廣東省廣州市仲元中學(xué)2018～2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文【含答案】

1、廣東省廣州市仲元中學(xué)高二上期中文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，那么“”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件C由題得：，則成立，而且 ，所以前后互推都成立，故選C2. 某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A. 9B. 18C. 27D. 36B試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工

2、的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個(gè)數(shù)，算出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個(gè)數(shù)，得到結(jié)果設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，x+2x+160=430，x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，在抽取的樣本中有青年職工32人，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應(yīng)抽取90=18人故選B考點(diǎn)：分層抽樣點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)分層抽樣問(wèn)題，容易出錯(cuò)的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆抽樣方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)，但一般不難，故也是一個(gè)重要的得分點(diǎn)，不容錯(cuò)過(guò)3.已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為A. B. C. D. C分析：首先根據(jù)題中所給的條件橢圓的一

3、個(gè)焦點(diǎn)為，從而求得，再根據(jù)題中所給的方程中系數(shù)，可以得到，利用橢圓中對(duì)應(yīng)的關(guān)系，求得，最后利用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，可知，因?yàn)?，所以，即，所以橢圓離心率為，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中的關(guān)系求得結(jié)果.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的（ ）A. B. C. D. 或D該程序框圖表示的是分段函數(shù)，輸出的由得，由，得，輸入的或，故選D.5.設(shè)非空集合滿(mǎn)足，則（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得B【分析】根據(jù)交集運(yùn)算結(jié)果判定集合關(guān)系，再結(jié)合V

4、enn圖判斷元素與集合的關(guān)系即可【詳解】解：，A錯(cuò)誤；B正確；C錯(cuò)誤；D錯(cuò)誤故選：B本題考查命題真假的判斷，考查子集的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.6.甲、乙兩名同學(xué)次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，分別表示甲、乙兩名同學(xué)次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)，分別表示甲、乙兩名同學(xué)次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有A. ，B. ，C. ，D. ，B【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出甲、乙同學(xué)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可得出結(jié)論【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績(jī)分別為：78，79，84，85，85，86，91，92.乙成績(jī)分別為：77，78，83，85，85，87，92，93.，；，故選B.本題考查了莖葉圖、平均數(shù)與方差的應(yīng)用

5、問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，方差是用來(lái)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散程度的.7.已知一組數(shù)據(jù)（1，2），（3，5），（6，8），的線性回歸方程為，則的值為（ ）A. -3B. -5C. -2D. -1A【分析】利用平均數(shù)公式計(jì)算樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本的中心點(diǎn)可得結(jié)論.【詳解】由題意知，樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，線性回歸方程為，解得，故選A.本題主要考查回歸方程的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題. 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).8.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程

6、為A. B. C. D. D試題分析：由已知，即，所以，所以漸近線方程為，故選D考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)9.7名學(xué)生中有且只有3名同學(xué)會(huì)說(shuō)外語(yǔ)，從中任意選取2人，則這2人都會(huì)說(shuō)外語(yǔ)的概率為（）A. B. C. D. D【分析】先求出基本事件總數(shù)，這2人都會(huì)說(shuō)外語(yǔ)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2人都會(huì)說(shuō)外語(yǔ)的概率【詳解】解：7名學(xué)生中有且只有3名同學(xué)會(huì)說(shuō)外語(yǔ)，從中任意選取2人，基本事件總數(shù)，這2人都會(huì)說(shuō)外語(yǔ)包含的基本事件個(gè)數(shù)，則這2人都會(huì)說(shuō)外語(yǔ)的概率為故選：D本題考查概率的求法，考查古典概型,考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題10.已知橢圓C：的離心率為，直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線l

7、的斜率為（）A. B. C. D. 1C【分析】由橢圓的離心率可得的關(guān)系，得到橢圓方程為，設(shè)出的坐標(biāo)并代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率【詳解】解：由，得，則橢圓方程為，設(shè)，則，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，-得：，直線l的斜率為故選：C本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求中點(diǎn)弦的斜率，是中檔題11.（2011湖北）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a0，b0，且ab=0，則稱(chēng)a與b互補(bǔ)，記（a，b）=ab那么（a，b）=0是a與b互補(bǔ)的（）A. 必要不充分條件B. 充分不必要的條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件C試題分析：由（a，b）0得ab且；所以（a，b）0是a與b互補(bǔ)的充分條

