分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的常用方法課件

第4章分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的常用方法建立自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的目的，就是為了對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)系統(tǒng)的分析方法主要有兩種：時(shí)域分析法(由時(shí)域響應(yīng)及傳遞函數(shù)出發(fā)去進(jìn)行分析)頻率特性法(由頻域響應(yīng)及傳遞函數(shù)出發(fā)去進(jìn)行分析)第4章分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的常用方法建立自動(dòng)控制系4.2頻率特性法頻率特性法的基本概念頻率特性的圖形表示方法典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性4.2頻率特性法頻率特性法的基本概念4.2.1頻率特性的基本概念由《電路基礎(chǔ)》可知，當(dāng)電路中存在儲(chǔ)能元件時(shí)，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，將發(fā)生一個(gè)中間過程——過渡過程，而這一過程的特點(diǎn)就是過渡過程隨時(shí)間的變化而變化，是一個(gè)與時(shí)間有關(guān)過程。引起過渡過程的原因有兩個(gè)，即內(nèi)因——電路中必有儲(chǔ)能元件。外因——電路的接通或斷開，電源的變化，電路參數(shù)的變化或電路的改接等因素，這些能引起電路或系統(tǒng)發(fā)生過渡過程的外部因素我們統(tǒng)稱為激勵(lì)。而過渡過程所發(fā)生時(shí)所產(chǎn)生的、我們關(guān)心的結(jié)果，如輸出電壓的變化，系統(tǒng)的運(yùn)行等，我們則統(tǒng)稱為電路對(duì)時(shí)間的響應(yīng)。4.2.1頻率特性的基本概念由《電路基礎(chǔ)》可知，當(dāng)電路中存在由過渡過程分析中的三要素法可知，電路對(duì)時(shí)間響應(yīng)常常分為兩個(gè)部分：暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。線性電路的時(shí)間響應(yīng)通常可以寫成：其中：為暫態(tài)響應(yīng)，為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)輸入激勵(lì)是為正弦周期信號(hào)時(shí)：其輸出響應(yīng)為：由過渡過程分析中的三要素法可知，電路對(duì)時(shí)間響應(yīng)常常分為兩個(gè)部為了更好地理解頻率特性的概念，我們?cè)谶@舉一個(gè)這是一個(gè)簡單的例子。如圖所示為一階RC電路，如果我們?cè)O(shè)電容兩端的電壓為Uc為輸出響應(yīng)，則當(dāng)激勵(lì)為正弦周期信號(hào)時(shí)，由此電路的傳遞函數(shù)，可得：RCUiUc++i由于正弦周期信號(hào)的拉氏變換式為：所以，該一階RC電路輸出響應(yīng)的拉氏變換式為：為了更好地理解頻率特性的概念，我們?cè)谶@舉一個(gè)這是一個(gè)簡單的例兩邊取拉氏變換，則有：暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量兩邊取拉氏變換，則有：暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量則：為該一階RC電路的幅頻特性，它是指輸出正弦響應(yīng)信號(hào)的最大值與輸入正弦激勵(lì)信號(hào)最大值之間的比值；稱為該一階電路的相頻特性，它是指輸出正弦信號(hào)的初相位與輸入正弦信號(hào)初相位之差（相位差）。由此我們定義：所謂頻率特性就是指正弦激勵(lì)下線性系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。并且從其穩(wěn)態(tài)分量表達(dá)式中，我們知道：對(duì)于線性電路而言，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入激勵(lì)同頻率的正弦函數(shù)信號(hào)，只不過經(jīng)過系統(tǒng)傳送后，相對(duì)于輸入激勵(lì)的幅值和初相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）發(fā)生了一定的變化而已。若令：則：為該一階RC電路的幅頻特性，它是指輸出正弦響應(yīng)信從以上定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)，所謂頻率響應(yīng)，本質(zhì)上討論的就是我們?cè)凇峨娐坊A(chǔ)》中學(xué)過的正弦交流電路中三要素中的兩個(gè)要素而已。所不同之處在于《電路基礎(chǔ)》中，我們研究的是在給定某一正弦信號(hào)頻率的情況下，電路所對(duì)應(yīng)的某一確定的正弦輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)幅值大小與初相位的改變。