新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題19 三角函數(shù)圖象與性質(zhì) （解析版）

1、專題19 三角函數(shù)圖象與性質(zhì) 【考點預(yù)測】知識點一：用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無知識點二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)注：正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；知識點三：與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：.（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為-A,A.（3）最值假設(shè).對于，對于，（4）對稱軸與對稱中心.假設(shè).對于，對

2、于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（小）值的位置.正、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置.（5）單調(diào)性.假設(shè).對于，對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：.先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形. 方法二：.先周期變換，后相位變換，再振幅變換.注：在進(jìn)行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.【方法技巧

3、與總結(jié)】關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為.（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為【題型歸納目錄】題型一：五點作圖法題型二：函數(shù)的奇偶性題型三：函數(shù)的周期性題型四：函數(shù)的單調(diào)性題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值）

4、，求解函數(shù)解析式（即的值的確定）題型九：三角函數(shù)圖像變換【典例例題】題型一：五點作圖法例1（2022全國模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.若，且的最小值為，求解下列問題.(1)化簡的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)請完善表格并利用五點作圖法繪制該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)完善表格見解析；圖象見解析；最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用最大值點和零點可確定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令，利用五點作圖法即可完善表格并得到圖象，結(jié)合圖象可求得最值.(1)若，即是的最大值點，是的零點，且的最小值

5、為，設(shè)的最小正周期為，則，即，解得：.由可得：，即有，或，又，綜上所述：；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)根據(jù)“五點作圖法”的要求先完成表格：令.0由圖可知：當(dāng)時，取到最大值；當(dāng)時，取到最小值.例2（2022全國高三專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，記函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）畫出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象.【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間是.（2）圖見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則以及正弦函數(shù)的對稱性確定的解析式，從而可得的解析式，利用降冪公式與輔助角公式化簡，然后利用正弦函數(shù)的周期公式結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)

6、性即可得結(jié)果；（2）利用“五點法”：列表、描點、連線，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，即，又，所以，則， 則， 則函數(shù)的最小正周期，令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.（2）列表如下：00121132故在區(qū)間上的大致圖象是：【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時要注意使用三角

7、恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解例3（2022廣東佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)（）的最小正周期為，且(1)求和的值；(2)填下表并在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；x【答案】(1)，；(2)見解析【解析】【分析】（1）先由最小正周期求出，再由解出即可；（2）直接填出表格畫出圖像即可.(1)由題意知：，解得，又，又，解得.(2)由（1）知：，列表如下x100圖像如圖：.【方法技巧與總結(jié)】 (1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：題型二：函數(shù)的奇偶性例4（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù),

8、在區(qū)間上的最大值為最小值為則_.【答案】【解析】【分析】化簡,可得,令,可得奇函數(shù),結(jié)合已知條件,即可求得答案.【詳解】. 令 ,且 為奇函數(shù),設(shè)其最大值為,則其最小值為,函數(shù)的最大值為,最小值為則 .故答案為:.【點睛】本題考查了求函數(shù)在指定區(qū)間上最值問題,解題關(guān)鍵是掌誘導(dǎo)公式和奇偶性的判斷方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.例5（2022北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）若為偶函數(shù)，則_.（填寫符合要求的一個值）【答案】，填寫符合Z的一個即可【解析】【分析】把展開化簡，只要能化成的形式即為偶函數(shù).【詳解】，只要，就為偶函數(shù)，Z，填寫一個即可，如.故答案為：，填寫符合Z的一個即可.例6（2

9、022四川德陽三模（理）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，則m的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而可得，即得.【詳解】由，向左平移個單位，得到的圖象，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以的最小值是故答案為：.例7（2022貴州貴陽高三期末（文）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則正數(shù)的最小值為_【答案】#【解析】【分析】求出f(x)平移后的解析式，根據(jù)它是偶函數(shù)可求的值.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個單位變?yōu)?，要使其為偶函?shù)，則Z，則，當(dāng)時，為其最小值.故答案為：.例8（2022上海模擬預(yù)測）已知函數(shù)（、為常數(shù)，R）在處取得最

