新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（解析版）

1、專題31 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)1：直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直知識點(diǎn)2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面面線面兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直_a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直_平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a知識點(diǎn)3：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言

2、符號語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行_線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直知識點(diǎn)4：平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直知識點(diǎn)5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直_知識點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語

3、言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直_a【方法技巧與總結(jié)】線線線面面面（1）證明線線垂直的方法等腰三角形底邊上的中線是高；勾股定理逆定理；菱形對角線互相垂直；直徑所對的圓周角是直角；向量的數(shù)量積為零；線面垂直的性質(zhì)；平行線垂直直線的傳遞性（）（2）證明線面垂直的方法線面垂直的定義；線面垂直的判定（）；面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（）；面面垂直的性質(zhì)（）（3）證明面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理（）空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定

4、判定判定判定線面線線面面線面線線面面【題型歸納目錄】題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定題型二：證明線線垂直題型三：證明線面垂直題型四：證明面面垂直【典例例題】題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定例1（2022江西高三階段練習(xí)（理）如圖，在四面體中，則四面體中存在面面垂直關(guān)系的對數(shù)為（）A2B3C4D5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以又，平面，平面所以平面又平面，平面，所以平面平面，平面平面因?yàn)?，所以，所以又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，綜上可知有3對故選：B例2（2023全國高三專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)的兩條直線，是空間的一條直線，則“”是“且”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件

5、D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，所以且；當(dāng)且，但，是否相交無法判斷，所以可能成立，也可能不成立綜上，“”是“且”的充分不必要條件故選：A例3（2022安徽省舒城中學(xué)三模（理）設(shè)，是不同的直線，是不同的平面，則下面說法正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【解析】A：由，則或相交，錯(cuò)誤；B：由，則或或相交，錯(cuò)誤；C：由，則存在直線且，而則，根據(jù)面面垂直的判定易知，正確；D：由，則或，錯(cuò)誤故選：C例4（2022全國高三專題練習(xí)（理）已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A與是異面直線B平面CD平面【答案】B【解析】連接、，交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)

6、連接、由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯(cuò)誤；在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形平面，平面，平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)可得，因?yàn)椋?，又，平面，又，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯(cuò)誤；顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯(cuò)誤故選：B例5（2023全國高三專題練習(xí)（文）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A直線與直線垂直，直線平面B直線與直線平行，直線平面C直線與直線異面，直線平面D直線與直線相交，直線平面【答案】A【解析】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，又平面，所以直線平面，故A正確；以為原點(diǎn)，建立

7、如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，顯然直線與直線不平行，故B不正確；直線與直線異面正確，所以直線與平面不垂直，故C不正確；直線與直線異面，不相交，故D不正確；故選：A例6（2021浙江高三專題練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A若mn，n，則mB若m，則mC若m，n，n，則mD若mn，n，則m【答案】C【解析】對于A，由mn，n可得m或m與相交或m，故A錯(cuò)誤；對于B，由m，可得m或m與相交或m，故B錯(cuò)誤；對于C，由m，n可得mn，又n，所以m，故C正確；對于D，由mn，n，可得m或m與相交或m，故D錯(cuò)誤故選：C例7（2022四川模擬預(yù)測（文）已知是兩個(gè)不同的平

8、面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中所有真命題的序號是（）ABCD【答案】B【解析】若，則或，錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，則由面面垂直的判定可得，正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，正確；若，則或異面，錯(cuò)誤故選：B【方法技巧與總結(jié)】此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除題型二：證明線線垂直例8（2023全國高三專題練習(xí)）如圖，已知和都是直角梯形，二面角的平面角為設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)證明：【解析】證明：過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、四邊形和都是直角梯形，由平面幾何知識易知，則四邊形和四邊形是矩形，在Rt和Rt，且，平面是二面角的平面角，則，

9、是正三角形，由平面，得平面平面，是的中點(diǎn)，又平面，平面，可得，而，平面，而平面例9（2022上海松江二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）求四棱錐的全面積；（2）求證：【解析】（1）BC/AD，AD平面ABP，BC平面ABP，BCBP，同理可得，（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又ABCD是矩形，CDAD，PAADA，CD平面PADAF平面PAD，AFCDPAAD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，AFPD又CDPDD，AF平面PDCPE平面PDC，PEAF例10（2023全國高三專題練習(xí)）已知空間幾何體中，與均為等邊三角形，平面平面平面求證：【解析】證明：取的中點(diǎn)