而在自動(dòng)控制原理與系統(tǒng)中，我們所研究的是當(dāng)輸入正弦激勵(lì)信號(hào)的角頻率從0→∞變化過程中，其輸出的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)的幅值與初相位隨輸入正弦周期信號(hào)頻率的改變而隨之變化的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于本例，當(dāng)我們?nèi)=1Ω，C=0.1F的實(shí)驗(yàn)電路參數(shù)時(shí)，其隨頻率變化的響應(yīng)曲線如下：從以上定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)，所謂頻率響應(yīng)，本質(zhì)上討論的就是我暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)此時(shí)輸入信號(hào)有角頻率暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)此時(shí)輸入信號(hào)有角頻率實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的角頻率為ω=20rad/s時(shí)，該一階RC電路穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出的仍然是同頻率的正弦信號(hào)。但是其輸出的正弦響應(yīng)信號(hào)的幅值為|Ac|=0.438，相位滯后了。因此在這一頻率信號(hào)的作用下，此時(shí)的頻率特性是：實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的角頻率為ω=20rad/此時(shí)輸入信號(hào)有角頻率此時(shí)輸入信號(hào)有角頻率實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的角頻率為ω=50rad/s時(shí)，該一階RC電路穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出的仍然是同頻率的正弦信號(hào)。但是與輸出的正弦響應(yīng)信號(hào)的幅值為|Ac|=0.193，相位滯后了。因此在這一頻率信號(hào)作用下，此時(shí)的頻率特性為：實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的角頻率為ω=50rad/當(dāng)我們選擇足夠多的頻率點(diǎn)后，通過幅值與頻率，相位與頻率之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們最后可以繪制出如圖所示的幅頻率特性曲線與相頻率特性曲線。并由此曲線來分析該電路的性質(zhì)結(jié)論：這是一個(gè)低通濾波電路當(dāng)我們選擇足夠多的頻率點(diǎn)后，通過幅值與頻率，相位與頻率之間一現(xiàn)在，我們從理論上進(jìn)一步分析，首先設(shè)系統(tǒng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的表達(dá)式為：則其輸出的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)為：在上式中，MAr是輸出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)的最大值，而是以度（deg）為單位的輸出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)的初相位?，F(xiàn)設(shè)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是G（s）,那么輸入激勵(lì)與與輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之間的Laplace變換關(guān)系就是：R（S）C（S）現(xiàn)在，我們從理論上進(jìn)一步分析，首先設(shè)系統(tǒng)輸入的正弦激勵(lì)信號(hào)的對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)分析來說，我們將自變量S由S=σ+jω，替換成S=jω,則上面的式子就變成了：如果將C（jω）寫成相量的形式，則有：輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的初相位對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)分析來說，我們將自變量S由S=σ+jω，替換成S現(xiàn)在我們以同樣的辦法將輸入激勵(lì)信號(hào)R（jω）也寫成相量的形式，則有：這樣該線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就變成了：正弦激勵(lì)的幅值正弦激勵(lì)的初相位現(xiàn)在我們以同樣的辦法將輸入激勵(lì)信號(hào)R（jω）也寫成相量的形式由前面做過的演示實(shí)驗(yàn)可知，上式中的和都是角頻率ω的函數(shù)，所以上面的式子最終可以寫成：其中：正弦穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)的幅值為：而正弦穩(wěn)態(tài)傳遞函數(shù)的相位是：由前面做過的演示實(shí)驗(yàn)可知，上式中的和都是角其中：正弦所以，我們就稱M(ω)稱為系統(tǒng)的幅值頻率特性，簡稱幅頻特性(MagnitudeCharacteristic)。