10、小值，則函數(shù)是（）A偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱B偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱C奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱D奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱【答案】D【解析】【分析】由題意先求出的最簡形式，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對選項逐一判斷【詳解】，若在處取得最小值，則，可得函數(shù)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱故選：D例9（2022安徽淮南二模（理）對任意的，函數(shù)滿足若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（）A0B2C4D8【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】依題意對任意的，函數(shù)滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，令（），所以為奇函數(shù)，所以區(qū)間上的最大值與最小值之和為，所以，所以函數(shù)的最大值與

11、最小值之和.故選：C例10（2022山西太原二模（理）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A為奇函數(shù)B為偶函數(shù)C為奇函數(shù)D為偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式以及輔角公式，可得，在分別求出和的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故A錯誤，B正確；又，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，故C、D錯誤.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】 由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù).題型三：函數(shù)的周期性例11（20

12、22北京八十中模擬預(yù)測）已知函數(shù)與直線的交點中，距離最近的兩點間距離為，那么此函數(shù)的周期是_.【答案】且【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)確定兩個距離最近且的兩個角，求出，進(jìn)而求周期.【詳解】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，當(dāng)，則：若，最近的另一個值為，所以，而，可得.故此函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)的周期為且.故答案為：且例12設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為【解答】解：函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，由于得到的函數(shù)的圖象與原圖象重合，故，所以，當(dāng)時，的最小值為3故答案為：3例13（2022陜西模擬預(yù)測（文）若，則_.【答案】0【解析

13、】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷的周期，利用周期性求值即可.【詳解】，時，時，時，時，時，時，所以，且周期為6，則.故答案為：0例14（2022全國高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中；，其中是偶函數(shù)，且最小正周期為的函數(shù)的個數(shù)為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)圖象，結(jié)合奇偶性和周期性，即可得出結(jié)果.【詳解】解：的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)，排除；的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，最小正周期是，正確；的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，最小正周期為，正確；的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，最小

14、正周期為，排除.故選：B.例15（2022廣東深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若時，的最小值為，則（）A函數(shù)的周期為B將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)C當(dāng)，的值域為D函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個【答案】D【解析】【分析】由條件求出的最小正周期，由此判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】由題意，得，所以，則，所以選項A不正確；對于選項B：將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)是為偶函數(shù)，所以選項B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，則，所以的值域為，選項C不正確；對于選項D：令，所以當(dāng)時，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個，D正確，故選：D.例16（2022安徽高三階

15、段練習(xí)（理）設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則（）A，B，C，D，【答案】D【解析】【分析】由題意求得，再由周期公式求得，再由可得，結(jié)合，求得值，即可得解【詳解】由的最小正周期大于，得，又，得，則，即,，由，得,，,取，得,，,故選：例17（2022遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（）A，1B，C，1D，1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式寫出的分段形式，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，即可知答案.【詳解】由題設(shè)，所以的部分圖象如下：所以最小正周期和最小值分別為，1.故選：C例18（2022山西臨汾一模（文）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不

16、變，得到的圖象，若則的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)，由得到分別是函數(shù)的最小值點和最大值點，進(jìn)而求出答案.【詳解】由已知，而則分別是函數(shù)的最小值點和最大值點，而函數(shù)的周期，則的最小值為.故選：A.例19（2022山東德州高三期末）若函數(shù)，又，且的最小值為，則的值為（）ABC4D【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，由的最小值為函數(shù)的最小正周期的，可求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而可求得正數(shù)的值.【詳解】，所以，因為的最小值為函數(shù)的最小正周期的，所以，函數(shù)的最小正周期為，因此，.故選：A例20.（2022浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將圖像上所有點的橫

