復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教案講義

《復(fù)變與積分變換教案》第一次課1教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生重溫復(fù)數(shù)概念，熟練掌握復(fù)數(shù)及共軛下的運算法，了解復(fù)平面，學(xué)會運用復(fù)數(shù)的三角表示出理問題。2講課段落：復(fù)數(shù)產(chǎn)生的背景，特點；平面向量和復(fù)數(shù)的關(guān)系；共軛復(fù)數(shù)的作用；三角表示；復(fù)方根求法；復(fù)數(shù)定義與平面向量變換的內(nèi)在聯(lián)系。3知識要點：，，4.例：例1-1設(shè)，求。例1-2設(shè)，求，例1-3設(shè)及為兩個復(fù)數(shù)，試證：并用此等式證明三角不等式推導(dǎo)，當(dāng),當(dāng),當(dāng),例1-4求和6（較難）設(shè)則有例1-7試求的模和主幅角見解，相當(dāng)于將向量｛0，1｝逆時針旋轉(zhuǎn)度角，從而得到向量，而此向量對應(yīng)復(fù)數(shù)，這也可解釋為的根。求復(fù)數(shù)的四次方根。單位圓內(nèi)接正邊形的頂點的復(fù)數(shù)表示?！稄?fù)變與積分變換教案》第二次課1教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生熟練二維平面圖形的復(fù)形式，熟練掌握復(fù)變函數(shù)的分量處理法，重溫二元微積分，并賦以復(fù)的外衣而導(dǎo)出復(fù)變量，復(fù)數(shù)列，復(fù)變函數(shù)增量和復(fù)積分等知識。2講課段落：平面曲線（定向）和區(qū)域；復(fù)變函數(shù)的分量處理法；二維平面圖形的復(fù)形式；復(fù)變量，復(fù)數(shù)列，復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性；復(fù)變函數(shù)的增量；復(fù)積分定義和計算，復(fù)積分的性質(zhì)。3知識要點：無重點的按段光滑閉曲線簡稱為簡單閉曲線。數(shù)學(xué)上可證明任一條在平面上有確定的始端和終端的簡單曲線是可求長的，特別是任一條簡單閉曲線總是有有限長度的。對給定點和正數(shù)，稱為的一個鄰域。平面上的區(qū)域為可用折線連通的開集.本課程中經(jīng)常出現(xiàn)的多連域為有限條簡單閉曲線按以下方式圍成的區(qū)域：設(shè)分別為的內(nèi)部區(qū)域，滿足(1),(2),,(3),。稱此多連域為復(fù)圍線圍成的區(qū)域,即。也稱為的邊界。而數(shù)學(xué)上稱即連同一起的集合為多連域的閉包，也記為。而復(fù)圍線:的正向定義為，在上取逆時針方向，而在上都取順時針方向。經(jīng)變換，，得到Ｃ的復(fù)數(shù)表示若平面曲線參數(shù)方程為，，則其復(fù)數(shù)表示為，所以一個復(fù)變函數(shù)相當(dāng)于兩個二元函數(shù)，即4.例：例1-11求以為心，R為半徑的圓周參數(shù)方程復(fù)數(shù)形式。例1-12考察平面上的曲線具有下列復(fù)數(shù)形式：，并給出該曲線實形式的代數(shù)方程。例1-13關(guān)于的映射特征的兩種描述方法。例1-14的整體處理。例1-15證明在復(fù)平面上，除去原點和負(fù)實軸，都連續(xù)。例1-17（重要的常用例子）例1-18計算，其中為中心在實軸上的連接上半平面內(nèi)兩點的一段圓弧?！稄?fù)變與積分變換教案》第3次課教學(xué)目標(biāo)：講解習(xí)題以鞏固復(fù)變函數(shù)的基本知識。才是實數(shù)。設(shè)為自然數(shù),是實數(shù),但不是實數(shù),求。證明由方程確定的曲線,是以兩點為直徑的端點的圓周。證明方程表示的是以為中心,1為半徑的圓。下列條件的點組成的點集是什么?如果是區(qū)域,指明是有界的還是無界的,閉的還是開的,單連通的還是復(fù)連通的,并作圖。已知映射,求點平面上的象;區(qū)域在平面上的象。設(shè)極限存在且有限,證明在點的某一鄰域內(nèi)是有界的。設(shè)在點連續(xù),且。證明:存在點的某一鄰域,使得在此鄰域內(nèi)恒不為零。《復(fù)變與積分變換教案》第四次課1教學(xué)目標(biāo)：按一元微積分的方式引入復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，必然涉及二元微分學(xué)，導(dǎo)致C-R條件的建立。理解解析函數(shù)的概念，掌握解析函數(shù)的充要條件。2講課段落：復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義;復(fù)變函數(shù)小增量公式和C-R條件；解析函數(shù)的概念；判別解析函數(shù)的充要條件；3知識要點：Cauchy-Riemann條件：，設(shè)在一個區(qū)域Ｄ內(nèi)有定義，若在內(nèi)處處可導(dǎo)，稱在解析。若存在，在內(nèi)處處可導(dǎo)，稱在解析。在一點解析的判別定理和一區(qū)域上的解析函數(shù)的判別設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，并且,則；反函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)在區(qū)域解析，且當(dāng)時，，又設(shè)為的單值連續(xù)反函數(shù)，滿足，則在區(qū)域解析，且有。4.例：例2-1．若在可導(dǎo)，則在連續(xù)。例2-2證明。