稱

(ω)稱為系統(tǒng)的相位頻率特性，簡稱為相頻特性(PhaseCharacteristic)。兩者統(tǒng)稱為頻率特性(FrequencyCharacteristic)或幅相頻率特性(Magnitude-PhaseCharacteristic)用G

（jω）表示。特別是當(dāng)輸入的正弦信號(hào)為單位正弦信號(hào)，即：則系統(tǒng)的頻率特性就是：所以，我們就稱M(ω)稱為系統(tǒng)的幅值頻率特性，簡稱幅頻特性由此可見，在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，我們同樣只要知道系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（s），就可以求出它的頻率特性：幅值頻率特性：相位頻率特性：而知道了系統(tǒng)傳遞函數(shù)的頻率特性G（jω），也就知道了：當(dāng)系統(tǒng)受到頻率為ω0的正弦信號(hào)激勵(lì)時(shí)，其系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：由此可見，在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，我們同樣只要知道系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（通過以上分析，我們不難發(fā)現(xiàn)：所謂系統(tǒng)的頻域特性就是指系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性集合。對(duì)線性系統(tǒng)而言，若其輸入信號(hào)為正弦量，則其穩(wěn)態(tài)輸出（即頻域響應(yīng)）也將是與輸入同頻率的正弦量，只不過其輸出的幅值和相位一般不同于輸入量，而這種輸出幅度與相位變化往往與系統(tǒng)本身的的參數(shù)、特性以及輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。因此，頻率特性從本質(zhì)上講就是分析在各種不同頻率的正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出所反映出來的正弦波信號(hào)的幅值、相位所產(chǎn)生的變化趨勢。為了更好地理解這一問題，我們?cè)賮砜纯次覀兦懊鎸?shí)驗(yàn)過的一階RC電路。通過以上分析，我們不難發(fā)現(xiàn)：所謂系統(tǒng)的頻域特性就是指系統(tǒng)對(duì)不這是一個(gè)簡單的一階RC電路，在前面的演示中我們已經(jīng)討論過這個(gè)電路，即如果設(shè)電容兩端的電壓為Uo，則該一階RC電路的傳遞函數(shù)為：RCUiUo++i由頻率特性的定義，則有：這正是系統(tǒng)頻率特性在復(fù)數(shù)平面內(nèi)的一種典型表示方法，這種表示方法我們稱之為直角坐標(biāo)表示法。這是一個(gè)簡單的一階RC電路，在前面的演示中我們已RCUiUo根據(jù)復(fù)函數(shù)理論，我們可以分別求出上式中的幅值與相位，即：幅值：相位：+1+j根據(jù)復(fù)函數(shù)理論，我們可以分別求出上式中的幅值與相位，即：幅值由此可見，當(dāng)正弦信號(hào)通過RC電路時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)信號(hào)將是輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，但它的幅值和相位不僅與頻率ω的變化有關(guān)，而且還與一階RC電路的參數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)（RC）有關(guān)，為此我們分別取R=1Ω，C=0.1F、0.01F、0.001F等實(shí)驗(yàn)參數(shù)時(shí)，并利用MATLAB軟件來看一看其輸出信號(hào)的幅值、相位與頻率ω及電路參數(shù)R、C之間的關(guān)系。由此可見，當(dāng)正弦信號(hào)通過RC電路時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)當(dāng)ω=20rad/s時(shí)的幅值與相位當(dāng)ω=45rad/s時(shí)的幅值與相位截止頻率ωp=10rad/s相頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)產(chǎn)生了近-45度的相移幅頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)的幅值衰減至輸入幅值的0.707倍當(dāng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)：R=1Ω，C=0.1F時(shí)當(dāng)ω=20rad/s時(shí)的幅值與相位當(dāng)ω=45rad/s時(shí)的幅截止頻率ωp=100rad/s相頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)產(chǎn)生了近-45度的相移幅頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)的幅值衰減至輸入幅值的0.707倍當(dāng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)：R=1Ω，C=0.01F時(shí)截止頻率ωp=100rad/s相頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)產(chǎn)截止頻率ωp=1000rad/s相頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)產(chǎn)生了近-45度的相移幅頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)的幅值衰減至輸入幅值的0.707倍當(dāng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)：R=1Ω，C=0.001F時(shí)截止頻率ωp=1000rad/s相頻特性觀察點(diǎn):此時(shí)輸出信號(hào)T=RC=0.001隨著頻率的增加，當(dāng)ω→∞，其輸出信號(hào)的幅值會(huì)衰減至零并產(chǎn)生約為-90度最大相移。T=RC=0.001隨著頻率的增加，當(dāng)ω→∞，其輸出信號(hào)的幅以上一階RC電路在三個(gè)不同電路參數(shù)下的系統(tǒng)頻域響應(yīng)，充分驗(yàn)證了系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的傳遞函數(shù)（頻率特性）與輸入信號(hào)頻率之間的因果關(guān)系，并由此可以得出如下結(jié)論：此一階RC電路具有低通特性，即當(dāng)RC電路參數(shù)一定時(shí)，頻率較低的正弦激勵(lì)信號(hào)更容易通過此電路。此一階RC電路具有移相特性，即當(dāng)頻率較高時(shí)，能產(chǎn)生接近-90度的最大相移。因此，此電路在電子技術(shù)中又被稱為是低通濾波電路。以上一階RC電路在三個(gè)不同電路參數(shù)下的系在許多情況下，對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)所進(jìn)行的的設(shè)計(jì)與校正非常類似于對(duì)濾波電路所進(jìn)行的設(shè)計(jì)。從這一點(diǎn)不難看出：自動(dòng)控制系統(tǒng)也可以被看成是一個(gè)可以對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理的信號(hào)處理器。事實(shí)上如果控制系統(tǒng)能具有理想的一階RC低通濾波器的低通特性的話，這時(shí)的自動(dòng)控制系統(tǒng)將是一個(gè)非常理想系統(tǒng)。這意味著自動(dòng)控制系統(tǒng)將能實(shí)現(xiàn)對(duì)所有低于截止頻率ωp的信號(hào)進(jìn)行幾乎沒有衰減的傳輸，而對(duì)于那些高于截止頻率ωp的噪聲信號(hào)來說，它們將被自動(dòng)控制系統(tǒng)完全隔離。而這也正是研究系統(tǒng)頻特性的優(yōu)越之處。從另一方面來說，頻域特性分析法是用圖形方式對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的一種分析方法，與時(shí)域分析中的解析方法相比，圖形分析具有更為直觀與方便的特點(diǎn)。在許多情況下，對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)所進(jìn)行的的設(shè)計(jì)與校正非常類似于對(duì)*系統(tǒng)的閉環(huán)頻域性能指標(biāo)諧振峰值Mr諧振頻率ωr帶寬BW截止頻率ωpωpBWωrMr*系統(tǒng)的閉環(huán)頻域性能指標(biāo)諧振峰值MrωpBWωrMr4.2.2頻率特性的圖形表示法

