8章§8.8《拋物線》(含解析)

1、第八章考試要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI 落實(shí)主干知識(shí)1.拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離 的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物線的 .相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦點(diǎn)_準(zhǔn)線方程_對(duì)稱軸_頂點(diǎn)_離心率e_x軸y軸(0,0)1常用

2、結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2 ，y1y2p2；常用結(jié)論(3) ；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.()(2)方程y4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.()(4)若直線與拋物線只

3、有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切.()1.拋物線y2x2的準(zhǔn)線方程為2.過拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3.已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是_.由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為TANJIUHEXINTIXING探究核心題型設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為12，即x 12.又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，即x9，所以9 12，解得

4、p6.例1(1)(2020全國(guó))已知A為拋物線C：y22px(p0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于A.2 B.3 C.6 D.9題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1定義及應(yīng)用(2)已知點(diǎn)M(20,40)，拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|PF|的最小值為41，則p的值等于_.42或22當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|PD|，|PM|PF|PM|PD|.當(dāng)點(diǎn)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|PF|的值最小.當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線外時(shí)，如圖，當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM

5、|PF|的值最小.解得p22或p58.當(dāng)p58時(shí)，y2116x，點(diǎn)M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去.綜上，p42或p22.思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.命題點(diǎn)2求標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)設(shè)拋物線y22px的焦點(diǎn)在直線2x3y80上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A.x4 B.x3C.x2 D.x1直線2x3y80與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，拋物線y22px的焦點(diǎn)為(4,0)，準(zhǔn)線方程為x4.(2)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，ADl，交l于D.

6、若|AF|4，DAF60，則拋物線C的方程為A.y28x B.y24xC.y22x D.y2x根據(jù)拋物線的定義可得|AD|AF|4，又DAF60，所以|AD|p|AF|cos 60 |AF|，所以4p2，解得p2，所以拋物線C的方程為y24x.1.已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn).若|MF|NF|5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為教師備選由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，分別過點(diǎn)M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N(圖略)，根據(jù)拋物線的定義得|MF|MM|，|NF|NN|，所以|MF|NF|MM|NN|，所以線段MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(2022濟(jì)南模擬)已知拋物線x2

7、2py(p0)，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限).若直線AB的斜率為 ，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 ，則p的值為由題意得，拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)A(xA，yA)，設(shè)直線AB的傾斜角為，思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法；(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQl于Q.則線段FQ的垂直平分線A.經(jīng)過點(diǎn)O B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OP D.垂直于直線OP連接PF(圖略)，由題意及拋物線的定義可知|PQ|FP|，則QPF為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)

8、過點(diǎn)P.(2)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”.設(shè)點(diǎn)F是拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，l是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，直線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若RtABC的“勾”|AB|3，“股”|CB| ，則拋物線的方程為 A.y22x B.y23xC.y24x D.y26x設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H，由|AB|AF|3，|AC|6，可知點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，所以拋物線的方程為y23x.例3(1)(2021新高考全國(guó))拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)到直線yx1的距離為 ，則p等于A.1

9、 B.2 C.2 D.4題型二拋物線的幾何性質(zhì)解得p2(p6舍去).(2)(多選)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為 且經(jīng)過點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.若|AF|8，則以下結(jié)論正確的是A.p4 B.C.|BD|2|BF| D.|BF|4如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|p.因?yàn)橹本€l的斜率為 ，所以其傾斜角為60.因?yàn)锳Ex軸，所以EAF60，由拋物線的定義可知，|AE|AF|，則AEF為等邊三角形，所以EFPAEF60，則PEF30，所以

10、|AF|EF|2|PF|2p8，得p4，故A正確；因?yàn)閨AE|EF|2|PF|，且PFAE，所以F為AD的中點(diǎn)，則 ，故B正確；因?yàn)镈AE60，所以ADE30，所以|BD|2|BM|2|BF|，故C正確；因?yàn)閨BD|2|BF|，1.拋物線y22px(p0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)A與拋物線上的點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，線段AB的垂直平分線OM與拋物線交于點(diǎn)M，若直線MB經(jīng)過點(diǎn)N(4,0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.(4,0) B.(2,0)C.(1,0) D.教師備選設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，M(x2，y2)，設(shè)直線MB的方程為xmy4，所以y1y28p，因此，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0).2.(多選)(2022唐山模擬)

11、拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線r：y2x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn) 射入，經(jīng)過r上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則A.y1y21B.|AB|C.PB平分ABQD.延長(zhǎng)AO交直線x 于點(diǎn)C，則C，B，Q三點(diǎn)共線設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，且l1x軸，故A(1,1)，所以C，B，Q三點(diǎn)共線，故D正確；故APB為等腰三角形，故ABPAPB，而l1l2，故PBQAPB，即ABPPBQ，故PB平分AB

12、Q，故C正確.思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021新高考全國(guó))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQOP.若|FQ|6，則C的準(zhǔn)線方程為_.方法一(解直角三角形法)由題易得|OF| ，|PF|p，OPFPQF，所以tanOPFtanPQF，解得p3，所以C的準(zhǔn)線方程為x .方法二(應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF| ，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p2 6，解得p3或p0(舍去)

13、，所以C的準(zhǔn)線方程為x .(2)直線l過拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)F(1,0)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則p_， _.21當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x1與y24x聯(lián)立解得y2，此時(shí)|AF|BF|2，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：yk(x1)，代入拋物線方程，得k2x22(k22)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，例4已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為 的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；題型三直線與拋物線A(x1，y1)，B(x2，y2).可得9x212(t1)x4t20，所以y1y22，從而3y2y22，