17、坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像.若，且，則的最小值為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式化簡，再由圖像平移寫出的解析式，結(jié)合已知及正弦型函數(shù)的周期性確定的最小值.【詳解】由題設(shè)，故，要使且，則或，的最小值為1個周期長度，則.故選：B.例21（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)，若在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，且，則的值為（）AB1C2或D或2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，得到 ，再根據(jù)，得到函數(shù)關(guān)于對稱和對稱中心為，然后分與，在同一周期和不同一周期里面相鄰求解.【詳解】解：在區(qū)間，是有單調(diào)性，且，；，函數(shù)關(guān)于對稱，離最近對稱軸的距離為；又，有對稱中心為，

18、；若與，為不是同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心則，可得，若與，為同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心則，可得，故選：D例22（2022河南模擬預(yù)測（理）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（）A只有1個B只有2個C只有3個D有無數(shù)個【答案】C【解析】【分析】設(shè)的最小正周期為T，由函數(shù)在上單調(diào)，判斷出進(jìn)而計算出為的一個對稱中心，為的一條對稱軸.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，分類討論，分別求出的值.【詳解】設(shè)的最小正周期為T，則由函數(shù)在上單調(diào)，可得，即因為，所以.由在上單調(diào)，且，得的一個零點為，即為的一個對稱中心.因為，所以為的一條對稱軸.因為，所以有以下三種情況：，則；當(dāng)時，則，符合題意；，則，符合題意因為

19、，不可能滿足其他情況.故的可能取值只有3個故選：C【方法技巧與總結(jié)】 關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，.（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均.題型四：函數(shù)的單調(diào)性例23（2021湖南模擬）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為A，B，C，D，【解答】解：由圖象知，過點，且，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：例24（2022秋梁園區(qū)校級期末）已知函數(shù)，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為ABCD【解答】解：函數(shù)，的最小值為，故令，求得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：例25（2022內(nèi)蒙古呼倫貝爾二模（文）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）ABCD

20、【答案】C【解析】【分析】先用三角恒等變換化簡得到，再用整體法求解單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】，令解得：Z，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：C例26（2022新疆二模（理）設(shè)函數(shù)，其中，若，則在上的單調(diào)減區(qū)間是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的對稱中心、零點求得，進(jìn)而求得，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.【詳解】據(jù)題意可以得出直線和點分別是的圖象的一條對稱軸和一個對稱中心，所以，即（），所以；又由得，即（），所以，所以；由得的單調(diào)減區(qū)間為（），所以在上的單調(diào)減區(qū)間是.故選：C例27（2022內(nèi)蒙古包頭高三期末（文）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）ABCD【答案】D【解析】【分析

21、】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間，判斷選項【詳解】，令解得故選：D例28（2022青海大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A，B，C，D，【答案】D【解析】【分析】先結(jié)合圖像求出，再由余弦函數(shù)的單增區(qū)間求解即可.【詳解】由圖象知，過點，且，.令，即，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D.例29（2022湖南長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）下列直線中，函數(shù)的對稱軸是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸方程為且，進(jìn)而判斷各項是否為對稱軸即可.【詳解】令且，則對稱軸方程為且，顯然時對稱軸為，不存在有對稱軸為、.故選：B.例30（2022浙

22、江高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求使成立的實數(shù)x的取值集合.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）由兩角差的正弦和余弦公式及降冪公式化簡函數(shù)解析式為，解不等式，即可得答案；（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解不等式即可得答案.(1)解：因為，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2)解：由（1）知，由，得，所以，所以，所以x的取值集合為.【方法技巧與總結(jié)】 三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式.如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解

23、出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)椋瑒t的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間.對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可.題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）例31（2022春河南期末）已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則A1BCD【解答】解：函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，故，整理得：，所以，即，故選：例32（2022寧夏固原一中一模（文）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是A函數(shù)的最小正周期是B圖像關(guān)于直線對稱C函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D圖像關(guān)于點對稱【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對稱性分別進(jìn)行

24、判斷即可【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數(shù)的最小正周期為，所以該選項是正確的； 對于，令，則為最大值，函數(shù)圖象關(guān)于直線，對稱是正確的；對于中，則，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關(guān)于點對稱是正確的，故選【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵例33（2022湖南岳陽一模）已知函數(shù)，其中，函數(shù)的周期為，且時，取得極值，則下列說法正確的是（）ABC函數(shù)在單調(diào)遞增D函數(shù)圖象關(guān)于點對稱【答案】D【解析】【分析】利用周期公式可判斷A；利用極值的定義可判斷B；根據(jù)極值的不確定性可對單調(diào)性進(jìn)行判斷；根據(jù)對稱