10、，連接，因?yàn)榕c均為等邊三角形，所以，又，所以平面，平面，所以例11（2022黑龍江哈九中三模（文）如圖，在三棱柱中，平面ABC，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求三棱錐的體積【解析】（1），平面，平面，平面，平面，又平面，（2）平面，平面ABC，又，平面，例12（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱，分別為線段，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，試證；【解析】在中，為中點(diǎn)且，平面平面交線為，平面，分別為，的中點(diǎn)，在直角和直角中，平面，平面，例13（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PAPB3證明：PADPBC；【解析

11、】證明：分別取，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，在中，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，又因?yàn)椋?，從而可得；?4（2022山東肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是邊長為的菱形，證明：；【解析】取中點(diǎn)，連接，為正三角形，又面，面又面，例15（2022浙江模擬預(yù)測）已知梯形，現(xiàn)將梯形沿對角線向上折疊，連接，問：若折疊前不垂直于，則在折疊過程中是否能使？請給出證明；【解析】假設(shè)折疊過程中能使折疊前，假設(shè)，E為垂足，連，則與不垂直折疊后，若，又與是平面內(nèi)的相交直線，故平面，又平面，從而有，故折疊前也應(yīng)有顯然，與矛盾故假設(shè)不能成立即折疊過程中

12、不能使例16（2021全國高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面？證明你的結(jié)論；（2）若在邊上至少存在一點(diǎn)，使，求的取值范圍【解析】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，則因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面所以平面故?dāng)時(shí)，平面（2）設(shè)是符合條件的邊上的點(diǎn)因?yàn)槠矫?，平面所以，又，平面，平面所以平面，因?yàn)槠矫妫砸虼?，點(diǎn)應(yīng)是以為直徑的圓和邊的一個(gè)公共點(diǎn)則半徑，即所以【方法技巧與總結(jié)】題型三：證明線面垂直例17（2021全國高三專題練習(xí)（理）如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，BC1C1C，平面A1C1CA平面BCC1B1，且E，F(xiàn)分別是BC，A1

13、B1的中點(diǎn)（1）求證：BC1A1C；（2）求證：EF平面A1C1CA；（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得BC1平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）證明：因?yàn)?，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面又因?yàn)槠矫妫裕?）證明：取中點(diǎn)，連，連在中，因?yàn)椋謩e是，中點(diǎn)，所以，且在平行四邊形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且所以，且所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）在線段上存在點(diǎn)，使得平面取的中點(diǎn)，連，連因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，在中，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以又由（2）知，所以，由，平面，所以平面故當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面此時(shí)例18（2022山東肥城市

14、教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長為的等邊三角形，證明：平面；【解析】為圓臺下底面圓的直徑，是圓上異于的點(diǎn)，故又，又，平面平面例19（2022廣東深圳高三階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，且，為棱的中點(diǎn)求證：平面；【解析】方法一：取的中點(diǎn)，連接平面，平面，又，平面，平面，且四邊形為正方形，又平面，又，平面，平面方法二：取的中點(diǎn)，連接平面，平面，又，平面，平面，且四邊形為正方形，又平面，平面平面，又平面平面，平面例20（2023全國高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面證明：平面【解析】證明：由題設(shè)，又面面，面面，面，所以面，而面

15、，則，由得：，又，則平面例21（2023全國高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE證明：BD平面PAC【解析】證明：PA平面ABCD，BD平面ABCDPABD同理由PC平面BDE，可證得PCBD又PAPCP，BD平面PAC例22（2022四川成都高三階段練習(xí)（文）如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，D為PC上一點(diǎn)，且（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；（2）若，證明：平面ABD【解析】（1）由題意有為的中點(diǎn)，又，點(diǎn)到平面的距離為三棱錐與三棱錐的體積之比為（2）證明：平面，平面，平面，平面又平面，在中，由

16、，得又，得，又，即又，平面ABD，平面例23（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，若平面，試確定的值【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，記，連接，在中，分別是，的中點(diǎn)，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以平面平面，又平面，所以平面；?）因?yàn)榈酌媸橇庑危?，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，即因?yàn)?，所以，則，則，所以，即又因?yàn)椋云矫?，若平面，則與重合故例24（2022江西宜春模擬預(yù)測（文）如圖所示的五面體中，平面平面，四邊形為正方形，（1）求證：平面；（2）若，求多面

17、體的體積【解析】證明：如圖，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以在中，因?yàn)?，故，不妨設(shè)，所以由余弦定理，得，則，所以，所以，又，所以平面（2）如圖，若，則，由（1）知平面，所以為三棱錐的高，而三棱錐的高為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫嫫矫妫渣c(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到直線的距離，故例25（2021全國模擬預(yù)測（文）如圖，在正方體中，（1）求證：；（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使得平面？并說明理由【解析】（1）如圖，連接，因?yàn)椋?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫妫?，又，所以因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以平面，所以在線段上，存在點(diǎn)，使得平面例26（2022江