14、故y21，y13.教師備選(1)求直線AP斜率的取值范圍；設(shè)直線AP的斜率為k，所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1).(2)求|PA|PQ|的最大值.聯(lián)立直線AP與BQ的方程所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因?yàn)閒(k)(4k2)(k1)2，當(dāng)k0時(shí)，|PA|1，|PQ|1，|PA|PQ|1，思維升華(1)求解直線與拋物線問題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求” “整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使

15、用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則可用弦長(zhǎng)公式.跟蹤訓(xùn)練3已知F為拋物線T：x24y的焦點(diǎn)，直線l：ykx2與T相交于A，B兩點(diǎn).(1)若k1，求|FA|FB|的值；所以x1x24k，x1x28.由已知可得F(0,1)，當(dāng)k1時(shí)，由得|FA|FB|10.(2)點(diǎn)C(3，2)，若CFACFB，求直線l的方程.由CFACFB，可得42(x1x2)x1x20，即48k80.所以所求直線l的方程為3x2y40.KESHIJINGLIAN 課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程x22py(p0)中p的幾何意義為拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，2.若拋物線y22px

16、(p0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8，則弦AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為A.2 B.3 C.4 D.612345678910111213141516因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p2，拋物線方程為y24x.過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義得，焦點(diǎn)弦|AB|x1x2p，所以8x1x22，則x1x26，所以AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為12345678910111213141516如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H，設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為K.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|NF|，12345

17、678910111213141516則NMH45.在RtMFK中，F(xiàn)MK45，123456789101112131415164.中國(guó)古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國(guó)勞動(dòng)人民的非凡智慧.一個(gè)拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2 m時(shí)，水面寬8 m.若水面下降1 m，則水面寬度為12345678910111213141516由題意，以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，2)和點(diǎn)B(4，2)，代入拋物線方程解得p4，所以拋物線方程為x28y，5.(多選)(2022廣州模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線yx1與拋物線C：

18、y24x相交于A，B兩點(diǎn)，則A.|AB|8B.OAOBC.AOB的面積為D.線段AB的中點(diǎn)到直線x0的距離為212345678910111213141516設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線C：y24x，則p2，焦點(diǎn)為(1,0)，則直線yx1過焦點(diǎn).12345678910111213141516則x1x26，x1x21，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)14，所以|AB|x1x2p628 ，故A正確；12345678910111213141516所以O(shè)A與OB不垂直，故B錯(cuò)誤；6.(多選)已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于A

19、(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若M(m，2)是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.p4B.拋物線方程為y216xC.直線l的方程為y2x4D.|AB|101234567891011121314151612345678910111213141516由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p4，故A正確；則拋物線方程為y28x，故B錯(cuò)誤；若M(m，2)是線段AB的中點(diǎn)，則y1y24，直線l的方程為y2x4，故C正確；12345678910111213141516x1x26，|AB|AF|BF|x1x2410，故D正確.7.(2021北京)已知拋物線C：y24x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物

20、線C上的點(diǎn)，且|FM|6，則M的橫坐標(biāo)是_，作MNx軸于N，則SFMN_.123456789101112131415165因?yàn)閽佄锞€的方程為y24x，故p2且F(1,0)，8.(2020新高考全國(guó))斜率為 的直線過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，得3x210 x30.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789101112131415169.過拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A

21、的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|2.(1)求拋物線C的方程；當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|2，拋物線C的方程為x24y.12345678910111213141516(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(2，y0)，使得MAMB，求直線l的方程.12345678910111213141516點(diǎn)M(2，y0)在拋物線C上，又F(0,1)，設(shè)直線l的方程為ykx1.得x24kx40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24k，x1x24，12345678910111213141516MAMB，(x12)(x22)(y11)(y21)0，48k44k20，解得k2或k0.當(dāng)k0時(shí)，l過點(diǎn)M(舍去)，k2，直

22、線l的方程為y2x1.1234567891011121314151610.(2022沈陽(yáng)模擬)已知拋物線C：x22py(p0)，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，且l1與l2交于點(diǎn)M.(1)求p的值；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即p2.12345678910111213141516(2)若l1l2，求MAB面積的最小值.由(1)知拋物線的方程為x24y，12345678910111213141516設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x1x24.設(shè)直線l的方程為ykxm，與拋物線方程聯(lián)立，12345678910111213141516

23、所以x24kx4m0，16k216m0，x1x24k，x1x24m4，所以m1，即l：ykx1.123456789101112131415164(1k2)，12345678910111213141516當(dāng)k0時(shí)，MAB的面積取得最小值4.，12345678910111213141516A.1 B.2 C.3 D.4技能提升練1234567891011121314151612345678910111213141516根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，MN過焦點(diǎn)F時(shí)，1234567891011121314151612345678910111213141516過點(diǎn)M，N，P分別作準(zhǔn)線的垂線MM，NN，PP，垂足分

24、別為M，N，P(圖略)，所以|MM|MF|，|NN|NF|.1234567891011121314151613.(多選)已知拋物線C：y22px(p0)過點(diǎn)P(1,1)，則下列結(jié)論正確的是A.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為B.過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則OPQ的面積為C.過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x2y10D.過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線 MN的斜率為定值12345678910111213141516因?yàn)閽佄锞€C：y22px(p0)過點(diǎn)P(1,1)，所以拋物線方程為y2x，12345678910111213141516與y2x聯(lián)立得4y23y10，對(duì)于C，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y1k(x1)，與y2x聯(lián)立得ky2y1k0，14k(1k)0，12345678910111213141516所以切線方程為x2y10，正確；對(duì)于D，依題意斜率存在，設(shè)lPM：y1k(x1)，與y2x聯(lián)立得ky2y1k0，1234567891011121314151614.已知P為拋物線C：yx2上一動(dòng)點(diǎn)，直線l：y2x4與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A(2，4)，且 ，則的最小值為_.12345678910111213141516由