25、性可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)，其中，因為函數(shù)的周期為，所以，故A不正確；對于B，時，取得極值，所以為函數(shù)的對稱軸方程，但是不能確定是取得極大值還是極小值，所以，故B不正確；對于C，因為不能確定是函數(shù)的極大值還是極小值，所以無法確定函數(shù)的單調(diào)性，故C不正確；對于D，因為為函數(shù)的對稱軸方程，則，解得，所以，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.故選：D例34（2022黑龍江大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（文）已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖象沿x軸向左平移個單位，所得圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由已知，先對函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)最小正周期為，求解出，然后根據(jù)題意

26、進(jìn)行平移變換，得到平移后的解析式，再利用圖象關(guān)于直線對稱，建立等量關(guān)系即可求解出實數(shù)m最小值.【詳解】解：，即，由其最小正周期為，即，解得，所以，將其圖象沿軸向左平移（）個單位，所得圖象對應(yīng)函數(shù)為，其圖象關(guān)于對稱，所以，所以 ，由，實數(shù)的最小值為.故選：A.例35（2022廣東佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線和是曲線的兩條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值是（）AB0CD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條對稱軸直線方程和單調(diào)遞減區(qū)間可知為最小值，然后解的值【詳解】由在上單調(diào)遞減可知 是最小值由兩條對稱軸直線和可知也是對稱軸且，為最小值故 又 ，解得 故選：A例36（2022四川宜賓市

27、敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測（理）已知，的最大值為，xm是的一條對稱軸，則的最小值為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】的最大值為，又，又xm是的一條對稱軸，即，的最小值為.故選：B.例37（2022黑龍江哈爾濱三中模擬預(yù)測（理）已知向量，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)，賦值，即可求出的值【詳解】，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，令，即，解得：故選：C例38（2022廣東佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)高三階段練習(xí)）將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個單位長度，所得

28、圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）AB2CD【答案】D【解析】【分析】由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得，即可求出，由此求得的最小值【詳解】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得，的圖象關(guān)于直線對稱，的最小值為，故選：D例39（2022內(nèi)蒙古呼和浩特二模（理）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，結(jié)合，列出三角方程，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，可得，因為的圖象關(guān)于直線對稱，即，可得，解得，又因為，所以的最小值為.故選：A.例40（2022四川內(nèi)江市教育科學(xué)

29、研究所三模（理）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）AB0CD【答案】B【解析】【分析】由題可知為的最大值或最小值，可建立方程求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，兩邊平方整理得，解得，則.故選：B.例41（2022四川內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最大值為（）ABC2D2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式得到，再根據(jù)為的對稱軸，即可得到，從而求出的值，即可求出函數(shù)的最大值；【詳解】解：因為，所以，其中，；因為為的對稱軸，所以，即，解得，所以，則；故選：C例42（2022全國高三開學(xué)考試（文）若函數(shù)對任意的x都有，則等于（）A3或0B或0

30、C0D或3【答案】D【解析】【分析】是的一條對稱軸，故而為的最大值或最小值【詳解】任意實數(shù)都有恒成立，是的一條對稱軸，當(dāng)時，取得最大值3或最小值故選：【方法技巧與總結(jié)】 關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為.（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）例43（2022全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由被開方式非負(fù)，解三角不等式可得答案【詳解】由題

31、意，得，則故選：B例44（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)()的定義域是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)解析式及x的取值范圍，根據(jù)根式、對數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求定義域即可.【詳解】由題意，得，則，即，.故選：A.例45（2022陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理）已知不等式對恒成立，則m的最小值為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，令求解.【詳解】解：因為不等式對恒成立，所以不等式對恒成立，令，因為，所以，則，所以，所以，解得，所以m的最小值為，故選：D例46（2022河北邯鄲二模）函數(shù)在上的值域為（）A BCD 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)

