(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)8.2《兩條直線的位置關(guān)系》課時(shí)跟蹤檢測(cè)(含詳解)

PAGE第6頁(yè)共6頁(yè)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十一）兩條直線的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D．－2解析：選D由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故選D.2．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若兩直線平行，則a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是兩直線平行的充分不必要條件．3．已知A(4，－3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(－2,5)，則直線l的方程是()A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0解析：選B由題意得AB的中點(diǎn)C為(1,1)，又A，B兩點(diǎn)連線的斜率為kAB＝eq\f(5＋3,－2－4)＝－eq\f(4,3)，所以直線l的斜率為eq\f(3,4)，因此直線l的方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故選B.4．直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：選A在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故選A.5．已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是()A．[－10,10] B．[－10,5]C．[－5,5] D．[0,10]解析：選D由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0,10]．6．經(jīng)過(guò)直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為_(kāi)_________．解析：過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它與直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－eq\f(1,4)，故所求直線為x－y＝0.答案：x－y＝0二、綜合練——練思維敏銳度1．直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．不能確定解析：選C直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq\f(1,2)，則k1≠k2，且k1k2≠－1.故選C.2．三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的取值范圍是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：選C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，則k＝－10.故若l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則k≠±5且k≠－10.故選C.3．(多選)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0解析：選BD設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因?yàn)閑q\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.4．若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq\r(10)，則m＝()A．7 B.eq\f(17,2)C．14 D．17解析：選B直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m因?yàn)樗c直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).5．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于MA．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0解析：選D由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直線2x＋3y－6＝0上，設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，則eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.6．兩條平行線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是()A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞) D．(0，eq\r(34)]解析：選D當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時(shí)，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，eq\r(34)]．7．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n等于()A.eq\f(34,5) B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3) D.eq\f(32,3)解析：選A由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).8．已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)解析：選C設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，－2)，∴直線A′C即BC所在直線的方程為y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知點(diǎn)C在直線y＝2x上，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))則C(2,4)，故選C.9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP的長(zhǎng)度為()A．2 B．1C.eq\f(8,3) D.eq\f(4,3)解析：選D以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0，設(shè)P(t,0)(0<t<4)，由對(duì)稱知識(shí)可得點(diǎn)P關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(4，4－t)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－t,0)，根據(jù)反射定律可知P1P2所在直線就是光線RQ所在直線．由P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得P1P2所在直線的方程為y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)，設(shè)△ABC的重心為G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因?yàn)橹匦腉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光線RQ上，所以有eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝eq\f(4,3)，因?yàn)?<t<4，所以t＝eq\f(4,3)，即|AP|＝eq\f(4,3)，故選D.10．與直線x－2y＋3＝0平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4的直線方程是__________．解析：設(shè)所求直線方程為x－2y＋λ＝0，令x＝0，得y＝eq\f(λ,2)；令y＝0，得x＝－λ.由題意，得eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)))·|－λ|＝4，解得λ＝±4.故所求直線方程為x－2y±4＝0.答案：x－2y±4＝011．若兩直線kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交點(diǎn)在第二象限，則k的取值范圍是________．解析：由題意知k≠±1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋1＝0，,x－ky＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,1－k2)，,y＝\f(1,1－k2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,1－k2)＜0，,\f(1,1－k2)＞0，))∴－1＜k＜0.答案：(－1,0)12．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y＋3－m＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．解析：動(dòng)直線x＋my＝0(m≠0)過(guò)定點(diǎn)A(0,0)，動(dòng)直線mx－y＋3－m＝0過(guò)定點(diǎn)B(1,3)．由題意易得直線x＋my＝0與直線mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.當(dāng)m＝0時(shí)，直線x＝0與y＝3垂直，也滿足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.∴|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值為5.答案：513．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為_(kāi)_______．解析：由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2，4)，直線l1的縱截距為4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，如圖，所以四邊形的面積S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×eq\f(1,2)＝4k2－k＋8，故面積最小時(shí)，k＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點(diǎn)P(－2,2)．(1)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)證明：該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于4eq\r(2).證明：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時(shí)為零，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線．∵方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為M(2，－2)．(2)過(guò)P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時(shí)，|PQ|＝|PM|，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線x－y－4＝0，∴M與Q不可能重合，而|PM|＝4eq\r(2)，∴|PQ|<4eq\r(2)，故所證成立．15．已知直線l：3x－y－1＝0及點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．(1)試在l上求一點(diǎn)P