例2-3在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)。例2-4當(dāng)且僅當(dāng)可導(dǎo)。例2-5在復(fù)平面不解析。例2-6判別下列函數(shù)是否解析：（1）；（2）。例2-8求的導(dǎo)數(shù)?！稄?fù)變與積分變換教案》第五次課1教學(xué)目標(biāo)：復(fù)習(xí)解析函數(shù)的充要條件，引進復(fù)變初等函數(shù)。掌握基本初等函數(shù)的特性和運算方法。2講課段落：；指數(shù)函數(shù)的幾何特性；對數(shù)函數(shù)的多值性簡介和單值分支函數(shù)的解析性；冪函數(shù)的各類情形的分析和單值分支的計算；三角函數(shù)的討論；反三角函數(shù)3知識要點：;;(1).,;(2).設(shè)兩個復(fù)數(shù)滿足，，則有設(shè)，且，則對每個給定的，有4.例：例2-10求，以及與它們相應(yīng)的主值。例2-12求。例2-13求的值。例2-14求的值。《復(fù)變與積分變換教案》第六次課1教學(xué)目標(biāo)：為導(dǎo)出解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和Taylor公式，引進Cauchy積分定理和Cauchy積分公式。了解Cauchy積分定理基本思想和深刻含義，學(xué)會運用Cauchy積分公式計算復(fù)積分。2講課段落：；Cauchy積分定理的背景，基本思想及其應(yīng)用；多連通域的Cauchy積分定理證明Cauchy積分公式；運用Cauchy積分公式計算復(fù)積分；3知識要點：，;Cauchy積分定理：設(shè)為單連域，在內(nèi)解析，為Ｄ內(nèi)一條簡單閉曲線，則有。其中：定向為始于終于的含于上半平面內(nèi)的任一條簡單曲線。;若在單連域Ｄ解析，則在內(nèi)積分與路徑無關(guān)。設(shè)為復(fù)圍線圍成的多連域內(nèi)的一點，則有。4.例：計算復(fù)積分，其中：定向為始于終于的含于上半平面內(nèi)的任一條簡單曲線。計算復(fù)積分，其中：為單位圓上沿逆時針方向，始于終于的含于第一象限內(nèi)的一段弧。計算復(fù)積分，其中為的正向。《復(fù)變與積分變換教案》第七次課1教學(xué)目標(biāo)：導(dǎo)出解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，學(xué)會運用高階導(dǎo)數(shù)公式計算復(fù)積分。2講課段落：Cauchy積分高階導(dǎo)數(shù)定理的背景；多連通域的Cauchy積分高階導(dǎo)數(shù)定理運用高階導(dǎo)數(shù)公式計算復(fù)積分。3知識要點：對每個自然數(shù)，在內(nèi)定義函數(shù)則對，有對每個自然數(shù)，在內(nèi)處處有階導(dǎo)數(shù)，且對有由于，而高階導(dǎo)數(shù)定理認(rèn)定，一但解析則也解析，自然更有連續(xù)，從而可知都連續(xù)。設(shè)為單連域，在內(nèi)連續(xù)，若對任一內(nèi)簡單閉曲線有，則在解析?！稄?fù)變與積分變換教案》第八次課1教學(xué)目標(biāo)：導(dǎo)出解析函數(shù)的Taylor級數(shù)，學(xué)會解析函數(shù)的Taylor級數(shù)展開的基本方法。2講課段落：復(fù)級數(shù)，冪級數(shù)，Abel定理；導(dǎo)出解析函數(shù)的Taylor級數(shù)的準(zhǔn)備；推導(dǎo)解析函數(shù)的Taylor級數(shù)3知識要點：收斂收斂；如果使得冪級數(shù)在上有個收斂點，則它在內(nèi)處處絕對收斂；如果使得冪級數(shù)在上有個發(fā)散點，則它在處處發(fā)散。冪級數(shù)的收斂圓；冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)；冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)，可逐項積分；復(fù)變函數(shù)為Taylor級數(shù)展開的基本工具；在解析，，則在任一全含于內(nèi)的的鄰域（）內(nèi)有（2-58）其中，對有《復(fù)變與積分變換教案》第九次課1教學(xué)目標(biāo)：解析函數(shù)的Taylor級數(shù)的唯一性定理，間接展開的各種方法。2講課段落：解析函數(shù)的Taylor級數(shù)揭示解析函數(shù)的內(nèi)涵；解析函數(shù)的Taylor級數(shù)的唯一性定理；解析函數(shù)的Taylor級數(shù)的間接展開方法。3知識要點：初等函數(shù)的冪級數(shù)展開；揭示初等函數(shù)的解析函數(shù)的內(nèi)涵；不論用什么方法得到的在的某鄰域內(nèi)的冪級數(shù)，其系數(shù)必為Taylor系數(shù)。解析函數(shù)的Taylor級數(shù)的間接形成的各種方法。《復(fù)變與積分變換教案》第10次課1教學(xué)目標(biāo)：孤立奇點的定義，環(huán)域內(nèi)解析函數(shù)的Laurent級數(shù),間接展開的各種方法。2講課段落：有限點處和無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點；環(huán)域內(nèi)解析函數(shù)的Laurent級數(shù)的推導(dǎo)；環(huán)域內(nèi)解析函數(shù)的Laurent級數(shù)的特性；環(huán)域內(nèi)解析函數(shù)的Laurent級數(shù)的間接展開方法。