18、西九江三模（理）如圖1，矩形中，為上一點(diǎn)且現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2證明：平面；【解析】四邊形為矩形，且，四邊形為矩形，平面，平面例27（2023全國高三專題練習(xí)（理）如圖，在三棱錐中，O為AC的中點(diǎn)證明：PO平面ABC；【解析】證明：連接OB法一：，即ABC是直角三角形，又O為AC的中點(diǎn)，又，OB、AC平面ABCPO平面ABC法二：連接，O為AC的中點(diǎn)因?yàn)?，OB、AC平面ABCPO平面ABC例28（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，等邊三角形所在的平面垂直于底面，求證：平面；【解析】證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，是正三角形，為中點(diǎn)，又平面平面，且平面平面，平

19、面，又平面，且，平面，平面；例29（2022全國高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置如圖2證明：直線平面【解析】證明：圖1中，在中，所以所以也是直角三角形，在圖2中，所以平面例30（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，證明：平面【解析】證明：如圖，連接AF，由題意知為等腰三角形，而為的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面而平面，所以而，平面，所以平面連接，則，而，所以且，所以是平行四邊形，因此，故平面例31（2023全國高三專題練習(xí)）已知邊長為2的等邊（圖1），點(diǎn)D和點(diǎn)

20、E分別是邊AC，AB上的中點(diǎn)，將沿直線DE折到的位置，使得平面平面BCDE，點(diǎn)O和點(diǎn)P分別是邊DE，BE的中點(diǎn)（圖2）證明：平面【解析】證明：連接BD點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊DE，BE上的中點(diǎn)，等邊中，點(diǎn)是邊AC的中點(diǎn)，等邊中，點(diǎn)是邊DE的中點(diǎn)，又平面，平面平面BCDE，且平面平面，平面BCDE，平面平面；【方法技巧與總結(jié)】垂直關(guān)系中線面垂直是重點(diǎn)線垂面哪里找線垂面有何用證明線面垂直常用兩種方法方法一：線面垂直的判定線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么方法二：面面垂直的性質(zhì)面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么題型四：證明面面垂直例32（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形

21、，PA平面ABCD，求證：平面PCD平面PAC；【解析】證明：因?yàn)椋?，所以在中，所以，所以，又PA平面ABCD，面ABCD，所以，而，面，所以面，又面，所以面面例33（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由【解析】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)?，M為棱的中點(diǎn)，故，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面例34（2020全國高三專題練習(xí)）如圖，在直

22、三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由【解析】（1）連接與，兩線交于點(diǎn)，連接，在中，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面（2）因?yàn)榈酌?，平面，所以又為棱的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所以因?yàn)?，所以又，在和中，所以，即，所以，又，平面，所以平面?）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面例35（2022青海海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文

23、）如圖，在三棱柱中，（1）證明：平面平面（2）設(shè)P是棱上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積【解析】（1）連接三棱柱中，則，則，則，又，又，平面，平面，平面平面（2）取AB的中點(diǎn)D，連接CD，又由（1）知平面平面，平面平面則平面，且則三棱錐的體積為，則三棱柱的體積為6，在四邊形中，又四棱錐的體積為，三棱錐的體積為例36（2022安徽合肥二模（理）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使得，連結(jié)，證明：平面平面；【解析】證明：取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，為等邊三角形，又，又，平面平面，平面平面例37（2023全國高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，二面角為證明：

24、平面平面【解析】證明：連接PE，BE，因?yàn)闉锳D中點(diǎn)，所以PEAD，因?yàn)?，E為AD中點(diǎn)，所以BEAD，因?yàn)?，所以AD平面PBE，因?yàn)槠矫鍼BE，所以ADPB，因?yàn)?，E為AD中點(diǎn)，所以，由勾股定理得：，因?yàn)?，由勾股定理逆定理可得，所以，因?yàn)锽EAD，PEAD，所以即為二面角的平面角，所以=在三角形PEB中，由余弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍼BC，所以平面PBC平面ABCD例38（2022全國高三專題練習(xí)）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，側(cè)面底面ABC（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：；（2）過側(cè)面的對角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妗窘馕觥浚?）證