8、件；再由a與b互補(bǔ)得到：，且0；從而有，所以（a，b）0是a與b互補(bǔ)的必要條件；故得（a，b）0是a與b互補(bǔ)的充要條件；故選考點(diǎn)：充要條件的判定12.橢圓的左焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)，且在原點(diǎn)的右側(cè)，若的外接圓圓心為，且，橢圓離心率的范圍為（ ）A. B. C. D. A試題分析：設(shè),外接圓的方程為,則,解之得,所以,由題設(shè)可得:,即,也即,因,故，即,也即,故,應(yīng)選A考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題設(shè)置的是一道以橢圓的知識(shí)為背景的求圓的一般方程的問(wèn)題解答問(wèn)題的關(guān)鍵是如何求出三角形的外接圓的圓心坐標(biāo),求解時(shí)充分借助題設(shè)條件將圓的方程設(shè)成一般形式,這是簡(jiǎn)化本題求解過(guò)程的

9、一個(gè)重要措施,如果將其設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式,勢(shì)必會(huì)將問(wèn)題的求解帶入繁雜的運(yùn)算之中解答本題的另一個(gè)問(wèn)題是如何建立關(guān)于的不等式問(wèn)題,解答時(shí)也是充分利用題設(shè)中的有效信息,進(jìn)行合理的推理判斷,最終將問(wèn)題化為的不等式的求解問(wèn)題,注意到整個(gè)過(guò)程都沒(méi)有將表示為的表達(dá)式,這也是簡(jiǎn)化本題求解過(guò)程的一大特點(diǎn)二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則_3【分析】由于動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，可知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：由于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，即，即，因此P的軌跡是橢圓，且，因?yàn)?，?本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、橢圓的定義，是基本知識(shí)的考查14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則

10、該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【分析】根據(jù)題意，雙曲線一條漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，又由雙曲線過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得的值，進(jìn)而可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，雙曲線過(guò)點(diǎn)，即所求雙曲線方程為，故本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，需要學(xué)生熟練掌握已知漸近線方程時(shí)，如何設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程15.若“”是“函數(shù)的圖象不過(guò)第三象限”的充要條件，則實(shí)數(shù) _【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出m的范圍，結(jié)合充要條件的定義進(jìn)行求解即可【詳解】解：函數(shù)的圖象不過(guò)第三象限，則，即，若”是“函數(shù)的圖象不過(guò)第三象限”的充要條件，則，故本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)

11、函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍是解決本題的關(guān)鍵16.設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則的最大值為_(kāi)15試題分析：，此時(shí)點(diǎn)P為直線與橢圓的交點(diǎn)，故填15考點(diǎn)：本題考查了橢圓定義點(diǎn)評(píng)：利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為求解距離差最值問(wèn)題，然后借助對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，其過(guò)程簡(jiǎn)便.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.命題；命題q：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓若命題p與q至少有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍或【分析】先分別求出命題、q為真命題時(shí)，a的取值范圍；再求出命題p與q都是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而可得出命題p與q至少有一個(gè)是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍.【

12、詳解】解：若命題為真命題，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，要使恒成立則得，即，綜上，即；若命題q為真命題，則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓則得，即，即，若p與q至少有一個(gè)是假命題，則當(dāng)同時(shí)為真命題時(shí)，則，得，則p與q至少有一個(gè)是假命題，對(duì)應(yīng)或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是或本題主要考查由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的問(wèn)題，熟記復(fù)合命題真假的判定即可，屬于基礎(chǔ)題型.18.已知雙曲線C：的一條漸近線傾斜角為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且（1）求雙曲線C的離心率；（2）求雙曲線C的方程（1）2（2）【分析】（1）根據(jù)雙曲線的一條漸近線傾斜角為，得到，進(jìn)而即可求

13、出結(jié)果；（2）先由題意作出圖像，得到雙曲線的一條漸近線，作，求出；再由點(diǎn)到直線距離公式求出，進(jìn)而即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）雙曲線C： 的一條漸近線傾斜角為，即，雙曲線C的離心率（2）由題意可得圖象如圖，是雙曲線的一條漸近線，即，作，所以是梯形；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，又，所以由點(diǎn)到直線距離公式可得，則雙曲線的方程為：本題主要考查雙曲線的離心率與方程，熟記雙曲線的性質(zhì)即可，屬于常考題型.19.某學(xué)校用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取了30名同學(xué)，對(duì)其每月平均課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行調(diào)查，莖葉圖如圖：若將月均課外閱讀時(shí)間不低于30小時(shí)的學(xué)生稱(chēng)為“讀書(shū)迷”.（1）將頻率視為概率，估計(jì)該校900名學(xué)生中