32、正弦型函數(shù)的圖像和單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，即 時，取最大值1，當(dāng)，即 時，取最小值大于 ，故值域為 故選：C例47（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（）AB3CD4【答案】C【解析】【分析】令，則，將原函數(shù)變形為，再根據(jù)的取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則原函數(shù)可化為，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值.故選：C.例48（2022北京二中高一階段練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式變形，再在指定區(qū)間上求最小值作答.【詳解】函數(shù)，其中銳角由確定，而，即有，顯然在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.故答案為：例49（2022天

33、津南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知，當(dāng)時，的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦、正弦的二倍角公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時，所以，即，故答案為：例50（2022廣東二模）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)的一個取值為_【答案】（答案不唯一，取，均可）【解析】【分析】依題意，知與同時取到最大值1，進(jìn)而可得，令可得符合題意的的值【詳解】函數(shù)的最大值為1，可取與同時取到最大值1，又時，時，也取到1，不妨取，此時的最大值為1，符合題意，故常數(shù)的一個取值為，故答案為：（不唯一）例51（2022北京高三專題練習(xí)）設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則_.【答案】【解析】【分析】利用輔助

34、角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出，于是可求cos.【詳解】，則，則故答案為：.例52（2022全國高三專題練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則_.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式得出，分析可得出，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式可求解.【詳解】利用輔助角公式，其中當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則，所以，所以又，所以故答案為：.例53（2022全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)_【答案】或#或【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式及輔助角公式將函數(shù)解析式化為的形式，由最大值為1，可建立關(guān)于參數(shù)的方程，進(jìn)而得解.【詳解】解：（其中）所以函數(shù)的最大值為，即解得又因為所以或.故答案為：或.例5

35、4（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_【答案】【解析】【分析】通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值問題.【詳解】令，則，所以，所以當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值.故答案為：.例55（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是_【答案】#-0.25【解析】【詳解】=，所以當(dāng) 時，有最大值故答案為.例56（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_.【答案】【解析】【分析】由題意可得,令,可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求f(x)的最大值【詳解】解:,令,可得,當(dāng)時,y取得最大值為,故答案為:例57（2022全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域 .【答案】【解析】【分析】運(yùn)用二倍角公式及平方關(guān)系統(tǒng)一函數(shù)名稱與角度，再

36、配方可求解.【詳解】因為=，當(dāng)時取得最大值，當(dāng)時取得最小值，又因為， 所以的值域為.例58（2022秋吉安期末）函數(shù)的值域是A，BCD，【解答】解：函數(shù)的定義域為，且，即，所以是偶函數(shù)；當(dāng)時，所以當(dāng)時，；又為定義域上的偶函數(shù)，所以的值域是，故選：例59（2022秋鏡湖區(qū)校級期末）已知函數(shù)，則的最大值為ABC0D1【解答】解：，令，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，時，所以函數(shù)的最大值為1故選：例60（2022春朝陽區(qū)校級月考）函數(shù)有最大值2，最小值，則等于A5B6C8D9【解答】解：函數(shù)的最大值為2，最小值為，故選：例61（2022春廣安期末）設(shè)函數(shù)的最小正周期為；

37、的最大值為；在區(qū)間上單調(diào)遞減；，都有成立；的一個對稱中心為其中真命題有 （請?zhí)顚懻婷}的編號）【解答】解：，的最小正周期不是，即錯；，當(dāng)，即，時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即，時，單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對，故錯；由單調(diào)性知，不可能是函數(shù)的對稱中心，故錯；令，則，故在上為增函數(shù)，故，即，故對；故答案為：例62（2018新課標(biāo)）已知函數(shù)，則的最小值是【解答】解：由題意可得是的一個周期，故只需考慮在，上的值域，先來求該函數(shù)在，上的極值點，求導(dǎo)數(shù)可得，令可解得或，可得此時，或；的最小值只能在點，或和邊界點中取到，計算可得，函數(shù)的最小值為，故答案為：例63求函數(shù)的最大值及最小值【解答】解：解析式表示過，的直