25、明：，D是BC中點(diǎn)，底面?zhèn)让?，交線為BC，側(cè)面，又側(cè)面，；（2）證明：取中點(diǎn)E，連接DE，ME，在中，D，E分別是BC，的中點(diǎn)，且又且，且，且，四邊形AMED是平行四邊形，由（1）知面，側(cè)面，又面，面?zhèn)让胬?9（2022云南師大附中模擬預(yù)測（理）如圖，已知四棱臺的底面是矩形，平面平面，為的中點(diǎn)，且證明：平面平面【解析】證明：平面平面，平面平面，平面，平面又平面，平面，平面又平面，平面平面例40（2022浙江三模）如圖，四面體的棱平面，證明：平面平面；【解析】作于M，連接，則，則，則，故又，則，又，平面，故平面，又平面，則平面平面例41（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)

26、，連接AF，證明：平面平面；【解析】如圖，延長和CB的延長線相交于點(diǎn)E，連接AE，則AE為平面與底面ABC的交線，由已知得，所以，由AB、BC的長都為3，AC的長為，得，所以，在三角形ABE中，由余弦定理，得，所以，所以，即，又是直三棱柱，故平面ABC，又平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面；【方法技巧與總結(jié)】主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決【過關(guān)測試】一、單選題1若和分別為空間中的直線和平面，則“”是“垂直內(nèi)無數(shù)條直線”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條

27、件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則垂直內(nèi)所有直線，因此，命題“若，則垂直內(nèi)無數(shù)條直線”正確，垂直內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時(shí)直線可以在平面內(nèi)，即不能推出，所以“”是“垂直內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件故選：A2數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)有邊長為的正四面體，其中點(diǎn)M為的重心，點(diǎn)N，H分別為，中點(diǎn)下列說法正確的有（）ABCD【答案】B【解析】正四面體，點(diǎn)M為的重心，M為等邊的中心，面，面，直線與交于點(diǎn)A，故AN不與DM垂直，故排除A；延長DM交BC于點(diǎn)G，則G為BC中點(diǎn)，連接AG，如圖所示，邊長為，在中可得，由，故B正確，C錯(cuò)誤；在中，H，M分別為NA，NG的中點(diǎn)，又，H

28、M不與AB平行，故D錯(cuò)誤故選：B3設(shè)m，n是空間兩條不同直線，是空間兩個(gè)不同平面，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件B當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件C當(dāng)時(shí)，“”是“”的必要不充分條件D當(dāng)時(shí)，“”是“”的必要不充分條件【答案】B【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，若，則，反之也成立，故“”是“”的充分必要條件，故A錯(cuò)誤對于B，當(dāng)時(shí)，由線面垂直的判斷定理可得：若，則，但若，或或相交均可能，故當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件，故B正確對于C，當(dāng)時(shí)，則平行或異面，而時(shí)，或，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤對于D，當(dāng)時(shí)，若，則或或相交均可能，當(dāng)時(shí)，則或或相交均可能，故“”是“”的

29、既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤，故選：B4數(shù)學(xué)試題）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，為三條不同的直線，則下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】A【解析】由面面垂直的性質(zhì)定理易知選項(xiàng)A正確；若，則直線可能與平面垂直，也可能與平面平行，還有可能在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)，不能確定直線，的位置關(guān)系，故C錯(cuò)誤；若，則，故D錯(cuò)誤故選：A5設(shè)，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下面四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中所有正確命題的序號是（）ABCD【答案】B【解析】對，若，則或與相交，故錯(cuò)；對，若，則，對；對，若，則，錯(cuò)；對，若，則不一定垂直，錯(cuò)故選：B6在三棱錐中作平面，垂

30、足為若三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則是的（）心；若三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，則是的（）心：若三組對棱與與與中有兩組互相垂直，則是的（）心以上三個(gè)空依次填（）A外，垂，內(nèi)B內(nèi)，外，垂C垂，內(nèi)，外D外，內(nèi)，垂【答案】D【解析】對于，連接、，如下圖所示：由平面，可得為與平面所成角，為與平面所成角，為與平面所成角，且，因?yàn)?，所以，即為的外心；對于，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，連接，如下圖所示平面，平面，平面，平面，故，可得為側(cè)面與底面所成角的平面角，同理可知，為側(cè)面與底面所成角的平面角，為側(cè)面與底面所成角的平面角，且，因?yàn)?，所以，即為的?nèi)心

31、；對于，連接、，如中的圖，若，因?yàn)槠矫?，平面，因?yàn)?，所以，平面，平面，同理可得，即為，即有，所以，即有，則，即為的垂心故選：D7棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列命題中錯(cuò)誤的是（）ABEF平面CEF平面D四面體的體積等于【答案】C【解析】，A正確；如圖，取的中點(diǎn)，連接，易知，所以四邊形是平行四邊形，所以/，又平面，平面，所以/平面，B正確；若平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，得，顯然不成立，C不正確；因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，D正確故選：C8試題）為正方體對角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（）AB若平面PAC，則C若為鈍角三角形，則D