前面，我們?cè)岬筋l域分析法是一種用圖形方式對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法以。這種方法的最大特點(diǎn)就是將系統(tǒng)的頻率特性用曲線這樣的圖形表示出來。常見的頻率特性曲線有以下兩種：奈奎斯特（Nyquist)曲線對(duì)數(shù)頻率特性——伯德圖（Bode）4.2.2頻率特性的圖形表示法前面，我們?cè)岬筋l域分析奈奎斯特（Nyquist)曲線奈奎斯特（Nyquist)曲線簡稱奈氏曲線，是由美國物理學(xué)家奈奎斯特首創(chuàng)。它是將系統(tǒng)的頻率特性繪制在極坐標(biāo)上的圖形表示方法，并在該圖形表示方法的基礎(chǔ)上提出了著名的奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。由于頻率特性是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以和其它復(fù)數(shù)一樣，頻率特性除了可以用直角坐標(biāo)進(jìn)行表示之外，它還可以用極坐標(biāo)的方式進(jìn)行表示，即：也即用頻率特性的幅值——模，和頻率特性的相位差——幅角來進(jìn)行表示。奈奎斯特（Nyquist)曲線奈奎斯特（Nyquist)曲線因此奈氏曲線所繪制的就是：當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的極坐標(biāo)表達(dá)式：，去算出每取一個(gè)特定的ω值時(shí)，所得到的頻率特性的模（幅值）和幅角（相位差），然后將它們的值標(biāo)記在復(fù)平面（直角坐標(biāo)系）上，再將這些標(biāo)記點(diǎn)用光滑的曲線連接起來，最終所得到的曲線就是奈氏曲線。因此奈氏曲線所繪制的就是：當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，根據(jù)頻率特性的*一階RC電路奈氏曲線的繪制過程在繪制幅相頻率特性曲線時(shí)，先選取幾個(gè)特殊點(diǎn)（如ω=0，ω=1/T，ω→∞等）求得對(duì)應(yīng)的M與