38、線的斜率，由幾何意義，即過定點與單位圓相切時的切線斜率為最值，所以設(shè)切線得斜率為，則直線方程為，即，解得或，所以函數(shù)的最大值為，最小值為0【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理.（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解.（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型.（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意

39、或的范圍.（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合例64（2022天津靜海一中高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有下列命題：函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)可以表示為；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱其中正確的命題的個數(shù)為（）A4個B3個C2個D1個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，對各個選項逐個分析判斷即可得解.【詳解】對，函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；對，由，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故正確；對，故正確；對，由函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故正確，共有3個正確，故選：B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查了三角函數(shù)的對稱性，判斷過程中主要用了代入驗算法，屬于簡單題.例65（

40、2022全國模擬預(yù)測（理）已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時，在上單調(diào)遞減B當(dāng)時，在上單調(diào)遞增C當(dāng)時，D當(dāng)時，的圖象的對稱軸方程為【答案】D【解析】【分析】當(dāng)、和時，可得的最小正周期，由和可確定是的一個對稱軸，由此可構(gòu)造方程求得，驗證可得解析式，由正弦型函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的求法可確定ABD正誤；將，代入解析式，驗證可知，知C錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，的最小正周期，是的一個對稱軸；即，解得：，又，此時，滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，A錯誤；對于B，當(dāng)時，的最小正周期；，是的一個對稱軸；即，解得：，又，此時，滿足題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，此時，即，不合題意，C錯誤

41、；對于D，當(dāng)時，的最小正周期，是的一個對稱軸，即，解得：，又，此時，滿足題意；令，解得：，即的對稱軸方程為，D正確.故選：D.例66（2022全國高三專題練習(xí)（文）已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說法：為偶函數(shù)；函數(shù)在上單調(diào)遞增；，則上述說法正確的個數(shù)為（）A0B1C2D3【答案】C【解析】【分析】對于，利用奇偶性的定義判斷即可，對于，先求出函數(shù)的周期，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性判斷上的單調(diào)性即可，對于，由函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性判斷【詳解】解：依題意，故函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；因為，所以為函數(shù)的一個周期；當(dāng)時，故，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由對稱性和周期性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；結(jié)合中單

42、調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)的最大值為，故錯誤；故選：C例67（2022全國高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：是偶函數(shù)；在區(qū)間上單調(diào)；函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；若，則函數(shù)在上有4個零點其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；由結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性，作出的大致圖象判斷；【詳解】由，可知為偶函數(shù)，對.由，得關(guān)于對稱；由，得的周期為；當(dāng)時，其中且；作出在上的圖象，并根據(jù)的對稱性及周期性作出的大致圖象. 由圖可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，錯；的最大值，最小值，故，錯；若，則在上有4個零點，對，故選：A.例68（202

43、2山西朔州高三期末（理）已知，是函數(shù)（，）相鄰的兩個零點，若函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】先利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知零點得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，求解即可得到結(jié)果【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意可得，則，所以，所以，則令，則，即，又，所以，所以因為函數(shù)在上的最大值為1，且，如圖.當(dāng)時，所以，所以故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的最大值求參數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是，是函數(shù)的兩個相鄰的零點求出，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分析定義域的區(qū)間，屬于中檔題.例69（2022重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)，則下列說法正確的是

44、（）A是偶函數(shù)B的最小正周期是C在區(qū)間上單調(diào)遞增D的圖象關(guān)于直線對稱【答案】C【解析】【分析】A選項，可以利用函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行判斷；求出在的解析式，進(jìn)而畫出函數(shù)在R上的圖象，從而判斷出BCD選項.【詳解】A選項，定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，畫出圖象，顯然的最小正周期是，B錯誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項C正確；直線不是的對稱軸，D錯誤；故選：C例70（2022江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（）A的最大值為B2為的一個周期C為曲線的對