32、若，則為銳角三角形【答案】C【解析】如圖（1）所示：對于A中，正方體中，連接，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又由且，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以，所以A正確；對于B中，正方體中，連接，可得，且，所以平面，若平面，可得點(diǎn)在平面中，可得，又由，所以，所以B正確；對于C中，設(shè)正方體的棱長為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，可得，由余弦定理可得，可得，所以若為鈍角三角形，則是不正確的，故C不正確；對于D中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示不妨設(shè)正方體的棱長為1，則，可得，由，令，解得或（舍去），又由，所以，即當(dāng)時(shí)，即為銳角，又因?yàn)橹?，所以為銳角三角形，所以D正確故選：C二、多選題9若是互不相同的空間直線，

33、是不重合的平面，則下列命題中為假命題的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】ABC【解析】對于A中，由，則與可能是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由，只有垂直兩平面的交線時(shí)，才有，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由，則與可能平行、相交或異面，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由，則在平面內(nèi)必存在一條直線，使得，又由，可得，且，所以，所以D正確故選：ABC10試題）如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個(gè)等腰直角三角形ABC和一個(gè)有一內(nèi)角為30的直角三角形ACD拼接而成，將ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過程中，下列結(jié)論中可能成立的是（）ACDABBBCADCBDABDBCCD【答案】ACD【解析】當(dāng)將ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)到C

34、DBC時(shí)，因?yàn)镃DAC，此時(shí)CD平面ABC，而平面ABC，則CDAB，CDBC，AD正確；此時(shí)AB平面BCD，平面BCD，所以ABDB，C正確；若，而ABBC，故必有BC平面ABD，由圖形可知，D點(diǎn)在B點(diǎn)正上方，而，所以顯然不可能；故選：ACD11在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下述選項(xiàng)正確的是（）A是定值B點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)C存在某個(gè)位置，使D存在某個(gè)位置，使平面【答案】ABD【解析】取中點(diǎn)，連接，則，且且，所以，且度數(shù)大小為定值，由余弦定理可得，由于MF，BF以及是定值，故MB為定值，故A正確；由于B為定點(diǎn)，MB為定值，所以是在以為球心，為半徑的球上

35、，可得正確；因?yàn)?，故，故，假設(shè)，由于平面，故平面，則，則，而，這在中是不可能的，故假設(shè)不成立，即不存在某個(gè)位置，使，故C錯(cuò)誤；由與，且，可得平面平面，平面，故平面，可得正確；故選：ABD12如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A平面B平面C平面平面D線段長度等于線段長度【答案】ABC【解析】因?yàn)槭钦叫?，所以又因所以平面平面，所以平面，因此A正確；而平面，所以平面平面，因此C正確；因?yàn)镕是的中點(diǎn)，而E為線段的中點(diǎn)，所以平面，平面，所以平面，因此B正確；對于D，因?yàn)槭沁呴L為1的正三角形，是正方形，所以又由平面，有，所以在中，又分別是等腰三角形的底

36、邊和腰上的中線，所以線段與的長度不相等（否則，是正三角形），因此D不正確；故選：ABC三、填空題13已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題：_【答案】若，則（答案不唯一）【解析】若，則故答案為：若，則14如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_時(shí)，平面【答案】或【解析】由已知得是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，又平面，若平面，則設(shè)，則，解得或15如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC與BD交于點(diǎn)O，將ACD沿直線AC翻折，形成三棱錐D-ABC，若在翻折過程中存在某個(gè)位置

37、，使得OBAD，則x的取值范圍是_【答案】【解析】過作于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以是中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍為故答案為?6如圖，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)E，則下列正確說法的序號是_存在點(diǎn)F使得平面；存在點(diǎn)F使得平面；對于任意的點(diǎn)F，都有；對于任意的點(diǎn)F三棱錐的體積均不變【答案】【解析】當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，此時(shí)連接EF，可得：，因?yàn)槠矫?，所以平面，正確；連接，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以相交，因?yàn)槠矫?，所以不存在點(diǎn)F使得平面，錯(cuò)誤連接AC，BD，則ACBD，又平面ABCD，平面ABCD，所以BD，因?yàn)?，所以BD平面，因?yàn)槠矫?，所以BDEF，正確；連接DF，EF，ED，則無論點(diǎn)F