，然后再有選擇地選取若干個(gè)與ω?cái)?shù)值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M與，再按ω由0→∞的順序,逐點(diǎn)繪制出曲線圖形。如一階RC電路,當(dāng)R=1Ω，C=0.001時(shí),其奈氏曲線的繪制方法與步驟。*一階RC電路奈氏曲線的繪制過程在繪制幅相頻率特性曲線時(shí)，先第一步：求出系統(tǒng)的幅頻及相頻特性表達(dá)式：因?yàn)樵撘浑ARC電路的頻率特性為：所以有：幅頻特性：相頻特性：第一步：求出系統(tǒng)的幅頻及相頻特性表達(dá)式：因?yàn)樵撘浑ARC電路的第二步：選取幾個(gè)特殊的點(diǎn)：取ω=0，則可計(jì)算出：取ω=1/T=1/0.001，則可計(jì)算出：第二步：選取幾個(gè)特殊的點(diǎn)：取ω=0，則可計(jì)算出：取ω=1/T取ω→∞，則可計(jì)算出：第三步：按ω由0→∞的順序，逐點(diǎn)、光滑地繪制出曲線圖形取ω→∞，則可計(jì)算出：第三步：按ω由0→∞的順序，逐點(diǎn)、光滑ω→0ω→0對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）對(duì)數(shù)頻率曲線又稱為Bode圖，是由美國工程師伯德（H.W.Bode）提出。它是將系統(tǒng)的頻率特性取自然對(duì)數(shù)后，分別用兩張圖分別表示它的幅頻特性與相頻特性的一種圖形表示方法。與奈氏圖相比，Bode圖具有繪制方便，直觀，并能在沒有計(jì)算機(jī)時(shí)，用直線的線段近似畫出系統(tǒng)頻率特性的幅值與相位等優(yōu)點(diǎn)，但其缺點(diǎn)是僅能確定最小相位系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定及相對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）對(duì)數(shù)頻率曲線又稱為Bode圖，是由對(duì)數(shù)頻率特性的定義前面我們?cè)?jīng)講到過，所謂的系統(tǒng)頻率特性就是頻率的方法來表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由于其頻率特性是一個(gè)復(fù)數(shù)，因此從數(shù)學(xué)上講，系統(tǒng)的頻率特性除了可以用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)進(jìn)行表示外，還可以用指數(shù)進(jìn)行表示。即：在指數(shù)表達(dá)式的兩邊取自然對(duì)數(shù)，有：對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性的定義前面我們?cè)?jīng)講到過，所謂的系統(tǒng)頻率特性就是在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)數(shù)頻率特性中的幅頻特性一般不用自然對(duì)數(shù)表示，而是采用以10為底的常用對(duì)數(shù)表示，利用中學(xué)學(xué)過的對(duì)數(shù)換底公式，我們很容易得到它們之間的相互關(guān)系：在引入聲學(xué)單位分貝（dB）后，則有：例如：在一階RC電路中，當(dāng)ω=ωp時(shí)，其輸出幅值衰減至輸入信號(hào)幅值的0.707倍，如采用對(duì)數(shù)幅頻特性來描述的話，則在此頻率下，其對(duì)數(shù)幅值為：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)數(shù)頻率特性中的幅頻特性一般不用自然對(duì)數(shù)表示，因此對(duì)數(shù)頻率特性就可以被定義為：對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性引入對(duì)數(shù)頻率特性中幅頻特性L(ω)的好處在于：它可以將系統(tǒng)串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)幅頻特性中的幅值相加，這對(duì)圖形的處理、分析以及計(jì)算都會(huì)帶來很大方便。以后的分析將表明:L(ω)或其漸近線大多與lgω成線性關(guān)系。因此，若以L(ω)為縱軸，lgω為橫軸，則其圖形將為直線，這可使頻率特性的繪制過程大為簡化。因此對(duì)數(shù)頻率特性就可以被定義為：對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性引入伯德（Bode)圖的坐標(biāo)分度伯德（Bode）圖是對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻的圖形表示方式。它是在被稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上繪制完成的。它的橫軸采用的是自變量ω并以lgω為線性的非線性分度。其含義是：由于lg10=1，所以當(dāng)ω按10倍進(jìn)行變化時(shí)，其對(duì)應(yīng)的lgω就是線性的。故我們稱這個(gè)變化的進(jìn)程為10倍頻程(Decade，記以