14、“讀書(shū)迷”有多少人？（2）從已抽取的7名“讀書(shū)迷”中隨機(jī)抽取男、女“讀書(shū)迷”各1人，參加讀書(shū)日宣傳活動(dòng).（i）共有多少種不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女兩位“讀書(shū)迷”月均讀書(shū)時(shí)間相差不超過(guò)2小時(shí)的概率.（）210；（）（）12；（）試題分析：（）本問(wèn)考查用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，由莖葉圖可知，月均課外閱讀時(shí)間不低于30小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為7人，所占比例為 ，因此該校900人中的“讀書(shū)迷”的人數(shù)為人；（）（）本問(wèn)考查古典概型基本事件空間，設(shè)抽取的男“讀書(shū)迷”為，抽取的女“讀書(shū)迷”為， (其中下角標(biāo)表示該生月平均課外閱讀時(shí)間)，于是可以列出基本事件空間；（）根據(jù)題意可知，符合條件的基本

15、事件為，于是可以求出概率.試題解析：（）設(shè)該校900名學(xué)生中“讀書(shū)迷”有人，則，解得.所以該校900名學(xué)生中“讀書(shū)迷”約有210人. （）（）設(shè)抽取的男“讀書(shū)迷”為，抽取的女“讀書(shū)迷”為， (其中下角標(biāo)表示該生月平均課外閱讀時(shí)間)，則從7名“讀書(shū)迷”中隨機(jī)抽取男、女讀書(shū)迷各1人的所有基本事件為：，所以共有12種不同抽取方法 （）設(shè)A表示事件“抽取的男、女兩位讀書(shū)迷月均讀書(shū)時(shí)間相差不超過(guò)2小時(shí)”，則事件A包含，6個(gè)基本事件， 所以所求概率 20.一臺(tái)機(jī)器的使用年限（年）和所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：已知與之間有線性相關(guān)關(guān)系.（）求關(guān)于的回歸方程；（）估計(jì)使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用約是多

16、少?參考公式：線性回歸方程中斜率和截距公式分別為： ，.（I）；（II）萬(wàn)元.【分析】（）求出對(duì)應(yīng)的系數(shù)，求出回歸方程即可；（）代入x的值，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可【詳解】解:（）, , ,故線性回歸方程為.（）當(dāng)時(shí),故估計(jì)使用年限為年時(shí)，維修費(fèi)用約是萬(wàn)元.本題主要考查線性回歸方程.求回歸直線方程的步驟：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；計(jì)算的值；計(jì)算回歸系數(shù)；寫(xiě)出回歸直線方程為； 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).21.某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶(hù)居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超

17、過(guò)200度的部分按0.5元/度收費(fèi)，超過(guò)200度但不超過(guò)400度的部分按0.8元/度收費(fèi)，超過(guò)400度的部分按1.0元/度收費(fèi).（1）求某戶(hù)居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶(hù)居民每戶(hù)的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶(hù)居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的點(diǎn)80%，求的值；（3）在滿(mǎn)足（2）的條件下，估計(jì)1月份該市居民用戶(hù)平均用電費(fèi)用（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（1）；（2）；（3）.試題分析：1）根據(jù)電價(jià)的分檔情況，可以寫(xiě)出分段函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；（

18、2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)頻率分布直方圖可知，解出；（3）分別求出各組中值點(diǎn)的電價(jià)，并求其概率（頻率），再求平均值試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以與之間的函數(shù)解析式為：；（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合頻率分布直方圖可知：，；（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的概率分布列為：257514022031041001020302015005所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望22.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，過(guò)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率；（2）若過(guò)、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；（3）過(guò)的直線與（2）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）；（2）；（3）的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.試題分析：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，由這個(gè)關(guān)系可解得；（2）外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑，由相切的性質(zhì)得，求出，再由，求出即可；（3）設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，由此可得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立