45、稱軸D為曲線的對稱中心【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合周期、對稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為，而，所以一定有且，當(dāng)時，有，此時，所以本選項說法不正確；B：因為，所以2為的一個周期，因此本選項說法正確；C：因為，所以，因此不是曲線的對稱軸，所以本選項說法不正確；D：因為，所以，因此不是曲線的對稱中心，所以本選項說法不正確，故選：B（多選題）例71（2022湖北荊州中學(xué)三模）已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（）A的一個周期是B是偶函數(shù)C在區(qū)間上單調(diào)遞減D的最大值大于【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項的正

46、誤；利用和的值可判斷B選項的正誤；化簡函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項的正誤；由的值可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，所以，函數(shù)的一個周期為，A選項正確；對于B選項，所以，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，則，則，所以，函數(shù)在是常函數(shù)，C選項錯誤；對于D選項，D選項正確.故選：BC.（多選題）例72（2022江蘇蘇州模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（）A是周期函數(shù)B是偶函數(shù)C是上的增函數(shù)D的最小值為【答案】BC【解析】【分析】令，則，再分析的奇偶性、周期性與單調(diào)性，即可判斷；【詳解】解：因為，令，則，對于A，因為是周期為的周期函數(shù)，關(guān)于軸對稱，不是周期函數(shù)，所以不是周期函數(shù)，則也不是周期

47、函數(shù)，故A錯誤；對于B，的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，則，故為偶函數(shù)，故B正確；對于C，當(dāng)時，所以單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)時，則故的最小值不為，故D錯誤故選：BC（多選題）例73（2022全國高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸B函數(shù)在上單調(diào)遞增C函數(shù)在上單調(diào)遞增D，【答案】AC【解析】【分析】由判斷A選項的正確性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減判斷BC選項的正確性，由的最大值小于來判斷D選項的正確性.【詳解】依題意，故A正確；易知，故為函數(shù)的一個周期；當(dāng)時，故，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由對稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤，C正確；

48、，所以為偶函數(shù).，結(jié)合單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)的最大值為，故D錯誤故選：AC（多選題）例74（2022全國高三專題練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A是偶函數(shù)B的最小正周期為C在區(qū)間上單調(diào)遞增D的最小值為1【答案】BC【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗證是函數(shù)的周期，進(jìn)而判斷B；當(dāng)時，用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可判斷C；先考慮時，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，A正確；顯然是周期

49、函數(shù)，因為，所以B錯誤；因為當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；因為當(dāng)時，設(shè)，則，同理：當(dāng)時，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.（多選題）例75（2022全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（）A的周期為2；B是偶函數(shù)；C在區(qū)間上單調(diào)遞減；Dx1，x2R，【答案】BC【解析】【分析】AB選項，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項，在區(qū)間上，化簡整理得到，進(jìn)而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項可以取特殊值代入，證明其不成立.【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯誤，B正確；當(dāng)時

50、，因為，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，即，D選項錯誤.故選：BC【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性.因為對稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調(diào)性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分

51、圖像，求函數(shù)解析式.例76（2022浙江樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用. 明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標(biāo)系. 已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉(zhuǎn)一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對應(yīng)的點從水中浮現(xiàn)（時的位置）時開始計算時間，且設(shè)盛水筒從點運(yùn)動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m

52、）（在水面下則為負(fù)數(shù)），則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為_，在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為_s.【答案】 10【解析】【分析】根據(jù)給定信息，求出以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標(biāo)即可列出函數(shù)關(guān)系，再解不等式作答.【詳解】依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，從點經(jīng)s運(yùn)動到點所轉(zhuǎn)過的角為，因此，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為，點P的縱坐標(biāo)為，于是得點距離水面的高度，由得：，而，即，解得，對于k的每個取值，所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.故答案為：；10【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及三角函數(shù)實際應(yīng)用問題，探求動點坐標(biāo)

53、，找出該點所在射線為終邊對應(yīng)的角是關(guān)鍵，特別注意，始邊是x軸非負(fù)半軸.例77（2022北京東城三模）如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)，因為某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，所以，該摩天輪最低點距離地面高度為，所以，解得，因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要，所以，解得，因為時，故，即，解得.所以，故選：B例78（2