Dec)。幅頻特性的縱軸采用以分貝（dB）為單位的線性對(duì)數(shù)坐標(biāo)分度；相頻特性的縱軸采用以度（deg）為單位的線性坐標(biāo)分度。伯德（Bode)圖的坐標(biāo)分度伯德（Bode）圖是對(duì)數(shù)幅頻特性三級(jí)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)相頻特性（單位度)幅頻特性（單位分貝)角頻率ω角頻率ω一個(gè)lgω單位10倍頻程(dec)三級(jí)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)相頻特性（單位度)幅頻特性（單位分貝)角頻率ω在使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)時(shí)要特別注意以下兩點(diǎn)：它的橫軸是不均勻坐標(biāo)，是由疏到密周期性變化排列的。但若以10倍頻程來分，則它又是（對(duì)數(shù)）線性等分的。半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上的每一級(jí)所代表的含義就是所謂的10倍頻程，即橫軸每一個(gè)等分的頻率變化相差10倍，如在上面所給的三級(jí)對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，第一個(gè)“1”處的起始頻率若為0.1，則第二個(gè)“1”的起始頻率則為1，第三個(gè)“1”處的起始頻率則為10等等。在使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)時(shí)要特別注意以下兩點(diǎn)：4.2.3典型環(huán)節(jié)的伯德（Bode）圖4.2.3典型環(huán)節(jié)的伯德（Bode）圖比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性:20lgKωω1101000.11101000.1L(ω)伯德圖比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：20lgKωω1101000.11101對(duì)數(shù)幅頻特性

為水平直線，其高度為20lgK。若K>1，則

為正值，其幅頻特性線在橫軸上方。若K=1，則

=0dB，其幅頻特性線與橫坐標(biāo)軸重合，所以幅頻特性曲線的橫坐標(biāo)軸又稱零分貝線。若K<1，則

為負(fù)值，幅頻特性線在橫軸下方。對(duì)數(shù)相頻特性

為與橫坐標(biāo)軸重合的水平直線。比例環(huán)節(jié)放大倍數(shù)K變化，系統(tǒng)的L（ω）上下平移，但相頻特性不變。對(duì)數(shù)幅頻特性