3知識要點：空心領(lǐng)域內(nèi)的解析函數(shù)；圓周外區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)；由環(huán)域內(nèi)解析函數(shù)的柯西積分公式導(dǎo)出Laurent級數(shù)；給定解析函數(shù)在給定環(huán)域內(nèi)的Laurent級數(shù)的唯一性；Laurent級數(shù)的間接展開方法；《復(fù)變與積分變換教案》第11次課1教學(xué)目標(biāo)：孤立奇點的分類，解析函數(shù)的極點，各類孤立奇點的判別。2講課段落：有限點處和無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點分類；從Laurent級數(shù)的特性判別孤立奇點的類型；解析函數(shù)的極點的判別法。3知識要點：由空心領(lǐng)域內(nèi)的解析函數(shù)的Laurent級數(shù)給出有限點處孤立奇點分類；由圓周外區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的Laurent級數(shù)給出有限點處孤立奇點分類；可去奇點和本性奇點；解析函數(shù)的極點的特征；解析函數(shù)的零點和極點的關(guān)系?！稄?fù)變與積分變換教案》第12次課1教學(xué)目標(biāo)：留數(shù)的定義，解析函數(shù)的留數(shù)定理，各類孤立奇點的留數(shù)的計算。2講課段落：有限點處和無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點的留數(shù)；解析函數(shù)的留數(shù)定理；可去奇點和本性奇點處的留數(shù)解析函數(shù)的極點處的留數(shù)。3知識要點：孤立奇點處的空心領(lǐng)域內(nèi)的解析函數(shù)的Laurent級數(shù)的逐項積分；多連域的Cauchy積分定理的留數(shù)表示形式；可去奇點和本性奇點處的留數(shù)的特性描述；解析函數(shù)的極點處的留數(shù)的幾個公式；解析函數(shù)的全部留數(shù)的和諧關(guān)系?！稄?fù)變與積分變換教案》第13次課1教學(xué)目標(biāo)：留數(shù)方法在計算復(fù)積分中的應(yīng)用。定積分的圍道積分方法。2講課段落：有限點處和無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點的留數(shù)在計算復(fù)積分中的應(yīng)用；被積函數(shù)為有理函數(shù)復(fù)合三角函數(shù)型的定積分的圍道積分方法；被積函數(shù)為有理函數(shù)的廣義定積分的圍道積分方法。3知識要點：極點處的留數(shù)的幾個公式在計算復(fù)積分中的應(yīng)用；無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點的留數(shù)公式的介紹；無窮遠(yuǎn)處的孤立奇點的留數(shù)在計算復(fù)積分中的作用；圍道積分的變量替換方法；圍道積分的輔助圍線的構(gòu)造。《復(fù)變與積分變換教案》第14次課1教學(xué)目標(biāo)：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。求給定調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)的方法。2講課段落：解析函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)；單連域內(nèi)求給定調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)的方法；由一對共軛調(diào)和函數(shù)導(dǎo)出一族解析函數(shù)；由解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求調(diào)和函數(shù)的穩(wěn)定點。3知識要點：證明解析函數(shù)的實、虛部都是調(diào)和函數(shù)；在單連域內(nèi)由給定調(diào)和函數(shù)的第二類曲線積分表示其共軛調(diào)和函數(shù)；利用解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式由給定調(diào)和函數(shù)得到其共軛調(diào)和函數(shù)；利用解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到給定調(diào)和函數(shù)的穩(wěn)定點。圍道積分的輔助圍線的構(gòu)造?！稄?fù)變與積分變換教案》第15次課1教學(xué)目標(biāo)：解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何特性。保形映照的基本理論和方法。分式線性映照的分解和特性。2講課段落：光滑曲線的定向，光滑曲線的夾角；解析函數(shù)非零導(dǎo)數(shù)的在光滑曲線映照中的不變量；保形映照的概念；括充復(fù)平面；解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)非零處的保形性；分式線性映照的基本認(rèn)識。3知識要點：光滑曲線的方向的宏觀定性分析和微觀定量分析；兩條光滑曲線的夾角的定量表示；解析函數(shù)非零導(dǎo)數(shù)的輻角和模在微觀映照中的作用；解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)非零處的保形性；解析函數(shù)形成區(qū)域內(nèi)保形映照的條件；分式線性映照的分拆；平移，旋轉(zhuǎn)，拉伸和反演在括充復(fù)平面的保形性?！稄?fù)變與積分變換教案》第16次課1