54、022山東濰坊模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的表達(dá)式可以為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由最大值、和，結(jié)合五點作圖法可求得；根據(jù)三角函數(shù)平移變換，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡得到結(jié)果.【詳解】由圖像可知：，；又，又，由五點作圖法可知：，解得：，；.故選：B.例79（2022河南開封模擬預(yù)測（理）如圖為函數(shù)的部分圖像，將的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖

55、像，可得再根據(jù)五點法作圖，可得，.將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，可得得圖像；在向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，故選：D.例80（2022全國模擬預(yù)測（理）已知函數(shù)的部分圖像如圖，則的解析式為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】通過三角函數(shù)圖像的翻折可得的值，結(jié)合五點作圖的思想可得和的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令，由圖易得，所以，得，當(dāng)時，由五點作圖可得，解得，不滿足，故舍去，所以，結(jié)合得，此時應(yīng)滿足，結(jié)合，解得，故的解析式為，故選：B.例81（2022安徽合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為B函數(shù)的圖象關(guān)于直

56、線對稱C函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.【詳解】由圖象可知，即，又，所以，又，可得，又因為所以，所以，故A錯誤；當(dāng)時，.故B錯誤；當(dāng)時，故C正確；當(dāng)時，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯誤故選：C例82（2022廣東惠州高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則將的圖像向左平移個單位后，所得圖像的函數(shù)解析式為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先由圖像求出，然后利用平移變換和誘導(dǎo)公式計算出結(jié)果.【詳解】由題，由圖，所以，向左平移個單位后，得到故選：B.例83（2022安徽合肥一中模擬預(yù)測（文）函數(shù)的

57、部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的最小值可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，再由可求得的值，綜合可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，可得，可得，由于函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，則，所以，解得，所以，因此.故選：D.例84（2022安徽安慶一中高三期末（理）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】化簡可得，由函數(shù)的最大值可求得的值，由圖象可得出該函數(shù)的最小正周期，可求得的值，再由結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由己知，由圖象可知取，函數(shù)的最小正周期為

58、，則，由，得，可得，因為，則，所以，.故答案為：（答案不唯一）.例85（2022全國高三專題練習(xí)（文）如圖是函數(shù)（，）的圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為_【答案】【解析】【分析】由圖象最高點、最低點的縱坐標(biāo)可求得A的值，由最高點、最低點的橫坐標(biāo)求得周期T及的值，取特殊點可求得的值【詳解】由圖象知，則，由，得.又，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)圖像求函數(shù)的解析式時，常用的解析方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定，由適合解析式點的坐標(biāo)確定，但有圖像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，將若干個點代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)特定系數(shù)，這里需要注意的是

59、，要認(rèn)清選擇的點屬于“五點”中的哪一個位置點，并能正式代入式中，依據(jù)五點列表法原理，點的序號與式子的關(guān)系是：“第一點”（及圖像上升時與軸的交點）為；“第二點”（即圖像曲線的最高點）為；“第三點”（及圖像下降時與軸的交點），為；“第四點”（及圖像曲線的最低點）為；“第五點”（及圖像上升時與軸的交點）為.方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）例86（2022貴州模擬預(yù)測（理）已知函數(shù)，且，寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式：_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，取，即得.【詳解】，且，令，令，.故答案為：（答案不唯一）.例87（2022

60、遼寧撫順一模）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，函數(shù)的取值范圍是，則同時滿足條件的函數(shù)的一個解析式為_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)值域，求得A值，根據(jù)x范圍，求得周期，進(jìn)而可得值，根據(jù)對稱軸，求得值，經(jīng)檢驗，即可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，由的最小值為-2，得A=2，若為半個周期長度，則，則，由，不妨令，解得，所以，經(jīng)檢驗，符合條件，故答案為：（答案不唯一）例88（2022海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，再從條件、條件、條件這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.條件：的最小正周期為；條件：；條件：圖象