為水平直線，其高度為20lgK。積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性：積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：對(duì)數(shù)幅頻特性比例環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性比例環(huán)節(jié)理想積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性是一條斜率為-20dB/dec斜線。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性可視為由兩個(gè)典型環(huán)節(jié)疊加而成：一個(gè)是比例環(huán)節(jié)，另一個(gè)是理想積分環(huán)節(jié)。所以，在ω=1處，積分環(huán)節(jié)與20lgK直線相交。積分環(huán)節(jié)的相頻率特性是一條滿足的水平直線。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性是一條斜率為-20dB/dec斜線。微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性：微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：對(duì)數(shù)幅頻特性比例環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性比例環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性是一條斜率為+20dB/dec斜線。微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性可視為由兩個(gè)典型環(huán)節(jié)疊加而成：一個(gè)是比例環(huán)節(jié)，另一個(gè)是理想微分環(huán)節(jié)。所以，在ω=1處，積分環(huán)節(jié)與直線相交。積分環(huán)節(jié)的相頻率特性是一條滿足的水平直線。微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性是一條斜率為+20dB/dec斜線。慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性：慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條曲線，若采用逐點(diǎn)描繪法將很繁瑣。一般在工程上，我們常常采用分段直線逼近的近似繪制方法來繪制它的Bode圖。即先作出慣性環(huán)節(jié)幅頻特性L(ω)的漸近線，然后再根據(jù)特殊點(diǎn)（如ω=1/T）的數(shù)值，在最大誤差處進(jìn)行修正，這樣便可得到該環(huán)節(jié)較為精確的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。通常采用三個(gè)頻率段的辦法，方法如下：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條曲線，若采用逐點(diǎn)描繪法將很繁第一步，我們先在Bode上找到特殊頻率點(diǎn)：ωω0-900L(ω)-45-20ω=1/T110第一步，我們先在Bode上找到特殊頻率點(diǎn)：ωω0-900L(第二步：低頻段近似Tω<<1當(dāng)Tω<<1，也即ω<<1/T，這時(shí)可以認(rèn)為（Tω)2≈0，于是有：ωω0-900L(ω)-45-20ω=1/T110第二步：低頻段近似Tω<<1當(dāng)Tω<<1，也即ω<<1/T，第三步：高頻段近似Tω>>1當(dāng)Tω>>1，也即ω>>1/T，這時(shí)由于Tω>>1，所以忽略1后有：ωω0-900L(ω)-45-20ω=1/T110-20dB斜率的輔助線第三步：高頻段近似Tω>>1當(dāng)Tω>>1，也即ω>>1/T，第四步：交接頻率Tω=1處的計(jì)算當(dāng)Tω=1，也即ω=1/T，這時(shí)有：L(ω)ωω0-900-45-20ω=1/T110-3dB修正-450修正第四步：交接頻率Tω=1處的計(jì)算當(dāng)Tω=1，也即ω=1/T，低頻漸近線高頻漸近線L(ω)ωω0-900-45-20ω=1/T110-3修正后的對(duì)數(shù)頻率特性第五步：對(duì)幅頻及相頻漸進(jìn)線用相應(yīng)的修正低頻漸近線高頻漸近線L(ω)ωω0-900-45-20ω=1比例微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性：比例微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：對(duì)照慣性環(huán)節(jié)和比例微分的頻率特性，我們不難發(fā)現(xiàn)：兩者僅相差一個(gè)負(fù)號(hào)。這意味著比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的圖形將對(duì)稱于橫軸。對(duì)照慣性環(huán)節(jié)和比例微分的頻率特性，我們不難發(fā)現(xiàn)：兩者僅相差一振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)頻率特性：振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性，不僅與ω有關(guān)，而且還與阻尼比ξ有關(guān)。

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性，不僅與ω有關(guān)，而且還與阻尼比ξ有關(guān)。

控制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖的繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法控制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖的繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法由第三章的內(nèi)容可知，圖示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：-+G1G2H則可知其對(duì)應(yīng)的前向通道的開環(huán)頻率特性一定為:由第三章的內(nèi)容可知，圖示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：-+G1G2H由此可見：串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的和，其總的對(duì)數(shù)相頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性的和。

由此可求出其對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性為:由此可見：串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的和例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試求取系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解：1）分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式。例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求取系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性2）由小到大計(jì)算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率——作慣性環(huán)節(jié)及一階微環(huán)節(jié)的Bode圖由此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有三個(gè)具有轉(zhuǎn)折頻率的環(huán)節(jié)。它們是：一階微分環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：慣性環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：慣性環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：2）由小到大計(jì)算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率——作慣性環(huán)節(jié)及由此系統(tǒng)的開2）選定幅頻特性的橫坐標(biāo)軸的比例尺（頻率范圍）。一般取最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。如有積分環(huán)節(jié)存在，則最低頻率中一定要有ω=1存在。3）選定相頻特性的縱坐標(biāo)軸的比例尺（相角大?。?。由于典型環(huán)節(jié)的相位變化是90度的倍數(shù)，所以一般最小單位為45度。在已知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性后，可以預(yù)估出系統(tǒng)的最大相移（即當(dāng)ω→∞時(shí)，系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)的相角之和。在本例中，我們可以估計(jì)出該系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性的最大相移為-180度。故所選半對(duì)數(shù)標(biāo)尺如下圖所示。

2）選定幅頻特性的橫坐標(biāo)軸的比例尺（頻率范圍）。分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的常用方法課件4）計(jì)算系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)——繪制比例環(huán)節(jié)的Bode圖4）計(jì)算系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)——繪制比例環(huán)節(jié)的Bode圖5）計(jì)算系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v——繪制比例環(huán)節(jié)的Bode圖5）計(jì)算系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v——繪制比例環(huán)節(jié)的Bode按轉(zhuǎn)折頻率，由小到大，作出各慣性環(huán)節(jié)及比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖。按轉(zhuǎn)折頻率，由小到大，作出各慣性環(huán)節(jié)及比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖。按轉(zhuǎn)折頻率分段，將所有環(huán)節(jié)的伯德圖加在一起。按轉(zhuǎn)折頻率分段，將所有環(huán)節(jié)的伯德圖加在一起。最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在s復(fù)平面的左側(cè)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。若傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和(或)零點(diǎn)有在s復(fù)平面右側(cè)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。由上面的定義可知：最小相位系統(tǒng)是絕對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)是：它的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性間存在著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只需根據(jù)其對(duì)數(shù)幅頻特性就能寫出其傳遞函數(shù)。因此對(duì)于最小相位系統(tǒng)，我們一般可以只作出它的幅頻特性即可。

最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零【例4-7】已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，T1、T2均為正值，且設(shè)T2=10T1。求它們的對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性。

解:由G1(s)、G2(s)、G3(s)有,

(1)對(duì)數(shù)幅頻特性即：這三個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的對(duì)數(shù)幅頻特性?！纠?-7】已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，T1、T2(2)對(duì)數(shù)相頻特性（3）對(duì)數(shù)頻率頻特性曲線——伯德圖由上圖可見，

離橫軸“距離”最小，G1(s)為最小相位系統(tǒng)。(2)對(duì)數(shù)相頻特性（3）對(duì)數(shù)頻率頻特性曲線——伯德圖由上系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法①如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是最小相位系統(tǒng)。則可直接分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標(biāo)準(zhǔn)形式(分母常數(shù)項(xiàng)為1)，并計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。一階微分環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：慣性環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：慣性環(huán)節(jié)：，其轉(zhuǎn)折頻率為：系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的簡便畫法①如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是最小相②根據(jù)比例環(huán)節(jié)的K值，計(jì)算20lgK。在選定半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙的標(biāo)尺后，作出比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性。值得注意的是：選擇作標(biāo)尺度時(shí)，要首先確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中是否有積分環(huán)節(jié)。如果有，則無論有幾個(gè)積分環(huán)節(jié)，在坐標(biāo)尺度上都應(yīng)該有ω=1這個(gè)頻率點(diǎn)存在。

②根據(jù)比例環(huán)節(jié)的K值，計(jì)算20lgK。在選定半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙的標(biāo)③如有積分環(huán)節(jié)存在，則在在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為L（ω）=20lgK的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20×dB/dec的斜線，其中

為積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。這條斜線一直作到出現(xiàn)第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率為止。在本例中，由于只有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以過（1，20lgK）點(diǎn)的斜線斜率為-20dB/dec。③如有積分環(huán)節(jié)存在，則在在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，找到橫坐標(biāo)為ω=1④按所計(jì)算出來的各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，由低到高順序作每個(gè)環(huán)節(jié)的伯德圖，注意每個(gè)環(huán)節(jié)的伯德圖都只作到下一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率出現(xiàn)為止。并用以下原則來依次改變L（ω）下一條斜線的斜率；

若轉(zhuǎn)折頻率之后是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，則轉(zhuǎn)折頻率后的